Sandsynlighedstæthed

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. august 2021; checks kræver 7 redigeringer .

Sandsynlighedstæthed er en af ​​måderne at specificere fordelingen af ​​en tilfældig variabel på . I mange praktiske anvendelser er begreberne "sandsynlighedstæthed" og "densitet (fordeling) af en tilfældig variabel " eller " sandsynlighedsfordelingsfunktion " faktisk synonyme og de betyder en reel funktion , der karakteriserer den komparative sandsynlighed for realisering af visse værdier af en stokastisk variabel (variabler).

Anvendt beskrivelse af konceptet

Fordelingstætheden af ​​en endimensionel kontinuerlig tilfældig variabel er en numerisk funktion , hvis forhold mellem værdierne i punkterne og sætter forholdet mellem sandsynligheden for, at mængden falder i smalle intervaller med samme bredde og nær disse punkter.

Fordelingstætheden er ikke-negativ for nogen og er normaliseret, dvs.

Når der er tendens til , har funktionen en tendens til nul. Dimensionen af ​​fordelingstætheden er altid omvendt til dimensionen af ​​en stokastisk variabel - hvis den beregnes i meter, så vil dimensionen være m -1 .

Hvis udtrykket for er kendt i en bestemt situation , kan det bruges til at beregne sandsynligheden for, at værdien falder ind i intervallet som

.

Ved at kende sandsynlighedstætheden kan man også bestemme den mest sandsynlige værdi ( mode ) af en stokastisk variabel som et maksimum . Ved hjælp af sandsynlighedstætheden findes også gennemsnitsværdien af ​​en tilfældig variabel:

og middelværdien af ​​en målbar funktion af en stokastisk variabel:

.

For at gå over til fordelingstætheden af ​​en anden tilfældig variabel , skal vi tage

,

hvor er den omvendte funktion i forhold til (det antages, at z er en en-til-en afbildning af ).

Værdien af ​​fordelingstætheden er ikke sandsynligheden for at tage værdien som en tilfældig variabel . Så sandsynligheden for at tage en værdi med en kontinuert tilfældig variabel er lig med nul. Med en kontinuerlig fordeling af en stokastisk variabel kan spørgsmålet rejses om sandsynligheden for, at den falder ind i et bestemt interval, og ikke om sandsynligheden for at realisere dens specifikke værdi.

Integral

kaldes fordelingsfunktionen (hhv. sandsynlighedsfordelingstætheden er den afledede af fordelingsfunktionen). Funktionen er ikke faldende og skifter fra 0 for til 1 for .

Den enkleste fordeling er den ensartede fordeling på intervallet . For ham er sandsynlighedstætheden:

En velkendt fordeling er den " normale " fordeling, som også er gaussisk, hvis tæthed skrives som

,

hvor og er parametrene: matematisk forventning og standardafvigelse . Andre eksempler på fordelingstætheder er ensidig Laplacian ( ):

og ,

og Maxwellian ( ):

og .

I de sidste to eksempler er faktoren valgt afhængigt af parameteren eller så for at sikre normaliseringen af ​​integralet af sandsynlighedstætheden. I tilfældet med Laplace-distributionen viser det sig, at .

Både disse og andre distributioner er meget brugt i fysik. For eksempel, i tilfælde af Maxwell-fordelingen , spilles rollen som en tilfældig variabel normalt af den absolutte værdi af et molekyles hastighed i en ideel gas . Samtidig bruges det samme symbol ofte til argumentet for funktionen som for den tilfældige variabel, der tages i betragtning i det fysiske problem (som om det var overalt ovenfor ). Så i udtrykket af den Maxwellske fordelingstæthed skriver de ikke en formel variabel , men et hastighedssymbol . I de simpleste situationer fører sådanne friheder med notation ikke til misforståelser.

Aftagende som argumentet har tendens til eller et udsnit af sandsynlighedstæthedsgrafen i områder hvor , kaldes halen . Af de nævnte fordelinger har normalen og laplacianen to haler (til venstre og til højre), og Maxwellianeren i den skrevne form har en (til højre).

Essensen af ​​begrebet "sandsynlighedstæthed" blev nævnt ovenfor. En sådan præsentation er dog ikke stringent - tætheden er ofte en funktion af flere størrelser, ræsonnementet implicit antaget garanterer ikke altid kontinuitet og differentiabilitet af funktioner, og så videre.

Definition af sandsynlighedstæthed i målteori

Sandsynlighedstæthed kan opfattes som en måde at specificere et sandsynlighedsmål på et euklidisk rum . Lade være en sandsynlighed foranstaltning på , Det vil sige, en sandsynlighed plads er defineret , Hvor betegner Borel σ-algebra på . Lad betegne Lebesgue-målet på . Sandsynligheden kaldes absolut kontinuerlig (med hensyn til Lebesgue-målet) ( ), hvis et Borel-sæt med nul Lebesgue-mål også har sandsynlighed nul:

Hvis sandsynligheden er absolut kontinuerlig, så eksisterer der ifølge Radon-Nikodym-sætningen en ikke-negativ Borel-funktion, således at

,

hvor den konventionelle forkortelse bruges , og integralet forstås i betydningen Lebesgue .

Mere generelt, lad  være et vilkårligt målbart rum , og lad og  være to mål på dette rum. Hvis der er en ikke-negativ , som gør det muligt at udtrykke foranstaltningen i form af foranstaltningen i formularen

så kaldes en sådan funktion tætheden af ​​målet i forhold til målet eller Radon-Nikodym afledt af målet med hensyn til målet og betegnes

.

Tæthed af en tilfældig variabel

Lad et vilkårligt sandsynlighedsrum og en tilfældig variabel (eller en tilfældig vektor) defineres. inducerer et sandsynlighedsmål på , kaldet fordelingen af ​​den stokastiske variabel .

Hvis fordelingen er absolut kontinuerlig i forhold til Lebesgue-målet, kaldes dens tæthed tætheden af ​​den stokastiske variabel . Selve den stokastiske variabel siges at være absolut kontinuert.

For en absolut kontinuert stokastisk variabel har vi således:

. Noter
  • Ikke enhver tilfældig variabel er absolut kontinuert. Enhver diskret fordeling er for eksempel ikke absolut kontinuert i forhold til Lebesgue-målet, og derfor har diskrete stokastiske variable ikke en tæthed.
  • Fordelingsfunktionen af ​​en absolut kontinuert stokastisk variabel er kontinuert og kan udtrykkes i densitet som følger:
.

I det endimensionelle tilfælde:

.

Hvis , så , og

.

I det endimensionelle tilfælde:

. ,

hvor  er en Borel funktion, så den er defineret og endelig.

Tæthedstransformation af en tilfældig variabel

Lade være  en absolut kontinuerlig tilfældig variabel, og  være en injektiv kontinuerligt differentierbar funktion sådan, at , Hvor  er Jacobian af funktionen på det punkt . Så er den stokastiske variabel også absolut kontinuert, og dens tæthed har formen:

.

I det endimensionelle tilfælde:

.

Egenskaber for sandsynlighedstæthed

  • Sandsynlighedstætheden er defineret næsten overalt . Hvis er en sandsynlighedstæthed og næsten overalt i forhold til Lebesgue-målet, så er funktionen også en sandsynlighedstæthed ./
  • Integralet af tætheden over hele rummet er lig med enhed:
.

Omvendt, hvis  er en ikke-negativ næsten overalt funktion sådan, at , Så eksisterer der et absolut kontinuerligt sandsynlighedsmål på sådan, der er dens tæthed.

  • Ændring af mål i Lebesgue-integralet:
,

hvor er en hvilken som helst Borel-funktion integrerbar med hensyn til sandsynlighedsmålingen .

Eksempler på absolut kontinuerlige distributioner

Se også

Litteratur