Laplace operatør

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 19. marts 2022; checks kræver 2 redigeringer .

Laplace- operatoren ( Laplacian , delta-operator) er en differentialoperator, der virker i det lineære rum af glatte funktioner og betegnes med symbolet . Han forbinder en funktion med en funktion $\\Delta$ $F\$

\Delta F={\partial ^{2}F \over \partial x_{1}^{2))+{\partial ^{2}F \over \partial x_{2}^{2)) +\ldots +{\partial ^{2}F \over \partial x_{n}^{2}}

i n -dimensionelt rum .

Laplace-operatoren svarer til at tage gradient- og divergensoperationerne i rækkefølge : , således kan værdien af Laplace-operatoren på et punkt fortolkes som tætheden af kilder (sinks) af det potentielle vektorfelt på det punkt. I det kartesiske koordinatsystem betegnes Laplace-operatoren ofte som følger [1] , altså som skalarproduktet af nabla-operatoren og sig selv. Laplace-operatoren er symmetrisk . $\Delta=\operatørnavn{div}\,\operatørnavn{grad}$ $\ \operatørnavn{grad}F$ $\Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2$

Laplace-operator for vektor : $\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k}$

$\Delta \mathbf {A} ={\Delta }A_{x}\mathbf {i} +{\Delta }A_{y}\mathbf {j} +{\Delta }A_{z}\mathbf { k} ={\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{ \partial y^{2))}+{\frac {\partial ^{2}A_{x)){\partial z^{2))}{\Biggr )}\mathbf {i} +{\biggl ( }{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y^{2} ))+{\frac {\partial ^{2}A_{y)){\partial z^{2))}{\Biggr )}\mathbf {j} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac { \partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {k}$ [2]

En vektors Laplacian er også en vektor.

En anden definition af Laplace-operatoren

Laplace-operatoren er en naturlig generalisering til funktioner af flere variable af den sædvanlige anden afledede af en funktion af en variabel. Faktisk, hvis en funktion har en kontinuert anden afledet i et område af punktet , så følger det af Taylor-formlen $\f(x)$ $\x_0$ $\f''(x)$

\ f(x_0+r)=f(x_0)+rf'(x_0)+\frac{r^2}{2}f''(x_0)+o(r^2),

kl ,

r\til 0,

\f(x_0-r)=f(x_0)-rf'(x_0)+\frac{r^2}{2}f''(x_0)+o(r^2),

på

r\til 0,

den anden afledte er grænsen

\ f''(x_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2}{r^2} \venstre\{ \frac{f(x_0+r)+f(x_0-r)}{ 2}-f(x_0)\højre\}.

Hvis vi går videre til en funktion af variabler, går vi frem på samme måde, det vil sige for et givet punkt , skal du overveje dets dimensionelle sfæriske radiusområde og forskellen mellem den aritmetiske middelværdi $\F$ $\k$ $M_0(x_1^0,x_2^0, ... ,x_k^0)$ $\k$ $\Q_r$ $\r$

\ \frac{1}{\sigma(S_r)}\int\limits_{S_r}Fd\sigma

funktion på grænsen af et sådant kvarter med området af grænsen og værdien i centrum af dette kvarter , så i tilfælde af kontinuitet af den anden partielle afledning af funktionen i nærheden af punktet , værdien af Laplacian på dette tidspunkt er grænsen $\F$ $\S_r$ $\ \sigma(S_r)$ $\F(M_0)$ $\M_0$ $\F$ $\M_0$ $\\Delta F$

\ \Delta F(M_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2k}{r^2} \venstre\{\frac{1}{\sigma(S_r)}\int\limits_{S_r }F(M)d\sigma -F(M_0) \right\}.

Samtidig med den foregående repræsentation, for Laplace-operatoren af funktionen , som har kontinuerlige andenafledte, formlen $\F$

\ \Delta F(M_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2(k+2)}{r^2} \left\{\frac{1}{\omega(Q_r)}\ int\limits_{Q_r}F(M)d\omega -F(M_0) \right\},

hvor er rumfanget af kvarteret

\ \omega(Q_r)

\Q_r.

Denne formel udtrykker det direkte forhold mellem Laplacian af en funktion og dens volumengennemsnit i nærheden af et givet punkt.

Beviset for disse formler findes for eksempel i [3] .

Ovenstående grænser, i alle tilfælde, hvor de eksisterer, kan tjene som en definition af Laplace-operatoren af en funktion. En sådan definition er at foretrække frem for den sædvanlige definition af Laplacian, som forudsætter eksistensen af anden afledte af de funktioner, der er under overvejelse, og falder sammen med den sædvanlige definition i tilfælde af kontinuitet af disse derivater. $\F.$

Udtryk for Laplace-operatoren i forskellige kurvelineære koordinatsystemer

I vilkårlige ortogonale krumlinjede koordinater i tredimensionelt rum : $q_1,\ q_2,\ q_3$

\Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatørnavn{div}\,\operatørnavn{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) =

=\frac{1}{H_1H_2H_3}\venstre[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left( \frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left( \frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) + \frac{\partial}{\partial q_3}\ venstre( \frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],

hvor er Lame-koefficienterne .

Hej\

Cylindriske koordinater

I cylindriske koordinater uden for linjen : $\r=0$

\Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {\partial^2f \over \partial z^2} + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}

Sfæriske koordinater

I sfæriske koordinater uden for oprindelsen (i tredimensionelt rum):

\Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2\sin^2 \theta} { \partial^2 f \over \partial \varphi^2}

eller

\Delta f = {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2} \left( rf \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \ varphi^2}.

Hvis i n -dimensionelt rum: $\f=f(r)$

\Delta f = {d^2 f\over dr^2} + {n-1 \over r } {df\over dr}.

Parabolske koordinater

I parabolske koordinater (i tredimensionelt rum) uden for oprindelsen:

\Delta f= \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} \venstre[ \frac{1}{\sigma} \frac{\partial }{\partial \sigma} \venstre ( \sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right) + \frac{1}{\tau} \frac{\partial }{\partial \tau} \left( \tau \frac{\ delvis f}{\partial \tau} \right)\right] + \frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}

Cylindriske parabolske koordinater

I koordinaterne af en parabolcylinder uden for oprindelsen:

\Delta F(u,v,z)={\frac {1}{c^{2}(u^{2}+v^{2})}}\venstre[{\frac {\partial ^{2 }F}{\partial u^{2))}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial v^{2))}\right]+{\frac {\partial ^{2} F}{\partial z^{2}}}.

Generelle krumlinjede koordinater og Riemannske rum

Lad et lokalt koordinatsystem være givet på en glat manifold og vær en riemannsk metrisk tensor på , dvs. metrikken har formen $x$ $g_{ij}$ $x$

ds^2 =\sum^n_{i,j=1}g_{ij} dx^idx^j

Betegn med elementerne i matricen og $g^{ij}$ $(g_{ij})^{-1}$

g = \operatørnavn{det} g_{ij} = (\operatørnavn{det} g^{ij})^{-1}

Divergensen af et vektorfelt givet af koordinater (og repræsenterer en førsteordens differentialoperator ) på en manifold X beregnes med formlen $F$ $F^i$ $\sum_i F^i\frac{\partial}{\partial x^i}$

\operatorname{div} F = \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}(\sqrt{g}F^i )

og komponenterne af gradienten af funktionen f , ifølge formlen

(\nabla f)^{j}=\sum _{{i=1}}^{n}g^{{ij}}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}.

Laplace- Beltrami-operatøren på : $x$

\Delta f=\operatørnavn {div}(\nabla f)={\frac {1}({\sqrt {g))))\sum _{{i=1))^{n}{\frac {\ delvis }{\partial x^{i))}{\Big (}{\sqrt {g))\sum _{{k=1))^{n}g^{{ik)){\frac {\ partiel f}{\partial x^{k))}{\Big )}.

Værdien er en skalar, det vil sige, den ændres ikke, når koordinaterne transformeres. $\Delta f$

Ansøgning

Ved at bruge denne operator er det praktisk at skrive Laplace- , Poisson -ligningerne og bølgeligningen . I fysik er Laplace-operatoren anvendelig i elektrostatik og elektrodynamik, kvantemekanik , i mange ligninger af kontinuumfysik , og i studiet af ligevægten mellem membraner, film eller grænseflader med overfladespænding (se Laplace-tryk ), i stationære problemer med diffusion og varmeledning, som i den kontinuerte grænse reducerer til de sædvanlige Laplace- eller Poisson-ligninger eller til nogle af deres generaliseringer.

Variationer

D'Alembert-operatoren er en generalisering af Laplace-operatoren for hyperbolske ligninger . Inkluderer den anden afledede med hensyn til tid.
Vektor Laplace-operatoren er en generalisering af Laplace-operatoren for et vektorargument .

Se også

Nabla operatør
D'Alembert operatør
Laplace ligning
harmonisk funktion
Kirchhoff matrix
V.G.Vodnev, A.F.Naumovich, N.F.Naumovich "Mathematical Dictionary of Higher Education". Forlaget MPI 1984.

Noter

↑ Notationen for Laplace-operatoren i form af kvadratet af nabla-operatoren bør undgås , da det ikke fremgår af en sådan notation , om skalar- eller vektorproduktet menes med kvadratering.
↑ V.G. Vodnev, A.F. Naumovich, N.F. Naumovich "Mathematical Dictionary of Higher School". MPI Publishing House 1984. Artikel "Laplace-operatør" og "Vektorfeltrotor".
↑ Timan A. F., Trofimov V. N. Introduktion til teorien om harmoniske funktioner. M. Videnskab. 1968. 208s.

Links

MathWorld-beskrivelse af Laplacian Arkiveret 17. juni 2020 på Wayback Machine

Differentialregning

Hoved

private udsigter

Differentialoperatorer
( i forskellige koordinater )

Første ordre	Nabla operatør Gradient Divergens Rotor Helmholtzian
anden orden	Elliptisk operatør Laplace operatør Laplace vektor operatør D'Alembert operatør Laplace-Beltrami operatør
højere ordrer	Hypoelliptisk operatør

relaterede emner