Maxwell distribution

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 11. august 2021; checks kræver 5 redigeringer .

Maxwell-fordelingen er det generelle navn for adskillige sandsynlighedsfordelinger , der beskriver den statistiske opførsel af parametrene for ideelle gaspartikler . Formen af den tilsvarende sandsynlighedstæthedsfunktion er dikteret af hvilken størrelse: partikelhastighed, hastighedsprojektion , hastighedsmodul, energi , momentum osv. - der fungerer som en kontinuerlig stokastisk variabel . I nogle tilfælde kan Maxwell-fordelingen udtrykkes som en diskret fordeling over et sæt energiniveauer.

Den mest signifikante Maxwell-fordeling er skrevet for partikelhastighedsmodulet i det kontinuerlige tilfælde og har tætheden: $v$

f_{v}(x)=Bx^{2}\exp \left[-\beta x^{2}\right]\,\,(x\geq 0)

f_{v}(x)=0\,\,(x<0),

hvor er en formel variabel, er faktoren bestemt af typen af partikler og temperatur, og faktoren vælges afhængigt af for at sikre normalisering. Det er dette udtryk, der betragtes som den maxwellske fordeling i matematik, selvom den analytiske form for den maxwellske fordeling for andre partikelparametre vil være anderledes. $x$ $\beta>0$ $B$ $\beta$

Maxwell-fordelingen ligger til grund for den kinetiske teori om gasser , der forklarer mange af de grundlæggende egenskaber ved gasser, herunder tryk og diffusion . Det bruges til at beregne de gennemsnitlige og mest sandsynlige hastigheder og energier af gasmolekyler. Den er også anvendelig til beskrivelse af elektroniske transportprocesser og andre fænomener inden for fysik og kemi . Maxwell-fordelingen kan opnås ved hjælp af statistisk mekanik (se oprindelsen af partitionsfunktionen ). Denne fordeling er den højeste sandsynlighedsfordeling af den undersøgte parameter.

Omfanget af Maxwell-distributionen

Krav til det beskrevne system, eksempler

Spørgsmålet om anvendeligheden af Maxwell-fordelingen til et bestemt system svarer til spørgsmålet om, hvorvidt dette system kan betragtes som en ideel gas med tilstrækkelig nøjagtighed. Samtidig skal systemet

bestå af et stort antal partikler og være i termodynamisk ligevægt ;
være isotropisk ;
være klassisk , dvs. relativistiske og kvanteeffekter skal være små;
være kollisionsdomineret (interaktion mellem partikler er kun tilladt, hvis det kun afhænger af partiklernes relative position, især absolut elastiske kollisioner er tilladt).

Et sådant sæt krav opfyldes primært i gasser, såsom luft, under normale forhold. Maxwell-fordelingen gælder for en række egenskaber af individuelle molekyler i en gas. Det opfattes normalt primært som energifordelingen af molekyler i en gas, men det kan anvendes til fordelingen af hastigheder og andre molekylære parametre. Oftest er det en kontinuerlig fordeling langs et kontinuum af en ændring i en tilfældig parameter.

I mange tilfælde er betingelsen for dominans af elastiske kollisioner over alle andre processer dog ikke engang tilnærmelsesvis opfyldt. Så i fysikken i ionosfæren og rumplasmaet er processerne med rekombination og kollisionsexcitation (det vil sige strålingsprocesser), især for elektroner, af stor betydning. Brugen af Maxwell-fordelingen i dette tilfælde ville ikke kun give kvantitativt forkerte resultater, men ville også føre til en kvalitativt forkert fortolkning af de tilsvarende processer.

Betingelser for klassisk overvejelse

I tilfælde, hvor quantum de Broglie-bølgelængden af gaspartiklerne ikke er lille i forhold til afstanden mellem partiklerne, er der afvigelser fra Maxwell-fordelingen på grund af kvanteeffekter. Derfor er spørgsmålet om grænserne for anvendeligheden af den klassiske betragtning vigtigt.

Usikkerhedsrelationen (ofte forenklet skrevet i den form, hvor er usikkerhederne for koordinaten og -projektionen af momentum, er Plancks konstant ) har en tredimensionel analog af formen, hvor den karakteristiske lineære størrelse af partikellokaliseringszonen . For at usikkerheder i koordinat og momentum ikke spiller en rolle og klassisk snarere end kvantemekanik kan anvendes, skal forholdet være opfyldt: $\Delta x\cdot \Delta p_{x}\sim h,$ $\Delta x,$ $\Delta p_{x}$ $x$ $h$ $r\cdot p\sim h,$ $r$

V^{1/3}\cdot p\gg h,

hvor er volumenet, som i gennemsnit udgør en partikel, lig med den gensidige koncentration af gaspartikler. Hvis du firkanter begge sider, får du: $V$ $n^{{-1}}$

n^{-{\frac {2}{3))}h^{-2}p^{2}\gg 1.

Tager vi det i betragtning og tager mængden som den karakteristiske energiværdi , kommer vi frem til: $p^{2}=2mE$ $(3/2)kT,$

T\gg {\frac {n^{\frac {2}{3}}h^{2}}{3mk}}=T_{deg}\qquad

( er degenerationstemperaturen og er partiklens masse ).

{\displaystyle T_{deg))

m

Ved temperaturer under Maxwell-fordelingen er ikke anvendelig. ${\displaystyle T_{deg))$

Maxwells tilstandsfordeling

Maxwell-fordelingen kan skrives som en diskret fordeling over sættet af tilstande af molekylet, nummereret med symbolet : $jeg$

{\frac {N_{i}}{N}}={\frac {\exp \left(-E_{i}/kT\right)}{\sum _{j}^{}{\exp \left(-E_{j}/kT\right)}}}

Energien af et molekyle i th tilstand og antallet af sådanne molekyler, henholdsvis, er betegnet med og , er systemets temperatur, er det samlede antal molekyler i systemet, og er Boltzmann konstanten . (Det sker, at ovenstående ligning er skrevet med en faktor, der angiver graden af degeneration af energiniveauerne. I dette tilfælde opregner den ikke tilstandene, men energierne, og summen vil være i henhold til energierne, og ikke iflg. staterne). Da hastighed er relateret til energi, kan den sidste ligning bruges til at udlede forholdet mellem temperatur og hastighederne af molekyler i en gas. Nævneren er kendt som den kanoniske partitionsfunktion . $E_{i}$ $N_{i}$ $jeg$ $T$ $N$ $k$ $g_i$ $jeg$

Varianter af den kontinuerlige Maxwell-distribution

Udledningen af Maxwells distributioner præsenteret i dette afsnit, som er naturlig for moderne undervisningslitteratur, adskiller sig fra den udledning, som James Clerk Maxwell selv har foreslået og senere beskrevet med færre antagelser af Ludwig Boltzmann . Den historiske konklusion vil blive givet i slutningen af artiklen.

Momentum vektorfordeling

I tilfælde af en ideel gas af ikke-interagerende molekyler, er al energien i form af kinetisk energi. Den kinetiske energi er relateret til partiklens momentum som:

E={\frac {p^{2}}{2m}}

hvor er kvadratet af momentvektoren , så $p^{2}$ $\mathbf {p} =[p_{x},p_{y},p_{z}]$

{\frac {N_{i}}{N}}={\frac {1}{Z}}\exp \left[{\frac {-(p_{x}^{2}+p_{y }^{2}+p_{z}^{2})}{2mkT}}\right]

hvor er partitionsfunktionen svarende til nævneren af udtrykket for fra forrige afsnit og er massen af molekylet. $Z$ $N_{i}/N$ $m$

Hvis energiniveauerne er tætte nok, bliver diskretiteten ligegyldig, og vi kan antage, at energierne fordeles kontinuerligt. Så er forholdet proportionalt med sandsynlighedsdensitetsfunktionen for molekylet, der er i en tilstand med disse værdier af momentumkomponenterne. På denne måde: $N_{i}/N$ ${\displaystyle f_{\mathbf {p} ))$

f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})={\frac {C}{Z))\exp \left[{\frac {-(p_ {x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})}{2mkT}}\right]

Konstanten bestemmes ud fra normaliseringsbetingelsen, hvorefter sandsynligheden for, at molekylerne overhovedet har noget momentum, skal være lig med én. Derfor skal integralet over alle værdier og være lig med enhed. Det kan man vise $C$ ${\displaystyle f_{\mathbf {p} ))$ ${\displaystyle p_{x}\,,p_{y))$ $p_{z}$

\iiiint \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{Z}}\exp \left[{\frac {-(p_{x}^{2}+p_ {y}^{2}+p_{z}^{2})}{2mkT}}\right]\,dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}={\frac {1} {Z}}\left(2\pi mkT\right)^{3/2}

For at integralet skal have en værdi på 1, er det således nødvendigt, at

{\displaystyle C={\frac {Z}{({\sqrt {2\pi mkT)))^{3))))

Ved at erstatte dette i ligningen og bruge det faktum, at , får vi: $C$ ${\displaystyle f_{\mathbf {p} ))$ $p_{i}=mv_{i}$

f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})={\sqrt {\left({\frac {1}{2\pi mkT))\right )^{3}}}\exp \left[{\frac {-(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})}{2mkT}} \ret]

Hastighedsvektorfordeling

Under hensyntagen til, at tætheden af hastighedsfordelingen er proportional med impulsfordelingstætheden: ${\displaystyle f_{\mathbf {v} ))$

f_{{\mathbf {v}}}d^{3}v=f_{{\mathbf {p}}}\left({\frac {dp}{dv}}\right)^{3}d^{ 3}v

og ved at bruge , får vi: $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$

f_{\mathbf {v} }(v_{x},v_{y},v_{z})={\sqrt {\left({\frac {m}{2\pi kT))\right )^{3}}}\exp \left[{\frac {-m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT} }\ret]

som er Maxwell-fordelingen over tre kartesiske hastighedsprojektioner. Sandsynligheden for at finde en partikel i et uendeligt lille element nær hastigheden er: ${\displaystyle dv_{x}\,,dv_{y}\,,dv_{z))$ $\mathbf {v} =[v_{x},v_{y},v_{z}]$

{\displaystyle f_{\mathbf {v} }\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)dv_{x}dv_{y}dv_{z))

Hastighedsprojektionsfordeling

Maxwell-fordelingen for hastighedsvektoren er produktet af fordelingerne for hver af de tre retninger: $[v_{x},v_{y},v_{z}]$

f_{v}\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)=f_{v}(v_{x})f_{v}(v_{y})f_{ v}(v_{z}),

hvor fordeling i én retning:

f_{v}(v_{i})={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT))}\exp \left[{\frac {-mv_{i}^{2)) {2kT}}\right]

Denne fordeling har form af en normalfordeling . Som man kunne forvente for en gas i hvile, er gennemsnitshastigheden i enhver retning nul.

Distribution modulo momentum

Ved at integrere kan vi finde fordelingen over momentumets absolutte størrelse:

f_{p}=\int _{\theta =0}^{\pi}\int _{\phi =0}^{2\pi}~f_{\mathbf {p} }p^{2 }\sin(\theta )\,d\theta \,d\phi =4\pi {\sqrt {\left({\frac {1}{2\pi mkT}}\right)^{3}}} ~p^{2}\exp \left[{\frac {-p^{2}}{2mkT}}\right].

Energifordeling

Til sidst får vi ved hjælp af relationerne og den kinetiske energifordeling: $p^{2}=2\,mE$ $f_{E}\,dE=f_{p}\,dp$

f_{E}=f_{p}{\frac {dp}{dE}}={\frac {2\pi }{\sqrt {(\pi kT)^{3}}}}{\sqrt {E}}{}~\exp \left[{\frac {-E}{kT}}\right].

Distribution modulo hastighed

Normalt er fordelingen over den absolutte værdi mere interessant end over projektionerne af molekylernes hastigheder. Hastighedsmodul, defineret som $v$

{\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2))))

det er altid ikke-negativt. Da alt er normalfordelt , vil der være en chi-kvadratfordeling med tre frihedsgrader. Hvis er en sandsynlighedstæthedsfunktion for hastighedsmodulet, så $v_{i}$ $v^2$ $f(\mathbf {v} )$

f\left(v\right)dv=P(\chi ^{2}|3)d\chi ^{2}

hvor . Således er sandsynlighedsdensitetsfunktionen for hastighedsmodulet $\chi ^{2}=mv^{2}/kT$

f(v)dv=4\pi v^{2}\left({\frac {m}{2\pi kT))\right)^{3/2}\exp \left({\frac {-mv^{2}}{2kT}}\right)dv

Funktionens form svarer til den, der er angivet i præamblen, med den forskel, at en formel variabel bruges der af hensyn til større matematisk generalitet. $f(v)$ $x$

Karakteristiske hastigheder for ideelle gasmolekyler

Ligningen for giver hastighedsfordelingen, eller med andre ord andelen af molekyler, der har en bestemt hastighed. Men andre mængder er ofte mere interessante. Nedenfor vil de mest sandsynlige , middel- og rms -hastigheder blive bestemt. $f(v)dv$

Mest sandsynligt hastighed

Den mest sandsynlige hastighed , , er hastigheden, hvis sandsynlighed ethvert molekyle i systemet har maksimum, og som svarer til den maksimale værdi af fordelingens sandsynlighedstæthed (og derfor svarer til denne fordelings tilstand ). For at finde det skal du beregne , lig med nul og løse for : $v_p$ $f(v)$ $df/dv$ $v$

{\frac {df(v)}{dv}}=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\exp \left(-mv^ {2}/2kT\right)\left[8\pi v+4\pi v^{2}(-mv/kT)\right]=0

{\displaystyle v_{p}={\sqrt {\frac {2kT}{m))}={\sqrt {\frac {2RT}{\mu ))))

hvor er massen af den betragtede partikel, er den molære masse af . $m$ $\mu$

Gennemsnitshastighed

\langle v\rangle =\int \limits _{0}^{\infty }v\,f(v)\,dv

Substituere og integrere, får vi $f(v)$

{\displaystyle \langle v\rangle ={\sqrt {\frac {8kT}{\pi m))}={\sqrt {\frac {8RT}{\pi \mu ))))

RMS hastighed

\langle v'^{2}\rangle =\int \limits _{0}^{\infty }v^{2}\,f(v)\,dv

Ved at erstatte og integrere får vi: $f(v)$

{\sqrt {\langle v'^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{\mu }}}

Historisk udledning af Maxwell-fordelingen

Lad os nu få fordelingsformlen på samme måde som Maxwell selv gjorde [1] [2] .

Overvej rummet af hastighedspunkter (vi repræsenterer hver hastighed af molekylet som et punkt (hastighedspunkt) i koordinatsystemet i gassens stationære tilstand . Lad os vælge et uendeligt lille volumenelement . Da gassen er stationær, er antallet af hastighedspunkter i forbliver uændrede over tid. Hastighedsrummet er isotropt , derfor er funktionerne , sandsynlighedstæthederne for alle retninger ens. ${\displaystyle Ov_{x}v_{y}v_{z))$ ${\displaystyle dv_{x}dv_{y}dv_{z))$ ${\displaystyle dv_{x}dv_{y}dv_{z))$

dP(v_{x})=\varphi (v_{x})dv_{x}\qquad dP(v_{y})=\varphi (v_{y})dv_{y}\qquad dP(v_ {z})=\varphi (v_{z})dv_{z}

Maxwell foreslog, at fordelingerne af hastigheder i retninger er statistisk uafhængige, det vil sige, at hastighedskomponenten af molekylet ikke afhænger af - og - komponenterne. ${\displaystyle v_{x))$ $y$ $z$

dP(v_{x},v_{y},v_{z})=\underbrace {\varphi (v_{x})\varphi (v_{y})\varphi (v_{z})} _ {f(v)}dv_{x}dv_{y}dv_{z}

- faktisk sandsynligheden for at finde et højhastighedspunkt i volumen .

{\displaystyle dv_{x}dv_{y}dv_{z))

f(v)=\varphi (v_{x})\varphi (v_{y})\varphi (v_{z})

{\displaystyle \ln f(v)=\ln \varphi (v_{x})+\ln \varphi (v_{y})+\ln \varphi (v_{z})\quad {\bigg |}\ quad {\frac {\partial }{\partial v_{x))))

{\frac {f'(v)}{f(v)}}{\frac {\partial v}{\partial v_{x}}}={\frac {\varphi '(v_{x} )}{\varphi (v_{x})))

{\frac {\partial v}{\partial v_{x}}}={\frac {v_{x}}{v}}

{\frac {1}{v}}{\frac {f'(v)}{f(v)))={\frac {1}{v_{x}}}{\frac {\varphi '(v_{x})}{\varphi (v_{x})}}

Højre side er ikke afhængig af og , derfor er venstre side ikke afhængig af og enten. Men og er lige, derfor er venstre side ikke afhængig af . Så dette udtryk kan kun være lig med en eller anden konstant. $v_{y}$ $v_{z}$ $v_{y}$ $v_{z}$ $v_{x}$ $v_{y}$ $v_{x}$

{\frac {1}{v}}{\frac {f'(v)}{f(v)))=-\alpha

{\displaystyle {\frac {\varphi '(v_{x})}{\varphi (v_{x)))))=-\alpha v_{x))

\varphi (v_{x})=Ae^{-{\frac {\alpha {v_{x}}^{2}}{2}}}

\int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (v_{x})\,dv_{x}=1\qquad \Rightarrow \qquad A\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {\alpha {v_{x}}^{2}}{2}}}\,dv_{x}=A\,{\sqrt {\frac {2 }{\alpha }}}\,{\sqrt {\pi }}=1\qquad \Rightarrow \qquad A={\sqrt {\frac {\alpha }{2\pi }}}

\varphi (v_{x})={\sqrt {\frac {\alpha }{2\pi }}}e^{-{\frac {\alpha {v_{x}}^{2}} {2}}}

Nu skal du tage et grundlæggende skridt - indtast temperaturen. Kinetisk definition af temperatur (som et mål for den gennemsnitlige kinetiske energi af molekylers bevægelse):

\left\langle {\frac {mv^{2}}{2}}\right\rangle ={\frac {3}{2}}kT,

hvor J/K er Boltzmanns konstant . $k=1{,}380649\cdot 10^{-23}$

v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2))}.

I lyset af ligheden i alle retninger:

\langle v_{x}^{2}\rangle =\langle v_{y}^{2}\rangle =\langle v_{z}^{2}\rangle ={\frac {1}{3 }}\langle v^{2}\rangle ={\frac {kT}{m}}.

For at finde middelværdien integrerer vi den sammen med sandsynlighedstæthedsfunktionen fra minus til plus uendeligt: ${\displaystyle v_{x}^{2))$

{\frac {kT}{m}}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{v_{x}}^{2}\,\varphi (v_{x})\ ,dv_{x}={\sqrt {\frac {\alpha }{2\pi }}}\,\int \limits _{-\infty }^{\infty }v_{x}^{2}\, e^{-{\frac {\alpha {v_{x}}^{2}}{2}}}\,dv_{x}=

\qquad ={\sqrt {\frac {\alpha }{2\pi }}}\venstre[-2\,{\frac {d}{d\alpha }}\,\int \limits _{ -\infty }^{\infty }e^{-{\frac {\alpha {v_{x}}^{2}}{2}}}\,dv_{x}\right]=-2\,{ \sqrt {\frac {\alpha }{2\pi }}}\,{\frac {\delta }{\delta \alpha }}{\sqrt {\frac {2\pi }{\alpha }}}= -2{\sqrt {\alpha }}(-{\frac {1}{2}}\alpha ^{-{\frac {3}{2}}})={\frac {1}{\alpha } }.

Herfra finder vi : $\alfa$

\alpha ={\frac {m}{kT)).

Sandsynlighedstæthedsfordelingsfunktion for (for og tilsvarende): ${\displaystyle v_{x))$ ${\displaystyle v_{y))$ $v_{z}$

\varphi (v_{x})=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{\frac {1}{2}}\,e^{-{\ frac {mv_{x}^{2}}{2kT}}}.

Lad os nu overveje hastighedsfordelingen. Lad os vende tilbage til hastighedspunkternes rum. Alle punkter med hastighedsmodul ligger i et sfærisk lag med radius og tykkelse , og er volumenet af et element i dette sfæriske lag. $v\subset [v;v+dv]$ $v$ $dv$ ${\displaystyle dv_{x}dv_{y}dv_{z))$

dP(v_{x},v_{y},v_{z})=\varphi (v_{x})\varphi (v_{y})\varphi (v_{z})dv_{x}dv_ {y}dv_{z}

\underbrace {dP(v_{x},v_{y},v_{z})} _{dP(v)}=\venstre({\frac {m}{2\pi kT))\right )^{\frac {3}{2}}\,e^{-{\frac {mv_{x}^{2}+mv_{y}^{2}+mv_{z}^{2}}{ 2kT}}}\underbrace {dv_{x}dv_{y}dv_{z}} _{4\pi v^{2}dv}

dP(v)=\underbrace {4\pi \,\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{\frac {3}{2}}\,v^ {2}\,e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}} _{F(v)}dv

Således har vi fået sandsynlighedsdensitetsfunktionen , som er Maxwell-fordelingen. $F(v)$

Se også

Noter

↑ indlæring. Karavaev V. A. - Molekylær fysik - Begrænsende tilfælde af binomialfordelingen (26. juli 2017). Hentet: 3. marts 2019. (ubestemt)
↑ indlæring. Karavaev V. A. - Molekylær fysik - Maxwell distribution (26. juli 2017). Hentet: 3. marts 2019. (ubestemt)

Links

http://www.falstad.com/gas/