Sandsynlighedsfunktion

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 22. marts 2021; checks kræver 8 redigeringer .

En sandsynlighedsfunktion i sandsynlighedsteori er en funktion, der returnerer sandsynligheden for , at en diskret stokastisk variabel får en bestemt værdi. For eksempel, lad er en sandsynlighedsfunktion, så beregnes sandsynligheden for at den tager en værdi lig med 13 ved at substituere værdien i en funktion , der allerede returnerer en sandsynlighed, for eksempel 0,5 - det betyder, at sandsynligheden for at få tallet 13 er 0,5. $x$ $p:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]$ $x$ $X=13$ $p(X)=p(13)$

Hvis er en skalar stokastisk variabel, er sandsynlighedsfunktionen givet af en tabel med mulige værdier med tilsvarende sandsynligheder ( ); sådan en tabel kaldes en " distributionsserie " [1] . $x$ ${\displaystyle x_{i},\,p_{i))$

Sandsynlighedsfunktionen er den mest brugte måde at karakterisere en diskret fordeling på . Det spiller samme rolle som sandsynlighedstætheden for en kontinuert stokastisk variabel (men i sidstnævnte situation taler vi ikke om sandsynligheden for at realisere en bestemt værdi , men om sandsynligheden for, at værdien af en stokastisk variabel falder ind i en given interval, som findes ved at integrere sandsynlighedstætheden over dette interval). $x$

Definitioner

Vilkårlig sandsynlighedsfunktion

Lade være en sandsynlighed foranstaltning på , Det vil sige, en sandsynlighed plads er defineret , Hvor betegner Borel σ-algebra på . Et sandsynlighedsmål kaldes diskret , hvis dets støtte ikke er mere end tælleligt , det vil sige, at der ikke er mere end en tællig delmængde , således at . $\mathbb {P}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\left(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\mathbb{P}\right)$ $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {P}$ $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {P} (X)=1$

Funktionen defineret som følger: $p:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]$

p(x)=\venstre\{{\begin{matrix}\mathbb {P} (\{x\}),&x\in X\\0,&x\in \mathbb {R} ^{n }\setminus X,\end{matrix}}\right.

hvor er et diskret sandsynlighedsmål , kaldes sandsynlighedsfunktionen . Det er vigtigt at forstå her, at en funktion defineret på mængder , ikke tal, mens den defineres gennem , allerede er en funktion defineret over tal. $\mathbb {P}$ $\mathbb {P}$ $\mathbb {P}$ $p(x)$ $\mathbb {P}$

Sandsynlighedsfunktion for en diskret stokastisk variabel

Lad ( ) være en tilfældig variabel (tilfældig vektor). Så inducerer (inducerer) det et sandsynlighedsmål på (på ), kaldet fordelingen. En stokastisk variabel kaldes diskret, hvis dens fordeling er diskret. Sandsynlighedsfunktionen for en diskret stokastisk variabel har formen: $X:\Omega \to \mathbb {R}$ $X:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {P} ^{X}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $p_{X}$ $x$

p_{X}(x)=\mathbb {P} ^{X}(\{x\})\equiv \mathbb {P} (X=x)

eller

p_{X}(x_{i})=\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;i\in \mathbb {N} ,

hvor er det værdisæt, der . ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},x_{3},\ldots \))$ $x$

Egenskaber for sandsynlighedsfunktionen

Ud fra sandsynlighedens egenskaber er det indlysende[ til hvem? ] følger:

$p_{X}(x_{i})\geqslant 0,\;\forall i\in \mathbb {N}$ .
$\sum \limits _{i=1}^{\infty }p_{X}(x_{i})=1$ .
Fordelingsfunktionen af en stokastisk variabel kan udtrykkes i form af dens sandsynlighedsfunktion:

F_{X}(x)=\sum \limits _{x'\leqslant x}p_{X}(x')

Hvis , så $X=(X_{1},X_{2})$

\sum \limits _{x_{2}}p_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})=p_{X_{1}}(x_{1} )

\sum \limits _{x_{1}}p_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})=p_{X_{2}}(x_{2} )

hvor er vektorens sandsynlighedsfunktion , og er størrelsens sandsynlighedsfunktion . Denne egenskab generaliserer naturligvis til tilfældige vektorer af dimension . $p_{X_{1},X_{2))$ $(X_{1},X_{2})$ $p_{X_{i))$ $X_{i},\;i=1,2$ $n>2$

Den matematiske forventning til en funktion fra en diskret størrelse, når den eksisterer, er:

{\displaystyle \mathbb {E} [g(X)]=\sum \limits _{i=1}^{n}g(x_{i})\,p_{i))

forudsat at serien på højre side konvergerer absolut .

Eksempler på diskrete distributioner

Se også

Sandsynlighedstæthed

Noter

↑ E. S. Wentzel , A. A. Ovcharov Sandsynlighedsteori. M.: Nauka (1973), se s. 88.