Möbius - transformationen er en transformation af en etpunktskomprimering af det euklidiske rum , som er en sammensætning af et begrænset antal inversioner med hensyn til hypersfærer og refleksioner med hensyn til hyperplaner . [1] .
I engelsk litteratur defineres begrebet Möbius-transformation ofte kun for det udvidede komplekse plan som en transformation specificeret ved hjælp af en lineær-fraktionel funktion :
Denne definition kan betragtes som et særligt tilfælde af det generelle for , da hvis det udvidede komplekse plan er repræsenteret som , så er definitionerne ækvivalente. I russisksproget litteratur, for lineær-brøkfunktioner af komplekse tal, bruges udtrykket lineær-brøktransformation .
I tilfælde af en etpunktskomprimering af en linje er det en projektivt forlænget reel linje . På den kan Möbius-transformationerne defineres på samme måde som det komplekse tilfælde ved hjælp af lineær-fraktionelle funktioner.
I tilfælde af mellemrum er en udvidet tallinje. I dette tilfælde tillader Möbius-transformationen en alternativ definition ved hjælp af en lineær-brøkfunktion:
I tilfældet kan rummet ses som et udvidet komplekst plan. Betragtet på denne måde kaldes Möbius-transformationen også en lineær-fraktionel transformation og kan alternativt defineres ved hjælp af en lineær-fraktionel funktion:
I et rum med dimension 2 transformerer Möbius-transformationen generaliserede cirkler til generaliserede cirkler. Det kan betragtes som enten en punkttransformation eller som en transformation af generaliserede cirkler [2] :
Følgende enkle egenskaber kan nemt verificeres:
Det følger heraf, at lineær-fraktionelle kortlægninger vil danne en gruppe under drift af superposition ( automorfigruppen i Riemann-sfæren , også kaldet Möbius-gruppen ). Denne gruppe er en kompleks tredimensionel Lie -gruppe .
Når parametrene , , , ganges med et komplekst tal, der ikke er nul, ændres transformationen ikke. Formelt set er Möbius-gruppen en projektivisering af gruppen , det vil sige, at der er en epimorfi : .
Möbius-gruppen er isomorf i forhold til den særlige ortokroniske Lorentz-gruppe .
Lad os antage, at den matrix, der svarer til transformationen, er normaliseret, det vil sige, at den opfylder betingelsen . Derefter, afhængigt af sporet af denne matrix, lig med , kan vi klassificere alle lineær-fraktionelle afbildninger i tre typer:
For det første kan enhver lineær-fraktionel kortlægning repræsenteres som en kombination af skift , inversioner , rotationer og strækninger . Dette er nemt at bevise - et vilkårligt kort kan dekomponeres til en superposition af fire funktioner:
hvor
For det andet følger egenskaben med at bevare vinkler og bevare cirkler under en lineær-brøkkortlægning umiddelbart heraf, da alle afbildninger, der indgår i superpositionen, er konforme. Her mener vi cirkler på Riemann-sfæren , som omfatter linjer i planet.
Yderligere, for tre parvise distinkte punkter , er der en unik lineær-brøkdel mapping, der kortlægger disse tre punkter til de givne tre parvise distinkte punkter . Det er konstrueret ud fra det faktum, at lineær-fraktionelle afbildninger bevarer det anharmoniske forhold mellem fire punkter i det komplekse plan. Hvis punktet er billedet af punktet , så ligheden
som (under den betingelse at for ) entydigt bestemmer den ønskede mapping
Möbius transformation
er en automorfi af enhedscirklen hvis og kun hvis og .
For både Riemann-sfæren og enhedscirklen er alle konforme automorfismer udtømt af lineære-fraktionelle funktioner. Enhedscirklens automorfismer danner en reel tredimensionel undergruppe af Möbius-gruppen; hver af dem er udtrykt som:
Et vigtigt eksempel på en lineær brøkfunktion er Cayley-transformationen :
Den forbinder to kanoniske domæner på det komplekse plan ved at kortlægge det øverste halvplan til enhedscirklen .
At begynde med enhver konform kortlægning er en Möbius-transformation. Möbius-transformationer har en af følgende typer:
hvor , er en ortogonal matrix .