Netværksvidenskab

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. maj 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Netværksvidenskab er et videnskabeligt område, der studerer komplekse netværk , såsom kommunikation , computer , biologiske , kognitive og semantiske netværk , samt sociale netværk , og overvejer de forskellige elementer eller deltagere i processen, repræsenteret af noder (eller knudepunkter ), og forbindelserne mellem elementer eller deltagere, repræsenteret ved links (eller kanter ). Dette videnskabelige felt låner teorier og metoder fra grafteori , statistisk mekanik , datamining og informationsvisualisering fra datalogi , inferensmodellering fra statistik og social struktur fra sociologi. US National Research Council definerer netværksvidenskab som "studiet af netværksrepræsentationer af fysiske, biologiske og sociale fænomener, der fører til prædiktive modeller af disse fænomener." [en]

Baggrund og historie

Studiet af netværk er blevet stødt på i forskellige discipliner og brugte denne model som et middel til at analysere komplekse og forbundne data. Den tidligste artikel i dette område er den berømte artikel om de syv Königsberg-broer , skrevet af Leonhard Euler i 1736. Eulers matematiske beskrivelse af hjørner og kanter blev grundlaget for grafteori, en gren af matematikken, der studerer egenskaberne af parvise forbindelser i en netværksstruktur. Grafteori udviklet og fundet anvendelse i kemi [2] .

Denes König , en ungarsk professor i matematik, skrev den første bog om grafteori i 1936 med titlen The Theory of Finite and Infinite Graphs [3] .

I 1930'erne ankom Jacob Levi Moreno , en psykolog, der arbejder i traditionen for gestaltpsykologi , til USA. Han udviklede et sociogram og præsenterede det for offentligheden i april 1933 ved konferencen for medicinstuderende. Moreno hævdede, at "før opfindelsen af sociometri vidste ingen præcis, hvordan den interpersonelle struktur i en gruppe så ud" [4] . Et sociogram var en repræsentation af den sociale struktur hos en gruppe folkeskoleelever. Drenge var venner med drenge, og piger var venner med andre piger, med kun én undtagelse: en af drengene sagde, at han kunne lide én pige, men følelsen var ikke gensidig. Netværksrepræsentationen af den sociale struktur gjorde et så stærkt indtryk, at der blev skrevet om det i The New York Times [5] . Sociogrammet har fundet mange anvendelser; på grundlag af det er der formuleret tilgange til analyse af sociale netværk .

Anvendelsen af sandsynlighedsteori til netværksvidenskab udviklede sig som en udløber af grafteori i form af Pal Erdős og Alfred Rényis otte berømte artikler om tilfældige grafer . For sociale netværk er den eksponentielle tilfældige grafmodel eller p* en glimrende ramme, der bruges til at repræsentere rummet af probabilistiske forbindelser, der optræder i et socialt netværk . En alternativ tilgang til probabilistiske netværksstrukturer er netværkssandsynlighedsmatrixen , som modellerer sandsynligheden for, at kanter forekommer i et netværk baseret på den historiske tilstedeværelse eller fravær af en kant i nye netværk.

I 1998 introducerede David Crackhard og Kathleen Carley ideen om et metanet med PCANS-modellen. De foreslog, at "alle organisationer er struktureret i tre retninger, enkeltpersoner, opgaver og ressourcer". Deres papir introducerede konceptet om, at netværk opstår fra forskellige retninger og derfor er indbyrdes forbundet. Dette område er vokset til et andet underområde af netværksvidenskab kaldet dynamisk netværksanalyse .

På det seneste har andre videnskabelige bestræbelser fokuseret på den matematiske beskrivelse af forskellige netværkstopologier . Duncan Watts kombinerede dataene på netværkene med en matematisk repræsentation, der beskriver "Small World"-grafen . Albert-Laszlo Barabashi og Reka Albert udviklede et skala-invariant netværk , som generelt definerer en netværkstopologi, der indeholder knudepunkter (hubs) med mange forbindelser, hvis antal vokser, og holder et konstant forhold mellem antallet af forbindelser i forhold til antallet af alle noder. Selvom mange netværk, såsom internettet, ser ud til at bevare dette forhold, har andre netværk lange haler af nodefordelinger, der kun tilnærmelsesvis bevarer skalainvarians.

Forsvarsministeriets initiativer

Det amerikanske militær var det første (i 1996) til at interessere sig for netværkscentreret krigsførelse som et krigsbegreb baseret på netværksvidenskab. John A. Parmentola, US Army Director for Research and Laboratory Management , erklærede ved hærens bestyrelse for videnskab og teknologi (BAST ) 1. december 2003, at netværksvidenskab er ved at blive et nyt forskningsområde i hæren. BAST, afdelingen for ingeniør- og fysikalske videnskaber i National Research Council (NRC ) i Statens Videnskabsakademi, er bemyndiget til at organisere diskussioner om videnskabelige og teknologiske presserende spørgsmål for hæren og udøve tilsyn med uafhængige hærrelaterede undersøgelser udført af videnskabsakademi. BAST undersøger, om udformning og finansiering af et nyt felt, netværksvidenskab, kan hjælpe med at lukke kløften mellem behovet for netværkscentrerede operationer og den nuværende primitive tilstand af grundlæggende netværksviden.

Som et resultat udgav BAST i 2005 et NRC-forskningspapir med titlen "Network Science", som definerer et nyt kerneforskningsområde inden for netværksvidenskab for militæret. Baseret på resultaterne og anbefalingerne fra dette arbejde og på den efterfølgende NRC-rapport fra 2007 med titlen "Strategy for the Army Network Science, Technology and Experimental Centres", er store hærens forskningsressourcer blevet omdirigeret til at igangsætte nye store forskningsprogrammer inden for netværksvidenskab. For at opbygge nye teoretiske grundlag for komplekse netværk, understøttes nogle nye nøglepunkter inden for netværksvidenskabelig forskning rettet mod hærens laboratorier:

Matematiske modeller for netværksadfærd til at forudsige ydeevne i form af netværksstørrelse, kompleksitet og miljø.
Optimeret menneskelig ydeevne påkrævet til onlinekrigsførelse.
Organisering af netværk i økosystemer og i celler på molekylært niveau.

Introduceret i 2004 af Frederick I. Moxley og støttet af David S. Alberts, hjalp Forsvarsministeriet med at etablere det første Network Science Center med United States Military Academy ( USMA ) i den amerikanske hær . Under ledelse af Moxley- og USMA-medarbejdere blev der oprettet et tværfagligt bachelornetværksvidenskabskursus for West Point- kadetter . For bedre at implementere det grundlæggende i netværksvidenskab blandt fremtidige ledere, grundlagde USMA også et fem-disciplin kursus.

I 2006 dannede den amerikanske hær og Det Forenede Kongerige (UK) International Technology Alliance ( eng. International Technology Alliance ) for Network and Information Science ( eng. the Network and Information Science ), et fælles partnerskab mellem Army Research Laboratory, det britiske forsvarsministerium og en konsortiumindustri og universiteter i USA og Storbritannien. Formålet med alliancen er at udføre forskning til støtte for netværkscentrerede operationer til gavn for begge nationer.

I 2009 dannede den amerikanske hær Network Science Technology Cooperative Alliance , en forskningsalliance mellem Army Research Laboratory , CERDEC og et konsortium af 30 amerikanske industrielle forskningscentre. Målet med alliancen er at udvikle en dyb forståelse af fællestræk af sammenflettede sociale/kognitive, informations- og kommunikationsnetværk og som et resultat forbedre vores evne til at analysere, forudsige, designe og påvirke komplekse sammenflettede netværkssystemer af mange slags.

Derefter, som et resultat af disse bestræbelser, sponsorerede det amerikanske forsvarsministerium adskillige forskningsprojekter, der understøttede netværksvidenskab.

Netværksegenskaber

Ofte har netværk nogle attributter, der kan beregnes til at analysere netværkets egenskaber og karakteristika. Disse netværksegenskabers adfærd bestemmes ofte af netværksmodeller og kan bruges til at analysere, hvordan en model adskiller sig fra en anden. Mange definitioner for andre termer, der bruges i netværksvidenskab, kan findes i artiklen Glossary of Graph Theory .

Størrelse

Størrelsen af netværket kan forstås som antallet af noder eller, mere sjældent, antallet af kanter , som (for forbundne grafer uden flere kanter) kan variere fra (træ) til ( fuldstændig graf ). I tilfælde af en simpel graf (et netværk, hvor der højst er en (urettet) kant mellem et hvilket som helst par af hjørner, og hvor ingen af hjørnerne er forbundet med sig selv), har vi . Til rettede grafer (ingen løkker) . Til rettede grafer med tilladte sløjfer . For tilfældet med en graf, hvor flere kanter mellem et par hjørner er tilladt . $N$ $E$ $N-1$ ${\displaystyle E_{\max ))$ $E_{\max }={\tbinom {N}{2}}=N(N-1)/2$ $E_{\max }=N(N-1)$ ${\displaystyle E_{\max }=N^{2))$ $E_{\max }=\infty$

Tæthed

Tætheden af et netværk med noder er defineret som forholdet mellem antallet af kanter og antallet af mulige kanter i netværket og er givet (i tilfælde af simple grafer) af den binomiale koefficient , som giver $D$ $N$ $E$ ${\tbinom {N}{2}}$

D={\frac {E-(N-1)}{Emax-(N-1)))={\frac {2(E-N+1)}{N(N-3)+2 }}

En anden mulig ligning er, hvor bindingerne ikke er orienteret [6] [7] . Dette giver en bedre forståelse af netværkstæthed, da urettede links kan måles. $D={\frac {T-2N+2}{N(N-3)+2)),$ $T$

Plan netværkstæthed

Tætheden af et netværk uden kantkryds er defineret som forholdet mellem antallet af kanter og det maksimale antal kanter i et netværk med noder uden krydsende kanter , hvilket giver $D$ $E$ $N$ $(E_{\max }=3N-6)$ $D={\frac {E-N+1}{2N-5)).$

Den gennemsnitlige grad af en knude

Graden af en node er antallet af kanter forbundet med den. Nært beslægtet med netværkstæthed er den gennemsnitlige tæthed, (eller, i tilfælde af rettede grafer, . Faktoren 2 i den foregående ligning kommer fra det faktum, at hver kant i en urettet graf bidrager til potenserne af to forskellige toppunkter). I Erdős-Rényi random graph model ( ), kan vi beregne den forventede værdi (svarende til den forventede værdi af et vilkårligt toppunkt) - et tilfældigt toppunkt har mulige andre toppunkter med en forbindelsessandsynlighed . Så . $k$ $\langle k\rangle ={\tfrac {2E}{N}}$ $\langle k\rangle ={\tfrac {E}{N))$ $G(N,p)$ $\langle k\rangle$ $k$ $N-1$ $s$ $\mathbb {E} [\langle k\rangle ]=\mathbb {E} [k]=p(N-1)$

Gennemsnitlig længde af den korteste vej (eller vejlængdekarakteristik)

Den gennemsnitlige længde af den korteste vej beregnes ved at finde den korteste vej mellem alle par af knudepunkter og beregne den gennemsnitlige længde over alle stier (længden er antallet af kanter indeholdt i stien, dvs. afstanden mellem to toppunkter i grafen) . Dette viser os i gennemsnit antallet af trin, der skal tages fra en vært til en anden. Opførselen af den gennemsnitlige korteste vejmiddellængde som funktion af antallet af hjørner i en tilfældig netværksmodel afgør, om modellen afspejler den lille verdenseffekt . Hvis den opfører sig som , genererer modellen en model af små verdensnetværk. Med vækst større end den logaritmiske model giver det ikke en "lille verden". Et særligt tilfælde af vækst er kendt som ultrasmall world effect. ${\displaystyle d_{u,v))$ $u,v$ $N$ $O(\ln N)$ $O(\ln \ln N)$

Netværksdiameter

Som et andet middel til at måle netværksgrafer kan vi definere netværksdiameteren som den længste beregnede korteste vej i netværket. Dette er den korteste afstand mellem de to fjerneste noder i netværket. Med andre ord, efter at længden af den korteste vej fra hver knude til alle andre knudepunkter er blevet beregnet, er diameteren den længste af alle beregnede vejlængder. Diameteren er en repræsentation af netværkets lineære størrelse.

Klyngningskoefficient

Klyngekoefficienten er et mål for egenskaben "alle mine venner kender hinanden". Dette beskrives nogle gange som "min vens venner er mine venner". Mere præcist er klyngekoefficienten for en knude lig med forholdet mellem de eksisterende links, der forbinder knudepunktets naboer med hinanden, til det maksimale antal af sådanne links. Klyngekoefficienten for hele netværket er lig med gennemsnittet af klyngekoefficienterne for alle knudepunkter. En høj klyngekoefficient for et netværk er endnu et tegn på en stram verden .

Klyngningskoefficienten for den -th node er lig med $jeg$

C_{i}={2e_{i} \over k_{i}{(k_{i}-1)))\,,

hvor er lig med antallet af naboer til den i -de node, og er lig med antallet af forbindelser mellem disse naboer. Det maksimale antal mulige forbindelser mellem naboer er således, $k_i$ $jeg$ $e_{i}$

{\binom {k}{2}}={{k(k-1)} \over 2}\,.

Fra et sandsynlighedsteoretisk synspunkt er den forventede lokale klyngekoefficient lig med sandsynligheden for eksistensen af en forbindelse mellem to vilkårligt valgte naboer til den samme knude.

Forbindelse

Måden netværket er forbundet på spiller en stor rolle i analysen og fortolkningen af netværket. Netværk er klassificeret i fire kategorier:

Clique / Full Graph er et fuldt tilsluttet netværk, hvor hver node er forbundet med hver anden node. Disse netværk er symmetriske, fordi alle noder har indgående forbindelser fra alle andre noder og udgående forbindelser til alle andre noder.
Kæmpekomponent − En enkelt tilsluttet komponent indeholder de fleste af noderne i netværket.
En løst forbundet komponent er et sæt knudepunkter, hvor der er en sti fra en hvilken som helst knude til enhver anden, uanset retningen af kanterne.
En stærkt forbundet komponent er et sæt af noder, hvor der er en rettet vej fra en hvilken som helst node til en hvilken som helst anden node.

Knop centralitet

Centralitetsscore genererer en rangordning, der forsøger at identificere de vigtigste knudepunkter i netværksmodellen. Forskellige mål for centralitet koder for forskellige kontekster for ordet "betydning". Formidlingsgraden anser for eksempel en node for meget vigtig, hvis den danner broer mellem mange andre noder. Powerfulness betragter derimod en node som meget vigtig, hvis mange andre meget vigtige noder er forbundet med den. Hundredvis af sådanne freder er blevet foreslået i litteraturen.

Tegnene på centralitet er kun nøjagtige til at afsløre de mest centrale noder. Disse foranstaltninger giver sjældent eller nogensinde mening for andre knudepunkter i netværket [8] [9] . Indikatorer er også kun nøjagtige, når de bruges i forbindelse med node-viktighed og har tendens til at "gå forkert" i andre sammenhænge [10] . Forestil dig for eksempel to fællesskaber, der kun er forbundet med en kant mellem de yngste medlemmer af hvert fællesskab. Da overgangen fra et samfund til et andet skal gå igennem denne kant, vil de to juniormedlemmer have en høj grad af mediation. Men da de er unge (tilsyneladende), har de få forbindelser til "vigtige" noder i deres eget samfund, hvilket betyder, at deres grad af indflydelse vil være ret lav.

Begrebet centralitet i sammenhæng med statiske netværk er blevet udvidet baseret på empiriske og teoretiske undersøgelser til dynamisk centralitet [11] i sammenhæng med tidsafhængige og forbigående netværk [12] [13] [14] .

Topindflydelse

Begrænsningerne af centralitetsforanstaltninger har ført til udviklingen af mere generelle foranstaltninger. To eksempler er nåbarhed , som bruger længdespredningen af tilfældige stier til at måle, hvor tilgængelig resten af netværket er fra en valgt startknude [15] , og forventet styrke , som er afledt af den forventede værdi af infektionsstyrke genereret af noden [8] . Begge disse mål kan kun beregnes meningsfuldt ud fra netværkets struktur.

Netværksmodeller

Netværksmodeller bruges som grundlag for at forstå sammenhængene inden for empiriske komplekse netværk. Forskellige tilfældige grafgenereringsmodeller danner netværksstrukturer, der kan bruges i sammenligning med komplekse netværk i den virkelige verden.

Erdős-Rényi Random Graph Model

Erdős-Rényi modellen , opkaldt efter Pal Erdős og Alfred Rényi , bruges til at generere tilfældige grafer , hvor kanter dannes mellem noder med lige sandsynlighed. Modellen kan bruges i en probabilistisk metode til at bevise eksistensen af grafer med forskellige egenskaber, eller til at give en streng definition af, hvilke egenskaber der gælder for næsten alle grafer.

For at generere Erdős-Rényi-modellen skal der gives to parametre - det samlede antal knudepunkter n og sandsynligheden p , hvormed et vilkårligt par knudepunkter har en forbindelseskant. $G(n,p)$

Da modellen er genereret uden præjudice for visse noder, er fordelingen af noder efter antallet af forbindelser binomial - for en tilfældigt valgt node , $v$

P(\deg(v)=k)={n-1 \vælg k}p^{k}(1-p)^{n-1-k}.

I denne model er klyngekoefficienten næsten helt sikkert 0 . Adfærd kan opdeles i tre områder. $G(n,p)$

Subkritisk : Alle komponenter er enkle og meget små, den største komponent er af størrelse ; $np<1$ $|C_{1}|=O(\log n)$

Kritisk : ; $np=1$ $|C_{1}|=O(n^{\frac {2}{3)))$

Superkritisk : hvor er den positive løsning af ligningen . $np>1$ $|C_{1}|\approx yn$ $y=y(np)$ $e^{-pny}=1-y$

Den største tilsluttede komponent har en høj kompleksitet. Alle andre komponenter er enkle og små . $|C_{2}|=O(\log n)$

Konfigurationsmodel

For konfigurationsmodellen vælges en sekvens af toppunktsgrader [16] [17] eller en fordeling af toppunktsgrader [18] [19] (som derefter bruges til at generere en sekvens af toppunkter) som input, og en tilfældigt forbundet graf er oprettet med bevarelse af alle toppunkter i sekvensen. Det betyder, at for et givet valg af gradrækkefølge, vælges grafen ensartet fra sættet af alle grafer, der har en sådan rækkefølge af toppunktsgrader. Graden af et tilfældigt valgt toppunkt er en uafhængig og ligeligt fordelt stokastisk variabel med heltalsværdier. Når konfigurationsgrafen indeholder en kæmpe forbundet komponent , som har en ubegrænset størrelse [17] . Resten af komponenterne har endelige størrelser, der kan kvantificeres ved hjælp af en størrelsesfordeling. Sandsynligheden for , at en tilfældigt valgt knude er forbundet med en størrelseskomponent, er givet ved graden af foldning af gradfordelingen [20] $k$ ${\textstyle \mathbb {E} [k^{2}]-2\mathbb {E} [k]>0}$ $w(n)$ $n$

w ( n ) = { E [ k ] n − en u en ∗ n ( n − 2 ) , n > en , u ( 0 ) n = en , {\displaystyle w(n)={\begin{cases}{\frac {\mathbb {E} [k]}{n-1}}u_{1}^{*n}(n-2),&n> 1,\\u(0)&n=1,\end{cases}}}

w(n)={\begin{cases}{\frac {\mathbb {E} [k]}{n-1}}u_{1}^{*n}(n-2),&n> 1,\\u(0)&n=1,\end{cases}}

hvor betyder fordelingen af noder efter antallet af links og . En kæmpe komponent kan ødelægges ved tilfældigt at fjerne en kritisk brøkdel af alle hjørner. Denne proces kaldes perkolation (lækage) på tilfældige netværk . Hvis det andet moment af fordelingsgraden er endeligt, det vil sige , er denne kritiske kantbrøk givet af ligheden [21] $u(k)$ $u_{1}(k)={\frac {(k+1)u(k+1)}{\mathbb {E} [k]}}$ $p_{c}$ ${\textstyle \mathbb {E} [k^{2}]<\infty }$

p_{c}=1-{\frac {\mathbb {E} [k]}{\mathbb {E} [k^{2}]-\mathbb {E} [k]}}

og den gennemsnitlige afstand mellem hjørner i den gigantiske komponent er logaritmisk proportional med den samlede størrelse af netværket [18] . $l$ $l=O(\log N)$

I den orienterede konfigurationsmodel er graden af en node givet af to tal, input semidegree og output semidegree , og følgelig vil fordelingen af toppunktsgrader være bivariate. Det forventede antal indgående og udgående kanter er det samme, så . En orienteret konfigurationsmodel indeholder en gigantisk komponent, hvis og kun hvis [22] $k_{\text{in))$ $k_{\text{out}}$ ${\textstyle \mathbb {E} [k_{\text{in}}]=\mathbb {E} [k_{\text{out}}]}$

2 E [ k i ] E [ k i k ud ] − E [ k i ] E [ k ud 2 ] − E [ k i ] E [ k i 2 ] + E [ k i 2 ] E [ k ud 2 ] − E [ k i k ud ] 2 > 0. {\displaystyle 2\mathbb {E} [k_{\text{i}}]\mathbb {E} [k_{\text{in}}k_{\text{out}}]-\mathbb {E} [k_ {\text{i}}]\mathbb {E} [k_{\text{out}}^{2}]-\mathbb {E} [k_{\text{i}}]\mathbb {E} [k_ {\text{in}}^{2}]+\mathbb {E} [k_{\text{in}}^{2}]\mathbb {E} [k_{\text{out}}^{2} ]-\mathbb {E} [k_{\text{in}}k_{\text{out}}]^{2}>0.}

2\mathbb {E} [k_{\text{i}}]\mathbb {E} [k_{\text{in}}k_{\text{out}}]-\mathbb {E} [k_ {\text{i}}]\mathbb {E} [k_{\text{out}}^{2}]-\mathbb {E} [k_{\text{i}}]\mathbb {E} [k_ {\text{in}}^{2}]+\mathbb {E} [k_{\text{in}}^{2}]\mathbb {E} [k_{\text{out}}^{2} ]-\mathbb {E} [k_{\text{in}}k_{\text{out}}]^{2}>0.

Bemærk, at og er ens, og derfor er udskiftelige i den sidste ulighed. Sandsynligheden for, at et tilfældigt udvalgt toppunkt tilhører en størrelseskomponent , er givet ved formlen [23] ${\textstyle \mathbb {E} [k_{\text{i}}]}$ ${\textstyle \mathbb {E} [k_{\text{out}}]}$ $n$

h i ( n ) = E [ k jeg n ] n − en u ~ i ∗ n ( n − 2 ) , n > en , u ~ i = k i + en E [ k i ] ∑ k ud ≥ 0 u ( k i + en , k ud ) , {\displaystyle h_{\text{in}}(n)={\frac {\mathbb {E} [k_{in}]}{n-1}}{\tilde {u}}_{\text{in }}^{*n}(n-2),\;n>1,\;{\tilde {u}}_{\text{in}}={\frac {k_{\text{in}}+ 1}{\mathbb {E} [k_{\text{in}]}}\sum \limits _{k_{\text{out}}\geq 0}u(k_{\text{in}}+1 ,k_{\tekst{ud)))}

h_{\text{in}}(n)={\frac {\mathbb {E} [k_{in}]}{n-1}}{\tilde {u}}_{\text{in }}^{*n}(n-2),\;n>1,\;{\tilde {u}}_{\text{in}}={\frac {k_{\text{in}}+ 1}{\mathbb {E} [k_{\text{in}]}}\sum \limits _{k_{\text{out}}\geq 0}u(k_{\text{in}}+1 ,k_{\tekst{ud)))

for indgående komponenter, og

h_{\text{out}}(n)={\frac {\mathbb {E} [k_{\text{out}}]}{n-1}}{\tilde {u}}_{ \text{out}}^{*n}(n-2),\;n>1,\;{\tilde {u}}_{\text{out}}={\frac {k_{\text{ ud))+1}{\mathbb {E} [k_{\text{out}}]}}\sum \limits _{k_{\text{in}}\geq 0}u(k_{\text{in )),k_{\text{out}}+1),

til udgående komponenter.

Watts-Strogatz nærverden-modellen

Watts-Strogatz-modellen er en tilfældig grafgenereringsmodel, der producerer grafer med egenskaber for "lille verden" .

For at generere Watts-Strogatz-modellen bruges den indledende gitterstruktur. Hvert knudepunkt i netværket er oprindeligt forbundet med dets nærmeste naboer. En anden parameter angiver sandsynligheden for omledning. Hver kant har en sandsynlighed for , at den vil blive omkoblet til grafen som en tilfældig kant. Det forventede antal rewired forbindelser i modellen er . $\langle k\rangle$ $s$ $pE=pN\langle k\rangle /2$

Da Watts-Strogatz-modellen starter som en ikke-tilfældig gitterstruktur, har den en meget høj klyngefaktor sammen med en høj gennemsnitlig vejlængde. Hver omledning vil sandsynligvis skabe en genvej mellem stærkt forbundne klynger. Efterhånden som sandsynligheden for omledning stiger, falder klyngekoefficienten langsommere end den gennemsnitlige vejlængde. Som et resultat heraf tillader dette den gennemsnitlige netværksvejlængde at falde betydeligt med et lille fald i klyngekoefficienten. Høje værdier af p resulterer i mere edge omledning, hvilket gør Watts-Strogatz-modellen til et tilfældigt netværk som resultat.

Barabasi-Albert-modellen af foretrukne vedhæftede filer

Barabasi-Albert- modellen er en tilfældig netværksmodel, der bruges til at demonstrere præferencetilknytning eller effekten af de rige bliver rigere. I denne model er det mest sandsynligt, at en kant forbindes til noder med de højeste grader. Netværket starter med et netværk med m 0 noder, hvor , og graden af hver node i det indledende netværk skal være mindst 1, ellers vil noden for altid forblive afbrudt fra resten af netværket. $m_{0}\geqslant 2$

I Barabasi-Albert-modellen tilføjes nye noder til netværket én ad gangen. Hver ny node forbindes til eksisterende noder med en sandsynlighed, der er proportional med antallet af allerede eksisterende noder. Formelt set er sandsynligheden for , at en ny node er forbundet til node i [ 24] $m$ $p_{i}$

p_{i}={\frac {k_{i}}{\sum _{j}k_{j}}},

hvor k i er graden af node i . De mest tilsluttede noder ("hubs") har en tendens til hurtigt at akkumulere endnu flere forbindelser, mens noder med færre forbindelser sandsynligvis ikke bliver valgt som en ny forbindelse. Nye noder har den "fordel" at slutte sig til de i forvejen stærkest forbundne noder.

Fordelingen af noder efter antallet af links opnået fra BA-modellen er skalainvariant , især er det en magtlov af formen

P(k)\sim k^{-3}\,

Hubs viser en høj grad af formidling, hvilket tillader korte veje mellem noder. Som følge heraf har BA-modellen en tendens til at have meget korte gennemsnitlige vejlængder. Denne models klyngekoefficient har også en tendens til 0. Mens diameteren D på mange modeller, inklusive Erdős-Rényi tilfældige grafmodellen og nogle tætte netværk , er proportional med log N, viser BA-modellen D~loglogN (ultra- stram verden) [26] .

Mellemliggende tilknytningsmodel

I den formidlingsdrevne tilknytningsmodel ( formidlingsdrevet vedhæftning , MDA) kommer en ny node med kanter , for hvilke en eksisterende forbundet node er tilfældigt udvalgt, og den nye node er forbundet ikke kun til denne tilfældigt valgte node, men også til sine naboer, også valgt tilfældigt. Sandsynligheden for , at en naboknude til en eksisterende knude er valgt er $m$ $m$ $\Pi (i)$ $jeg$

\Pi (i)={\frac {k_{i}}{N}}{\frac {\sum _{j=1}^{k_{i}}{\frac {1}{k_{ j}}}}{k_{i}}}}.

Multiplikatoren er lig med den reciproke af det harmoniske middelværdi (OSG) af kræfterne for knudepunktets naboer . En omfattende numerisk undersøgelse tyder på, at gennemsnitsværdien af GRG generelt har en tendens til en konstant, hvilket betyder, at . Det følger heraf, at jo flere forbindelser (grad) en knude har, jo større er chancen for at få flere forbindelser, da de kan opnås på en lang række måder gennem mellemmænd, hvilket i det væsentlige inkarnerer den intuitive idé om "de rige bliver rigere " (eller reglen om præferencetilknytning Barabashi-Albert-modeller). Derfor adlyder MDA-netværk, som det kan forstås, PA-reglen, men i en implicit form [27] . ${\frac {\sum _{j=1}^{k_{i}}{\frac {1}{k_{j}}}}{k_{i}}}$ $k_i$ $jeg$ $m>14$ $N$ ${\displaystyle \Pi (i)\propto k_{i))$

Men når vi får mekanismen "vinderen tager alt", da næsten det samlede antal noder har en grad på én, og en node bliver superrig. Efterhånden som værdien stiger, falder misforholdet mellem de superrige og de fattige, og ved observerer vi en overgang fra mekanismen "rig bliver superrig" til mekanismen "rige bliver rigere". $m=1$ $99\%$ $m$ $m>14$

Match model

En anden model, hvor karakteren af toppunktet er nøgleingrediensen, blev foreslået af Caldarelli et al . [28] . Her skabes et link mellem to toppunkter med en sandsynlighed givet af linkfunktionen i kortlægningsmodellen af de involverede toppunkter. Graden af et toppunkt i er givet ved formlen [29] $i,j$ $f(\eta _{i},\eta _{j})$

k(\eta _{i})=N\int _{0}^{\infty }f(\eta _{i},\eta _{j})\rho (\eta _{j} )\,d\eta _{j}

Hvis er en reversibel stigende funktion af , så er sandsynlighedsfordelingen givet af formlen $k(\eta _{i})$ ${\displaystyle \eta _{i))$ $P(k)$

P(k)=\rho (\eta (k))\cdot \eta '(k)

Som et resultat, hvis korrespondancen er fordelt i henhold til en magtlov, så er graderne af noder også. $\eta$

Mindre indlysende med en hurtigt faldende sandsynlighedsfordeling sammen med en koblingsfunktion af formularen $\rho (\eta )=e^{-\eta }$

f(\eta _{i},\eta _{j})=\Theta (\eta _{i}+\eta _{j}-Z)

med en konstant og en Heaviside funktion , at vi får skala-invariante netværk. $Z$ $\Theta$

En sådan model er med succes blevet anvendt til at beskrive handel mellem nationer ved at bruge BNP som et passende mål for forskellige knudepunkter og en koblingsfunktion af formen [30] [31] $i,j$

{\frac {\delta \eta _{i}\eta _{j}}{1+\delta \eta _{i}\eta _{j}}}.

Netværksanalyse

Social netværksanalyse

Social netværksanalyse udforsker strukturen af relationer mellem sociale aktører [6] . Disse enheder er ofte mennesker, men kan også være grupper , organisationer , nationalstater , websteder , videnskabelige publikationer .

Siden 1970'erne har den empiriske undersøgelse af netværk spillet en central rolle i samfundsvidenskaben, og mange af de matematiske og statistiske værktøjer, der bruges til at studere netværk, er blevet udviklet i sociologien [32] . Blandt mange andre applikationer bruges social netværksanalyse til at forstå spredningen af innovation , nyheder og rygter. Ligeledes kan det bruges til at studere både spredning af sygdom og sundhedsrelateret adfærd . Det er også blevet anvendt til markedsundersøgelser , hvor det er blevet brugt til at teste tillidens rolle i vare-penge-relationer og sociale mekanismer i prisdannelsen. På samme måde er det blevet brugt til at studere involvering i politiske bevægelser og sociale organisationer. Det er også blevet brugt til at give mening om videnskabelige kontroverser og akademisk omdømme. For nylig er netværksanalyse (og dens nærmeste slægtning, trafikanalyse ) blevet brugt i vid udstrækning i militær efterretning for at afdække sociale modstandsnetværk, der er både hierarkiske og lederløse af natur [33] [34] .

Dynamisk netværksanalyse

Dynamisk netværksanalyse udforsker ændringen i strukturen af forbindelser mellem forskellige klasser af objekter i komplekse socio-tekniske systemer og afspejler social stabilitet og ændringer, såsom fremkomsten af nye grupper, diskussioner og ledere [11] [12] [ 13] [14] [35] . Dynamisk netværksanalyse fokuserer på metanetværk sammensat af noder af mange forskellige slags (objekter) og flere typer links . Disse objekter kan variere meget [11] . Eksempler omfatter mennesker, organisationer, temaer, ressourcer, opgaver, begivenheder, steder og overbevisninger.

Dynamiske netværksteknikker er især nyttige til at evaluere trends i et netværk over tid, identificere nye ledere og udforske den fælles udvikling af mennesker og ideer.

Biologisk netværksanalyse

Med den nylige eksplosion af offentligt tilgængelige biologiske data har analysen af molekylære netværk fået stor interesse. Analyse under disse forhold er tæt forbundet med social netværksanalyse, men fokuserer ofte på lokale mønstre i netværket. Netværksmotiver er for eksempel små undergrafer, der er overrepræsenteret i netværket. Aktivitetsmotiver er som overrepræsenterede mønstre i egenskaberne af noder og kanter i et netværk, der er overrepræsenteret i netværksstrukturen. Analysen af biologiske netværk har ført til udviklingen af netværksmedicin , som overvejer virkningen af sygdomme i interaktomet [36] .

Linkanalyse

Linkanalyse er en delmængde af netværksanalyse, der undersøger sammenhænge mellem objekter. Et eksempel kunne være at se på adresserne på mistænkte og ofre, de telefonnumre, de ringede til, de økonomiske transaktioner, de var involveret i i det pågældende tidsrum, og forholdet mellem disse enheder som led i en politiefterforskning. Linkanalyse giver her kritiske relationer og associationer mellem et meget stort antal objekter af forskellig art, som ikke er tydelige, når man betragter informationer isoleret. Automatiseret linkanalyse bliver i stigende grad udnyttet af banker og forsikringsbureauer til at afsløre svindel , teleoperatører til at analysere kommunikationsnetværk, medicinske forskere i epidemiologi og farmakologi , retshåndhævelse til undersøgelser , søgemaskiner til vurderingsrelevans ( og omvendt af spammere til spamdexing og virksomhedsejere ), til søgemaskineoptimering ), såvel som hvor som helst relationer mellem et stort antal objekter analyseres.

Netværksresiliens

Strukturel stabilitet af netværk [37] studeres ved hjælp af perkolationsteori . Når en kritisk del af noder fjernes fra netværket, opdeles netværket i små klynger. Dette fænomen kaldes perkolation [38] og repræsenterer en type "ordre-forstyrrelse" faseovergang med et kritisk indeks .

Pandemianalyse

SIR-modellen i epidemiologi er en af de mest kendte algoritmer til at forudsige spredningen af globale pandemier i en inficeret befolkning.

Fra en tilstand af modtagelighed til infektion

S=\beta \left({\frac {1}{N))\right)

Formlen ovenfor beskriver "styrken" af infektion for hver modtagelig enhed i en inficeret population, hvor den svarer til spredningshastigheden af sygdommen. $\beta$

Sådan sporer du ændringer i denne modtagelige enhed i en inficeret population:

\Delta S=\beta \times S{1 \over N}\,\Delta t

Fra infektion til bedring

\Delta I=\mu I\,\Delta t

Over tid afhænger antallet af sådanne infektioner af målhastigheden for bedring, repræsenteret ved antallet , men over den gennemsnitlige infektionsperiode , af antallet af inficerede individer og af antallet af ændringer over tid . $\mu$ ${\displaystyle {1 \over \tau ))$ $jeg$ $\Delta t$

Smitsom periode

Hvorvidt en befolkning er ramt af en pandemi, set fra SIR-modellens synspunkt, afhænger af værdien eller "gennemsnitligt antal inficerede mennesker fra andre mennesker." $R_{0}$

{\displaystyle R_{0}=\beta \tau ={\beta \over \mu ))

Weblinkanalyse

Adskillige søgemaskinerangeringsalgoritmer bruger linkbaserede mål for centralitet, herunder (i rækkefølge ) Hyper Search , Googles PageRank , Kleinbergs HITS , . Linkanalyse kan udføres i informationsteori for at forstå og udtrække information fra et sæt websider. Det kan for eksempel være en analyse af links mellem hjemmesider eller blogs af politikere.

PageRank

PageRank fungerer ved tilfældigt at vælge et "site" eller en internetside og "springe tilfældigt" til andre sider med en vis sandsynlighed. Tilfældige hits til disse andre noder gør det muligt for PageRank-estimatet at omgå netværket fuldstændigt, da nogle sider er i netværkets periferi og ikke let kan vurderes.

Hver node har en PageRank, defineret som summen, for sider, af de gensidige af antallet af sider, der er knyttet til noden ved udgående buer, eller nodens "outcome semidegree" gange nodens "vigtighed" eller PageRank . $x_{i}$ $j$ $jeg$ $j$ $j$

{\displaystyle x_{i}=\sum _{j\rightarrow i}{1 \over N_{j}}x_{j}^{(k)))

Tilfældige overgange

Som forklaret ovenfor udfører PageRank tilfældige overgange i et forsøg på at tildele en PageRank til hver side på internettet. Disse tilfældige navigationer finder websteder, der ikke kan findes som et resultat af normale søgemetoder såsom bredde - først-søgning og dybde -først-søgning .

En forbedring af ovenstående formel til bestemmelse af PageRank inkluderer komponenterne i disse tilfældige overgange. Uden tilfældige overgange vil nogle sider få PageRank lig med 0, hvilket ikke er godt.

Den første komponent er , eller sandsynligheden for, at en tilfældig overgang vil ske. Det modsatte er "dæmpningsfaktor", eller . $\alfa$ $1-\alfa$

R{(p)}={\alpha \over N}+(1-\alpha )\sum _{j\rightarrow i}{1 \over N_{j}}x_{j}^{(k )}

En anden vinkel på dette:

R(A)=\sum {R_{B} \over B_{\text{(outlinks)}}}+\cdots +{R_{n} \over n_{\text{(outlinks)))}

Mål for centralitet

Information om den relative betydning af knudepunkter og kanter i grafer kan opnås gennem mål for centralitet , som er meget udbredt i discipliner som sociologi . Centralitetsforanstaltninger er nødvendige, når netværksanalyse ikke besvarer spørgsmål som: "Hvilke noder i netværket skal bruges til at sikre, at en besked eller information forplanter sig til alle eller de fleste noder i netværket?" eller omvendt "Hvilke knuder skal påvirkes for at stoppe spredningen af sygdommen?". De formelt definerede mål for centralitet er graden af forbindelse , graden af nærhed , graden af mediation , graden af indflydelse og Katz centralitet . Målet med netværksanalyse forudbestemmer sædvanligvis typen af centralitetsmål, der anvendes [6] .

Graden af tilslutning af en netværksknude er antallet af links (hjørnepunkter), der falder ind til knudepunktet.
Nærhed bestemmer, hvor "tæt" en netværksknude er på andre knudepunkter ved at opsummere de korteste afstande (geodesiske stier) mellem den knude og resten af netværksknuderne.
Graden af mediering bestemmer den relative betydning af en node ved at måle mængden af flow, der strømmer gennem den node til andre noder i netværket. Dette gøres ved at måle andelen af stier, der forbinder alle par af noder, der indeholder den pågældende node. Gruppegraden af mediering måler mængden af flow, der strømmer gennem en gruppe af noder [39] .
Graden af indflydelse er en mere kompleks version af graden af centralitet, når centraliteten af en node afhænger ikke kun af antallet af links, der er indfaldende til noden, men også af kvaliteten af disse links. Denne kvalitetsfaktor bestemmes af egenvektorerne for netværkets tilstødende matrix.
Kac-centraliteten af en knude måles ved at summere de geodætiske (dvs. korteste) veje mellem den knude og alle (nåbare) knudepunkter i netværket. Disse stier er vægtede, stier, der forbinder en node med dens umiddelbare naboer, har tungere vægte end noder, der er forbundet til fjernere knudepunkter.

Fordeling af indhold i netværk

Indhold i et komplekst netværk kan distribueres på to hovedmåder: vedvarende distribution og ikke-vedvarende distribution [40] . Med vedvarende distribution forbliver den samlede mængde indhold, der kommer ind i komplekse netværk, konstant, når det passerer gennem netværket. Den vedvarende distributionsmodel kan bedst repræsenteres af en krukke indeholdende en vis mængde vand, som hældes i en række afløb forbundet med rør. Her repræsenterer kanden kilden, og vandet repræsenterer indholdet, der skal distribueres. Tanke og forbindelsesrør repræsenterer henholdsvis knudepunkter og knudepunkter. Når vand passerer fra en beholder til en anden, forsvinder vandet fra kildebeholderen. Ved ikke-vedvarende distribution ændres mængden af indhold, når det passerer gennem komplekse netværk. Den ikke-konserverende formeringsmodel er bedst repræsenteret ved en kontinuerlig strøm fra en vandhane, der spredes over afløb forbundet med rør. Her er mængden af vand fra den oprindelige kilde ikke begrænset. Også ethvert afløb, som vandet er nået til, fortsætter med at modtage vand, selvom det passerer til andre afløb. Ikke-konserverede modeller er bedst egnede til at forklare overførslen af de fleste infektioner .

SIR model

I 1927 skabte W. O. Kermack og A. G. McKendrick en model, hvor de betragter en fast befolkning med kun tre stater - modtagelige, , inficerede, og helbredte, . De kategorier, der anvendes i denne model, består af tre klasser: $S(t)$ $Det)$ $R(t)$

$S(t)$ bruges til at repræsentere antallet af personer, der endnu ikke er inficeret med sygdommen på tidspunktet t (modtagelige for sygdommen)
$Det)$ betyder antallet af inficerede personer, der er i stand til at overføre sygdommen til personer i kategorien "modtagelige"
$R(t)$ er en kategori af mennesker, der har haft en sygdom og er blevet raske. Personer i denne kategori, som ikke er i stand til at re-inficere eller overføre infektionen til andre.

Strømmen af denne model kan ses som følger:

{\mathcal {S}}\rightarrow {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {R}}

Ved at bruge en fast population udledte Kermack og McKendrick følgende ligninger: $N=S(t)+I(t)+R(t)$

{\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=-\beta SI\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=\beta SI-\gamma I\ \[8pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I\end{aligned}}

Nogle antagelser blev gjort for at formulere disse ligninger. For den første ligning skal et enkelt medlem af befolkningen anses for at have samme sandsynlighed for infektion som ethvert andet medlem, med en rate på , som anses for at være den hastighed, hvormed infektionen eller sygdommen spredes. Derfor, når en inficeret repræsentant kommer i kontakt og er i stand til at overføre sygdommen til andre repræsentanter pr. tidsenhed, er andelen af kontakter af inficerede repræsentanter med modtagelige repræsentanter lig med . Antallet af nye infektioner pr. tidsenhed pr. smittet person er så lig med , hvilket sætter antallet af nye infektioner s (eller dem, der forlader den modtagelige kategori) som [41] . For den anden og tredje ligning antages det, at populationen forlader den modtagelige klasse med samme hastighed, som den går ind i den inficerede klasse. Antallet er dog lig med andelen ( repræsenterer den gennemsnitlige restitutionsgrad og repræsenterer den gennemsnitlige sygdomstid) af inficerede mennesker, der forlader denne klasse pr. tidsenhed og flytter ind i klassen af restituerede. Disse samtidige processer omtales som massehandlingens lov , den bredt accepterede idé om, at kontakthastigheden mellem to grupper i en befolkning er proportional med størrelsen af hver af de to grupper, der er under overvejelse [42] . Endelig antages det, at infektions- og bedringsraten er meget større end fødsel og død, og derfor er disse faktorer ikke taget i betragtning i modellen. $\beta$ $\beta N$ $S/N$ $\beta N(S/N)$ $\beta N(S/N)I=\beta SI$ $\gamma$ $1/\gamma$

Du kan læse mere om denne model på Epidemic Model- siden .

Master ligningsmetode

Hovedligningen kan udtrykke adfærden af et ikke-rettet voksende netværk, hvor der ved hvert trin tilføjes en ny node forbundet til en gammel node (tilfældigt valgt og uden præferencer). Det indledende netværk består af to noder og to forbindelser mellem dem på det tidspunkt . En sådan konfiguration er kun nødvendig for at forenkle yderligere beregninger, så netværket på det tidspunkt har noder og links. $t=2$ $t=n$ $n$ $n$

Den kinetiske hovedligning for dette netværk

p(k,s,t+1)={\frac {1}{t}}p(k-1,s,t)+\left(1-{\frac {1}{t}} \right)p(k,s,t),

hvor er sandsynligheden for at have en node med grad på tidspunktet , og er det tidspunkt, hvor noden blev tilføjet til netværket. Bemærk, at der kun er to måder, hvorpå den gamle node kan have forbindelser på et tidspunkt : $p(k,s,t)$ $s$ $k$ $t+1$ $s$ $s$ $k$ $t+1$

Noden har en grad i øjeblikket og vil blive forbundet med en ny node med sandsynlighed $s$ $k-1$ $t$ $1/t$
Har allerede en grad i øjeblikket og vil ikke blive forbundet til en ny node. $k$ $t$

Efter at have forenklet denne model, vil fordelingen af noder efter antallet af links være lig med [43] . ${\displaystyle P(k)=2^{-k))$

Baseret på dette voksende netværk udvikler epidemimodellen sig efter følgende enkle regel: Hver gang en ny node tilføjes, og efter at have valgt hvilken node der skal oprettes forbindelse til, besluttes det, om denne node vil blive inficeret eller ej. Den grundlæggende ligning for denne epidemiske model er

p_{r}(k,s,t)=r_{t}{\frac {1}{t))p_{r}(k-1,s,t)+\venstre(1-{\ frac {1}{t}}\right)p_{r}(k,s,t),

hvor definerer infektion ( ) eller fravær af infektion ( ). Efter at have løst denne grundlæggende ligning får vi følgende løsning: [44] . $r_{t}$ $r_{t}=1$ $r_{t}=0$ ${\tilde {P}}_{r}(k)=\left({\frac {r}{2}}\right)^{k}.$

Indbyrdes afhængige netværk

Et indbyrdes afhængigt netværk er et system af forbundne netværk, hvor knudepunkterne i et eller flere netværk afhænger af knudepunkterne i andre netværk. Sådanne afhængigheder udvides af udviklingen inden for moderne teknologier. Afhængigheder kan forårsage kaskadeskader mellem netværk, og relativt små skader kan føre til katastrofale systemfejl. Strømafbrydelser er en dejlig demonstration af vigtigheden af den rolle, som netforbindelser spiller. For nylig er konceptet med at studere kaskadeforstyrrelser i et system af indbyrdes afhængige netværk blevet udviklet [45] [46] .

Flerlags netværk

Flerlagsnetværk er netværk med flere typer links [47] [48] [49] [50] [51] [52] . Stadig mere sofistikerede forsøg på at modellere systemer i den virkelige verden efterhånden som multiple forbundne netværk har givet værdifuld viden inden for social netværksanalyse [48] [49] [53] [54] [55] [56] , økonomi, historie [57] , by og international transport [58] [59] [60] [61] , økologi [62] [63] [64] [65] , psykologi [66] , medicin, biologi [67] , handel, klimatologi, fysik [68] [69] , neuroinformatik [70] [71] [72] Finansiel driftsstyring.

Netværksoptimering

Netværksproblemer, der bruger søgningen efter den optimale vej til ethvert formål, studeres under navnet kombinatorisk optimering . Eksempler inkluderer netværksflows , korteste vejproblem , transportproblem , transportproblem objektplaceringsproblem , matchningsproblem , tildelingsproblem , pakkeproblem , routingproblem , kritisk vejmetode og PERT- projekter ( Evaluation and Analysis Method).

Noter

↑ Det Nationale Forskningsråd. Netværksvidenskab . - 2005-12-07. — ISBN 9780309100267 . Arkiveret 2. juli 2019 på Wayback Machine
↑ JJ Sylvester. Om en anvendelse af den nye atomteori til den grafiske repræsentation af invarianter og kovarianter af binær kvantik, med tre appendikser // American Journal of Mathematics. - 1878. - Bind 1 , udg. 1 . — S. 64–104 . — ISSN 0002-9327 . - doi : 10.2307/2369436 . Arkiveret fra originalen den 12. august 2019.
↑ Kőnig, 1990 .
↑ Moreno, 1953 .
↑ Følelser kortlagt af ny geografi ( PDF), The New York Times (3. april 1933), s. 17. Arkiveret fra originalen den 12. august 2019. Hentet 12. august 2019.
↑ 1 2 3 Wasserman, Faust, 1994 .
↑ http://psycnet.apa.org/journals/prs/9/4/172/
↑ 12 Advokat , 2015 , s. 8665.
↑ Sikic, Lancic, Antulov-Fantulin, Stefancic, 2013 , s. 440.
↑ Borgatti, 2005 , s. 55-71.
↑ 1 2 3 Braha, Bar-Yam, 2006 , s. 59-63.
↑ 1 2 Hill, Braha, 2010 , s. 046105.
↑ 1 2 Gross, Sayama, 2009 .
↑ 1 2 Holme, Saramäki, 2013 .
↑ Travençolo, da Costa, 2008 , s. 89-95.
↑ Bender, Canfield, 1978 , s. 296-307.
↑ 1 2 Molloy, Reed, 1995 , s. 161-180.
↑ 1 2 Newman, Strogatz, Watts, 2001 , s. 026118.
↑ Lifshits, 2006 , s. 4.2. konfigurationsmodel.
↑ Kryven, 2017 , s. 052303.
↑ Kryven, 2018 , s. 140-157.
↑ Kryven, 2016 , s. 012315.
↑ Kryven, 2017 , s. 052304.
↑ Albert, Barabasi, 2002 , s. 47-97.
↑ Barabasi, Albert, 1999 , s. 509-512.
↑ Cohen og Havlin, 2003 , s. 058701.
↑ Hassan, Islam, Arefinul Haque, 2017 , s. 23-30.
↑ Caldarelli, Capocci, De Los Rios, Muñoz, 2002 , s. 258702.
↑ Servedio, Caldarelli, Butta, 2004 , s. 056126.
↑ Garlaschelli, Loffredo, 2004 , s. 188701.
↑ Cimini, Squartini, Garlaschelli, Gabrielli, 2015 , s. 15758.
↑ Newman, 2010 .
↑ Mod et komplekst adaptivt intelligensfællesskab Wikien og bloggen . D. Calvin Andrus . cia.gov. Hentet 25. august 2012. Arkiveret fra originalen 14. maj 2008. (ubestemt)
↑ Netværksanalyse af terrornetværk (link ikke tilgængeligt) . Hentet 14. juli 2019. Arkiveret fra originalen 23. november 2012. (ubestemt)
↑ Xanthos, Pante, Rochat, Grandjean, 2016 , s. 417-419.
↑ Barabási, Gulbahce, Loscalzo, 2011 , s. 56-68.
↑ Cohen, Havlin, 2010 .
↑ Bunde, Havlin, 1996 .
↑ Puzis, Yagil, Elovici, Braha, 2009 , s. en.
↑ Newman, Barabasi, Watts, 2006 .
↑ Brauer, Castillo-Chavez, 2001 .
↑ Daley, Gani, 2001 .
↑ Dorogovtsev, Mendes, 2003 .
↑ Cotacallapa, Hase, 2016 , s. 065001.
↑ Buldyrev, Parshani, Paul et al., 2010 , s. 1025-28.
↑ Gao, Buldyrev, Havlin, Stanley, 2011 , s. 195701.
↑ Coscia, Rossetti, Pennacchioli et al., 2013 , s. 434.
↑ 1 2 De Domenico, Solé-Ribalta, Cozzo et al., 2013 , s. 041022.
↑ 1 2 Battiston, Nicosia, Latora, 2014 , s. 032804.
↑ Kivela, Arenas, Barthelemy et al., 2014 , s. 203-271.
↑ Boccaletti, Bianconi, Criado et al., 2014 , s. 1-122.
↑ Battiston, Nicosia, Latora, 2017 , s. 401-416.
↑ Mucha, 2010 , s. 876-878.
↑ De Domenico, Lancichinetti, Arenas, Rosvall, 2015 , s. 011027.
↑ De Domenico, Sole-Ribalta, Omodei, Gomez, Arenas, 2015 , s. 6868.
↑ Battiston, Iacovacci, Nicosia, Bianconi, Latora, 2016 , s. e0147451.
↑ Grandjean, 2016 , s. 531-534.
↑ Cardillo, 2013 , s. 1344.
↑ Boeing, 2017 , s. 126-139.
↑ Gallotti, Barthelemy, 2014 , s. 6911.
↑ De Domenico, Sole-Ribalta, Gomez, Arenas, 2014 , s. 8351-8356.
↑ Pilosof, Porter, Pascual, Kefi, 2015 .
↑ Kouvaris, Hata, Diaz-Guilera, 2015 , s. 10840.
↑ Timóteo, Correia, Rodríguez-Echeverría, Freitas, Heleno, 2018 , s. 140.
↑ Costa, Ramos, Timóteo et al., 2018 .
↑ Fiori, Smith, Antonucci, 2007 , s. P322-30.
↑ De Domenico, Nicosia, Arenas, Latora, 2015 , s. 6864.
↑ Gao, Buldyrev, Stanley, Havlin, 2011 , s. 40-48.
↑ De Domenico, Granell, Porter, Arenas, 2016 , s. 901-906.
↑ Timme, Ito, Myroshnychenko et al., 2014 , s. e115764.
↑ De Domenico, Sasai, Arenas, 2016 , s. 326.
↑ Battiston, Nicosia, Chavez, Latora, 2017 , s. 047404.

Litteratur

Yuri Lifshits. Strukturen af komplekse netværk. Forelæsning nr. 4 i kurset "Algorithms for the Internet" . – 2006.
Evin I.A. Introduktion til teorien om komplekse netværk // COMPUTERFORSKNING OG MODELLERING. - 2010. - T. 2 , nr. 2 . — S. 121–141 .
Epidemimodellering: en introduktion. - 2001. - (Cambridge Studies in Mathematical Biology). — ISBN 0521014670 .
Jacob Levy Moreno. Hvem skal overleve? . — Beacon House, Inc., 1953.
Denes Kőnig. Teori om endelige og uendelige grafer . - Boston: Birkhäuser, 1990. - ISBN 0-8176-3389-8 . Oversat af Richard McCoart, kommentar af Tutt
Fred Brauer, Carlos Castillo-Chavez. Matematiske modeller i befolkningsbiologi og epidemiologi . - New York, NY: Springer, 2001. - (Tekster i anvendt matematik). — ISBN 978-1-4614-1685-2 . — ISBN 978-1-4614-1686-9 .
Netværksvidenskab . — Washington, DC: THE NATIONAL ACADEMIES PRESS, 2006. — ISBN 978-0309653886 . - doi : 10.17226/11516 .
Stephen P. Borgatti. Centralitet og netværksflow // Sociale netværk. - 2005. - T. 27 . - doi : 10.1016/j.socnet.2004.11.008 .
Glenn advokat. Forstå spredningskraften af alle noder i et netværk // Scientific Reports. - 2015. - Marts ( bind 5 , nr. O8665 ). - doi : 10.1038/srep08665 . - . - arXiv : 1405.6707 . — PMID 25727453 .
Mile Sikic, Alen Lancic, Nino Antulov-Fantulin, Hrvoje Stefancic. Epidemisk centralitet -- er der en undervurderet epidemisk effekt af netværks perifere knuder? // European Physical Journal B. - 2013. - October ( vol. 86 , nr. 10 ). - S. 440 . - doi : 10.1140/epjb/e2013-31025-5 . - . - arXiv : 1110.2558 .
Braha D., Bar-Yam Y. Fra centralitet til midlertidig berømmelse: Dynamisk centralitet i komplekse netværk // kompleksitet. - 2006. - T. 12 , no. 2 . - doi : 10.1002/cplx.20156 . - . - arXiv : fysik/0611295 .
Hill SA, Braha D. Dynamic Model of Time-Dependent Complex Networks // Physical Review E. - 2010. - Vol. 82 , no. 4 . - doi : 10.1103/physreve.82.046105 . - . - arXiv : 0901.4407 . — PMID 21230343 .
Adaptive Networks: Theory, Models and Applications / Gross T., Sayama H.. - Springer, 2009.
Holme P., Saramaki J. Temporal Networks. — Springer, 2013.
Travençolo BAN, da Costa FL Tilgængelighed i komplekse netværk // Physics Letters A. - 2008. - Vol. 373 , no. 1 . - doi : 10.1016/j.physleta.2008.10.069 . - .
Edward A. Bender, E. Rodney Canfield. Det asymptotiske antal af mærkede grafer med givne gradsekvenser // Journal of Combinatorial Theory, Series A. - 1978. - May ( vol. 24 , udgave 3 ). — ISSN 0097-3165 . - doi : 10.1016/0097-3165(78)90059-6 .
Michael Molloy, Bruce Reed. Et kritisk punkt for tilfældige grafer med en given gradsekvens // Random Structures & Algorithms. - 1995. - Marts ( bind 6 , hæfte 2–3 ). — S. 161–180 . — ISSN 1042-9832 . - doi : 10.1002/rsa.3240060204 .
Newman MEJ, Strogatz SH, Watts DJ Tilfældige grafer med vilkårlige gradfordelinger og deres anvendelser // Physical Review E. - 2001. - Juli ( vol. 64 , udgave 2 ). - doi : 10.1103/PhysRevE.64.026118 . - . - arXiv : cond-mat/0007235 . — PMID 11497662 .
Ivan Kriven. Fremkomsten af den gigantiske svage komponent i rettede tilfældige grafer med vilkårlige gradfordelinger // Physical Review E. - 2016. - Juli ( vol. 94 , udgave 1 ). - doi : 10.1103/PhysRevE.94.012315 . - . - arXiv : 1607.03793 . — PMID 27575156 .
Ivan Kriven. Generelt udtryk for komponentstørrelsesfordelingen i uendelige konfigurationsnetværk // Physical Review E. - 2017. - May ( vol. 95 , udgave 5 ). - doi : 10.1103/PhysRevE.95.052303 . - . — arXiv : 1703.05413 . — PMID 28618550 .
Ivan Kriven. Finite forbundne komponenter i uendeligt rettede og multiplekse netværk med vilkårlige gradfordelinger // Physical Review E. - 2017. - November ( vol. 96 , udgave 5 ). - doi : 10.1103/PhysRevE.96.052304 . - . - arXiv : 1709.04283 . — PMID 29347790 .
Ivan Kriven. Analyseresultater på polymerisations random graph model // Journal of Mathematical Chemistry. - 2018. - Januar ( bind 56 , hæfte 1 ). — S. 140–157 . — ISSN 0259-9791 . - doi : 10.1007/s10910-017-0785-1 .
Garlaschelli D., Loffredo MI Mønstre af gensidighed i forbindelse i rettede netværk. — Fysiske Revisionsbreve. - 2004. - T. 93. - S. 268701.
Cimini G., Squartini T., Garlaschelli D., Gabrielli A. Systemisk risikoanalyse på rekonstruerede økonomiske og finansielle netværk. — Videnskabelige rapporter. - 2015. - S. 15758.
Servedio VDP, Caldarelli G., Buttà P. Vertex intrinsic fitness: How to produce arbitrary skala-free networks // Physical Review E. - 2004. - T. 70 .
Hassan MK, Liana Islam, Syed Arefinul Haque. Gradfordeling, rang-størrelsesfordeling og ledelsesvedholdenhed i mediationsdrevne tilknytningsnetværk // Physica A. - 2017. - March ( vol. 469 ). - doi : 10.1016/j.physa.2016.11.001 . — . - arXiv : 1411.3444 .
Caldarelli G., Capocci A., De Los Rios P., Muñoz MA Skalafri netværk fra varierende vertex iboende fitness // Physical Review Letters. - 2002. - T. 89 , no. 25 .
Cohen R., Havlin S. Skalafri netværk er ultrasmå // Phys. Rev. Lett .. - 2003. - T. 90 , no. 5 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.90.058701 . - . - arXiv : cond-mat/0205476 . — PMID 12633404 .
Albert R., Barabasi A.-L. Statistisk mekanik af komplekse netværk // Anmeldelser af moderne fysik . - 2002. - T. 74 , no. 1 . — s. 47–97 . - doi : 10.1103/RevModPhys.74.47 . - . - arXiv : cond-mat/0106096 . Arkiveret fra originalen den 24. august 2015.
Albert-László Barabási, Réka Albert. Fremkomsten af skalering i tilfældige netværk // Videnskab . - 1999. - Oktober ( bind 286 , udgave 5439 ). - doi : 10.1126/science.286.5439.509 . - . - arXiv : cond-mat/9910332 . — PMID 10521342 . Arkiveret fra originalen den 17. april 2012.
Cohen R., Havlin S. Complex Networks: Structure, Robustness and Function . - Cambridge University Press, 2010.
Bunde A., Havlin S. Fractals and Disordered Systems . - Springer, 1996.
Stanley Wasserman, Katherine Faust. Social Network Analyse: Metoder og applikationer. — Cambridge: Cambridge University Press., 1994.
Newman MEJ Networks: En introduktion. — Oxford University Press, 2010.
Aris Xanthos, Isaac Pante, Yannick Rochat, Martin Grandjean. Visualizing the Dynamics of Character Networks // Digital Humanities 2016: Jagiellonian University & Pedagogical University . — Kraków, 2016. — S. 417–419.
Barabási AL, Gulbahce N., Loscalzo J. Netværksmedicin: en netværksbaseret tilgang til menneskelig sygdom // Nature Reviews Genetics. - 2011. - T. 12 , no. 1 . - doi : 10.1038/nrg2918 . — PMID 21164525 .
Puzis R., Yagil D., Elovici Y., Braha D. Samarbejdet angreb på internetbrugeres anonymitet // Internet Research. - 2009. - T. 19 . - doi : 10.1108/10662240910927821 . Arkiveret fra originalen den 7. december 2013.
The Structure and Dynamics of Networks / Newman M., Barabási A.-L., Watts DJ. — Princeton, NJ: Princeton University Press, 2006.
Dorogovtsev SN, Mendes JFF Udvikling af netværk: Fra biologiske net til internettet og WWW. — New York, NY, USA: Oxford University Press, Inc., 2003. — ISBN 978-0198515906 .
Cotacallapa M., Hase MO Epidemics in networks: a master equation approach // Journal of Physics A. - 2016. - V. 49 , no. 6 . - doi : 10.1088/1751-8113/49/6/065001 . - . - arXiv : 1604.01049 .
Buldyrev SV, Parshani R., Paul G., Stanley HE, Havlin S. Katastrofal kaskade af fejl i indbyrdes afhængige netværk // Nature. - 2010. - T. 464 , no. 7291 . - doi : 10.1038/nature08932 . - . - arXiv : 0907.1182 . — PMID 20393559 .
Jianxi Gao, Sergey V. Buldyrev, Shlomo Havlin, H. Eugene Stanley. Robusthed af et netværk af netværk // Fysisk. Rev. Lett.. - 2011. - T. 107 , no. 19 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.107.195701 . - . - arXiv : 1010.5829 . — PMID 22181627 .
Michele Coscia, Giulio Rossetti, Diego Pennacchioli, Damiano Ceccarelli, Fosca Giannotti. "Du ved, fordi jeg ved": En multidimensionel netværkstilgang til problemer med menneskelige ressourcer. — Fremskridt inden for sociale netværksanalyse og minedrift (ASONAM). - 2013. - T. 2013. - ISBN 9781450322409 . - doi : 10.1145/2492517.2492537 .
Kivela M., Arenas A., Barthelemy M., Gleeson JP, Moreno Y., Porter MA Multilayer-netværk // Journal of Complex Networks. - 2014. - Vol. 2 , udgave. 3 . - doi : 10.1093/comnet/cnu016 .
Boccaletti S., Bianconi G., Criado R., del Genio CI, Gómez-Gardeñes J., Romance M., Sendiña-Nadal I., Wang Z., Zanin M. Strukturen og dynamikken i flerlagsnetværk // Physics Reports . - 2014. - T. 544 , no. 1 . - doi : 10.1016/j.physrep.2014.07.001 . — . - arXiv : 1407.0742 .
Federico Battiston, Vincenzo Nicosia, Vito Latora. Multiplex-netværkenes nye udfordringer: Mål og modeller // The European Physical Journal Special Topics. - 2017. - Februar ( bind 226 , hæfte 3 ). — ISSN 1951-6355 . - doi : 10.1140/epjst/e2016-60274-8 . - . - arXiv : 1606.09221 .
De Domenico M., Solé-Ribalta, A., Cozzo E., Kivelä M., Moreno Y., Porter M., Gómez S., Arenas A. Matematisk formulering af flerlagsnetværk // Fysisk gennemgang X. - 2013. - bind 3 , nr. 4 . - doi : 10.1103/PhysRevX.3.041022 . - . - arXiv : 1307.4977 . Arkiveret fra originalen den 25. februar 2014.

Battiston F., Nicosia V., Latora V. Strukturelle foranstaltninger til multipleks netværk // Fysisk gennemgang E. - 2014. - V. 89 , no. 3 . - S. 032804 . - doi : 10.1103/PhysRevE.89.032804 . - . - arXiv : 1308.3182 . — PMID 24730896 .
Mucha P. Fællesskabsstruktur i tidsafhængige, multiskala- og multiplex-netværk // Videnskab. - 2010. - T. 328 , no. 5980 . - doi : 10.1126/science.1184819 . - . - arXiv : 0911.1824 . — PMID 20466926 .
De Domenico M., Lancichinetti A., Arenas A., Rosvall M. Identifikation af modulære strømme på flerlagsnetværk afslører stærkt overlappende organisation i sammenkoblede systemer // Fysisk gennemgang X. - 2015. - Vol. 5 , nr. 1 . - S. 011027 . - doi : 10.1103/PhysRevX.5.011027 . - . - arXiv : 1408.2925 .
De Domenico M., Sole-Ribalta A., Omodei E., Gomez S., Arenas A. Rangering i sammenkoblede flerlagsnetværk afslører alsidige noder // Nature Communications. - 2015. - T. 6 . - S. 6868 . - doi : 10.1038/ncomms7868 . - . - arXiv : 1311.2906 . — PMID 25904405 .
Federico Battiston, Jacopo Iacovacci, Vincenzo Nicosia, Ginestra Bianconi, Vito Latora. Fremkomsten af multiplekse fællesskaber i samarbejdsnetværk // PLOS ONE. - 2016. - Januar ( bind 11 , hæfte 1 ). — ISSN 1932-6203 . - doi : 10.1371/journal.pone.0147451 . - . - arXiv : 1506.01280 . — PMID 26815700 .
Martin Grandjean. Arkiver Fjernlæsning: Kortlægning af aktiviteten i Folkeforbundets intellektuelle samarbejde // Digital Humanities 2016 . — Jagiellonian University & Pedagogical University, Kraków, 2016. — s. 531–534.
Cardillo A. Fremkomsten af netværksfunktioner fra multipleksitet // Videnskabelige rapporter. - 2013. - T. 3 . - doi : 10.1038/srep01344 . - . - arXiv : 1212.2153 . — PMID 23446838 .
Boeing G. OSMnx: Nye metoder til at erhverve, konstruere, analysere og visualisere komplekse gadenetværk // Computere, miljø og bysystemer. - 2017. - T. 65 . — S. 126–139 . - doi : 10.1016/j.compenvurbsys.2017.05.004 . - arXiv : 1611.01890 .
Gallotti R., Barthelemy M. Anatomi og effektivitet af urban multimodal mobilitet // Scientific Reports. - 2014. - T. 4 . - S. 6911 . - doi : 10.1038/srep06911 . - . - arXiv : 1411.1274 . — PMID 25371238 .
De Domenico M., Sole-Ribalta A., Gomez S., Arenas A. Navigerbarhed af sammenkoblede netværk under tilfældige fejl // PNAS. - 2014. - T. 111 , no. 23 . — S. 8351–8356 . - doi : 10.1073/pnas.1318469111 . - . — PMID 24912174 .
Pilosof S., Porter MA, Pascual M., Kefi S. Økologiske netværks flerlagsnatur // Naturøkologi og evolution. - 2015. - Vol. 1 , udgave. 4 . - doi : 10.1038/s41559-017-0101 . - arXiv : 1511.04453 . — PMID 28812678 .
Kouvaris NE, Hata S., Diaz-Guilera A. Mønsterdannelse i multiplekse netværk // Videnskabelige rapporter. - 2015. - V. 5 , no. 1 . doi : 10.1038 / srep10840 . - . - arXiv : 1412.2923 . — PMID 26042606 .
Timóteo S., Correia M., Rodríguez-Echeverría S., Freitas H., Heleno R. Flerlagsnetværk afslører den rumlige struktur af frø-spredningsinteraktioner på tværs af Great Rift-landskaberne // Nature Communications. - 2018. - Vol. 9 , nr. 1 . - doi : 10.1038/s41467-017-02658-y . — PMID 29321529 .
Costa JM, Ramos JA, Timóteo S., da Silva LP, Ceia RC, Heleno R. Artsaktivitet fremmer stabiliteten af frugt-frugivore-interaktioner på tværs af et femårigt flerlagsnetværk. - 2018. - doi : 10.1101/421941 .
Fiori KL, Smith J., Antonucci TC Sociale netværkstyper blandt ældre voksne: A multidimensional approach // The Journals of Gerontology Series B. - 2007. - V. 62 , no. 6 . — S. P322–30 . - doi : 10.1093/geronb/62.6.p322 . — PMID 18079416 .
De Domenico M., Nicosia V., Arenas A., Latora V. Strukturel reduktion af flerlagsnetværk // Nature Communications. - 2015. - T. 6 . - S. 6864 . doi : 10.1038 / ncomms7864 . - . — PMID 25904309 .
Gao, Buldyrev, Stanley, Havlin. Netværk dannet af indbyrdes afhængige netværk // Nature Physics. - 2011. - December ( bind 8 , hæfte 1 ). doi : 10.1038 / nphys2180 . — .
De Domenico M., Granell C., Porter MA, Arenas A. Fysikken i flerlagsnetværk // Naturfysik. - 2016. - April ( bind 12 , hæfte 10 ). doi : 10.1038 / nphys3865 . — . - arXiv : 1604.02021 .
Timme N., Ito S., Myroshnychenko M., Yeh FC, Hiolski E., Hottowy P., Beggs JM Multiplex Networks of Cortical and Hippocampal Neurons Revealed at different timescales // PLoS ONE. - 2014. - T. 9 , no. 12 . - doi : 10.1371/journal.pone.0115764 . - . — PMID 25536059 .
De Domenico M., Sasai S., Arenas A. Kortlægning af multipleks-hubs i menneskelige funktionelle hjernenetværk // Frontiers in Neuroscience. - 2016. - T. 10 . - doi : 10.3389/fnins.2016.00326 . — PMID 27471443 .
Battiston F., Nicosia V., Chavez M., Latora V. Flerlagsmotivanalyse af hjernenetværk // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. - 2017. - T. 27 , no. 4 . - doi : 10.1063/1.4979282 . — . - arXiv : 1606.09115 . — PMID 28456158 .

Læsning for yderligere læsning

"Connected: The Power of Six Degrees," https://web.archive.org/web/20111006191031/http://ivl.slis.indiana.edu/km/movies/2008-talas-connected.mov
Cohen R., Erez K., Havlin S. Internettets modstandsdygtighed over for tilfældig nedbrydning // Phys. Rev. Lett .. - 2000. - T. 85 , no. 21 . — S. 4626–4628 . - doi : 10.1103/physrevlett.85.4626 . - . - arXiv : cond-mat/0007048 . — PMID 11082612 .
Cun-Lai Pu, Wen, Jiang Pei, Andrew Michaelson. Robusthedsanalyse af netværksstyrbarhed // Physica A. - 2012. - T. 391 , no. 18 . — S. 4420–4425 . - doi : 10.1016/j.physa.2012.04.019 . — . Arkiveret fra originalen den 13. oktober 2016.
"Lederprofil: The Burgeoning Field of Network Science, The Military Engineer havde for nylig mulighed for at tale med Frederick I. Moxley, Ph.D," https://web.archive.org/web/20190215025457/http://themilitaryengineer .com/index.php/item/160-leader-profile-the-burgeoning-field-of-network-science
Dorogovtsev SN, Mendes JFF Udvikling af netværk: Fra biologiske netværk til internettet og WWW. - Oxford University Press, 2003. - ISBN 0-19-851590-1 .
Albert-laszlo Barabasi, Jennifer Frangos. Linket: The New Science of Networks. - Perseus Publishing, Cambridge, 2002. - ISBN 0738206679 .
Guido Caldarelli. Skalafrie netværk: komplekse webs i naturen og teknologien . - Oxford: Oxford University Press, 2007. - (Oxford Finance Series). — ISBN 9780199211517 .
Mark Newman, Albert-László Barabási, Duncan J. Watts. Netværks struktur og dynamik. - The Princeton Press, 2006. - ISBN 0-691-11357-2 .
Alain Barrat, Marc Barthelemy, Alessandro Vespignani. Dynamiske processer på komplekse netværk. - Cambridge University Press, 2008. - ISBN 978-0-521-87950-7 .
Ted G. Lewis. Netværksvidenskab: Teori og anvendelser. - Wiley, 2009. - ISBN 0-470-33188-7 .
Mark Buchanan. Nexus: Små verdener og den banebrydende teori om netværk. - W. W. Norton & Company, 2003. - ISBN 0-393-32442-7 .
Duncan J. Watts. Seks grader: Videnskaben om en forbundet tidsalder. - W. W. Norton & Company, 2004. - ISBN 0-393-32542-3 .
Kitsak M., Gallos LK, Havlin S., Liljeros F., Muchnik L., Stanley HE, Makse HA Influential Spreaders in Networks // Nature Physics. - 2010. - T. 6 , no. 11 . — S. 888–893 . doi : 10.1038 / nphys1746 . — . - arXiv : 1001.5285 .