Omega (permanent)

Omega-konstanten er en matematisk konstant , defineret som det eneste reelle tal , der opfylder ligningen

\Omega e^{\Omega }=1

Denne værdi er , hvor er Lambert W-funktionen . Navnet kommer fra et alternativt navn til Lamberts W-funktion, omega-funktionen. Numerisk værdi : $W(1)$ $W$ $\Omega$

\Omega =0,567\,143\,290\,409\,783\,872\,999\,968\,662\,210\,355\,549\,753\,815\,787\ ,186\,512\,508\,135\,131\,079\ldots

(sekvens A030178 i OEIS )

{\frac {1}{\Omega }}=1.763\,222\,834\,351\,896\,710\,225\,201\,776\,951\,707\,080\ ,436\,017\,986\,667\,473\,634\,570\,456\,905\ldots

(sekvens A030797 i OEIS )

Egenskaber

Repræsentation som et fast punkt på displayet

Den definerende relation kan fx udtrykkes som

\ln {\biggl (}{\frac {1}{\Omega }}{\biggr )}=\Omega

eller

-\ln(\Omega )=\Omega

eller

e^{-\Omega }=\Omega

Beregning

Kan beregnes iterativt ved at starte med det indledende gæt og overveje rækkefølgen $\Omega$ ${\displaystyle \Omega _{0))$

\Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n))

Denne sekvens konvergerer til , når n går til det uendelige. Dette er fordi er det tiltrækkende fikspunkt for funktionen . Det er dog meget mere effektivt at bruge gentagelsesrelationen $\Omega$ $\Omega$ $e^{-x}$

\Omega _{n+1}={\frac {1+\Omega _{n}}{1+e^{\Omega _{n}}}}

fordi funktionen

{\displaystyle f(x)={\frac {1+x}{1+e^{x))))

udover at have det samme fikspunkt, har det også en afledt, som forsvinder der. Dette garanterer kvadratisk konvergens; det vil sige, at antallet af korrekte cifre groft fordobles med hver iteration.

Ved hjælp af Halleys metode kan man tilnærme sig ved hjælp af kubisk konvergens: $\Omega$

\Omega _{j+1}=\Omega _{j}-{\frac {\Omega _{j}e^{\Omega _{j))-1}{e^{\Omega _{ j}}(\Omega _{j}+1)-{\frac {(\Omega _{j}+2)(\Omega _{j}e^{\Omega _{j}}-1)}{ 2\Omega _{j}+2}}}}}

Integrale repræsentationer

Viktor Adamczyks identitet:

\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}={\frac { 1}{1+\Omega}}

En anden relation forbundet med I. Meso [1] [2] :

\Omega ={\frac {1}{\pi }}\operatørnavn {Re} \int _{0}^{\pi }\log \left({\frac {e^{e^{it} }-e^{-it}}{e^{e^{it}}-e^{it}}}\right)dt

\Omega ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \left(1+{\frac {\sin t}{t}}e^{ t\cott}\right)dt

Transcendens

Konstanten er transcendent . Dette kan ses som en direkte konsekvens af Lindemann-Weierstrass-sætningen . Lad os antage, at det er algebraisk. Ved teorem er det transcendentalt, men ; modsigelse. Derfor skal det være et transcendentalt tal. $\Omega$ $\Omega$ ${\displaystyle e^{-\Omega ))$ ${\displaystyle \Omega =e^{-\Omega ))$ $\Omega$

Se også

W-funktion af Lambert

Noter

↑ István, Mező En integreret repræsentation for hovedgrenen af Lambert W - funktionen . Hentet 7. november 2017. Arkiveret fra originalen 28. december 2016. (ubestemt)
↑ Mező, István (2020), En integreret repræsentation for Lambert W-funktionen, arΧiv : 2012.02480 . .

Kilder

Weisstein, Eric W. Omega Constant (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
Omega konstant (1.000.000 cifre) , < http://ankokudan.org/d/d.htm?mathlistindex-e.html > . Hentet 25. december 2017.

Tal med egennavne

Matematiske konstanter

Algebraisk

Transcendental ,
sandsynligvis transcendental

Tusind grader

Gamle russiske tal

Andre timagter

tolv magter

Andet hele

Andre numre

imaginær enhed