Dobbelt relation

Dobbeltforholdet (eller sammensat forhold eller forældet anharmonisk forhold ) af firdobbelten af tal , , , ( reelt eller komplekst ) er defineret som $-en$ $b$ $c$ $d$

(ab,cd)={\frac {ca}{cb}}:{\frac {da}{db}}.

Der er også symboler og . $(a,b;c,d)$ $[a,b;c,d]$

Egenskaber

$(ab,cd)(ab,de)=(ab,ce)$
Dobbeltforholdet er bevaret under lineær-fraktionelle transformationer , især afhænger det ikke af valget af koordinater på linjen.

(ab,cd)={\frac {1}{(ba,cd)}}={\frac {1}{(ab,dc)}}=1-(ac,bd)

Især, hvis dobbeltforholdet af en quad af tal er , så er dobbeltforholdet af enhver af de 24 permutationer af en 4 lig med en af følgende seks værdier:

\lambda

\lambda ,{\frac {1}{\lambda )),1-\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda )),{\frac {\lambda -1}{\lambda } },{\frac {\lambda }{\lambda -1))

Variationer og generaliseringer

Det dobbelte (eller komplekse) forhold mellem de fire punkter , , , der ligger på en ( reel eller kompleks ) lige linje kaldes tallet $EN$ $B$ $C$ $D$

(AB,CD)={\frac {ca}{cb)):{\frac {da}{db)),

hvor , , , betegner punkternes koordinater , , , hhv. Dobbeltforholdet afhænger ikke af valget af koordinat på linjen. Det skrives også ofte sådan: $-en$ $b$ $c$ $d$ $EN$ $B$ $C$ $D$

(AB,CD)={\frac {AC}{BC)):{\frac {AD}{BD)),

hvilket betyder, at (henholdsvis ) angiver forholdet mellem rettede segmenter . $AC/BC$ $AD/BD$

Dobbeltrelationen mellem de fire punkter på linjen bevares under projektive transformationer af planet eller rummet.

Dobbeltforholdet mellem de fire linjer , , , der går gennem et punkt er tallet $-en$ $b$ $c$ $d$

(ab,cd)=\pm {\frac {\sin(a,c)}{\sin(b,c))):{\frac {\sin(a,d)}{\sin( b,d)}},

hvis tegn er valgt som følger: hvis en af vinklerne dannet af linjerne og ikke skærer nogen af linjerne eller (i dette tilfælde, parret af linjer og ikke adskiller parret af linjer og ), så ; ellers . $-en$ $b$ $c$ $d$ $-en$ $b$ $c$ $d$ $(ab,cd)>0$ $(ab,cd)<0$

Lad de fire linjer , , , passere gennem punktet , og linjen indeholder ikke . Lad linjerne , , , skære hinanden med hhv. punkterne , , og . Derefter $-en$ $b$ $c$ $d$ $O$ $\ell$ $O$ $-en$ $b$ $c$ $d$ $\ell$ $EN$ $B$ $C$ $D$ $(ab,cd)=(AB,CD).$

Dobbelt relation

Egenskaber

Variationer og generaliseringer

Se også

Links