Ammann-Binker mosaik

Ammann-Binker flisebelægningen  er en ikke-periodisk flisebelægning , der kan opnås enten med et aperiodisk sæt af prototiler , som det blev gjort af Robert Ammann i 1970'erne, eller med cut-and-project-metoden, som blev udført selvstændigt af F. P. M. Binker. Da alle fliser produceret af disse fliser er ikke-periodiske, betragtes Ammann-Binker fliser som ikke-periodiske. De er blandt de fem sæt flisebelægninger fundet af Ammann og er beskrevet i bogen Flisebelægninger og mønstre [1] .

Ammann-Binker flisebelægninger har mange lignende egenskaber som de mere berømte Penrose fliser . Af disse er de mest bemærkelsesværdige:

• De er ikke-periodiske, hvilket betyder, at de mangler enhver translationel symmetri .
• Ethvert endeligt område (fragment) af en flisedeling optræder et uendeligt antal gange i denne flisedeling og faktisk i enhver anden flisedeling. Således ligner de uendelige flisebelægninger alle hinanden, når kun endelige fragmenter betragtes.
• De er kvasi -krystallinsk  -lignende den fysiske struktur af Ammann-Binker flisebelægningen giver Bragg diffraktion . Diffraktionsmønsteret viser både den underliggende otte-dobbelte symmetri og rækkefølgen på lang rækkevidde. Denne rækkefølge afspejler det faktum, at flisebelægningerne ikke er organiseret gennem translationel symmetri, men gennem en proces, der nogle gange kaldes "reduktion" eller "udfyldning".

Forskellige metoder er blevet foreslået til at beskrive mosaikker - matchningsregler, substitution, klipning og projektion [2] og belægninger [3] [4] . I 1987 annoncerede Wang, Chen og Kuo opdagelsen af ​​kvasikrystaller med ottekantet symmetri [5] .

Beskrivelse af fliser

Et almindeligt valg af flisesæt til Ammann-Binker mosaikker omfatter 45º og 135º romber (disse romber er vist i blåt i figuren øverst på siden) og firkanter (vist i hvid). Kvadrater kan opdeles i par af ligebenede retvinklede trekanter . (Dette er gjort i figuren ovenfor.) Matchningsreglerne eller substitutionsrelationerne for disse kvadrater/trekanter repræsenterer dog ikke alle symmetrier.

Faktisk afspejler matchningsreglerne for fliser ikke engang de spejlsymmetrier, som udskiftningsreglerne giver.

Erstatningsregler for et almindeligt sæt fliser.

Et alternativt sæt fliser, også opdaget af Ammann og betegnet "Ammann 4" af Grünbaum og Shepard [1] , består af to ikke-konvekse figurer med rette vinkler. Den ene figur består af to kvadrater, der krydser hinanden langs en mindre firkant, mens den anden består af en firkant med et ekstra kvadrat på siden. Figuren nedenfor viser mosaikkens former og stykker.

En erstatningsregel for et alternativt sæt fliser.

En forbindelse mellem to sæt fliser.

Bortset fra pilespidserne på kanterne af et almindeligt sæt fliser, kan matchningsreglerne for begge sæt udtrykkes ved at specificere dele af store pilespidser ved hjørnerne og kræve, at de samles til en komplet pilespids.

Katz [6] studerede andre flisebelægninger opnået ved at droppe begrænsninger på hjørner og kun holde begrænsninger på pile på kanter. Da disse krav er opfyldt af erstatningsreglerne, har enhver ny flisedeling en uendelig sekvens af "forstørrede" kopier opnået ved successiv anvendelse af erstatningsreglerne. Hver flisebelægning i denne sekvens kan ikke skelnes fra en ægte Ammann-Binker flisebelægning i større skala. Da nogle af disse fliser er periodiske, følger det, at ingen mønstre på fliserne, der fremtvinger en ikke-periodisk fliselægning, kan bestemmes, når man overvejer et begrænset antal fliser. Orienteringen af ​​pilene ved hjørnerne, som fremtvinger konstruktionen af ​​en ikke-periodisk flisebelægning, kan således kun udledes af en fuldstændig uendelig flisebelægning.

Flisebelægningen har også den ekstreme egenskab, at blandt flisebelægninger, hvis romber veksler (det vil sige, at hvis to romber støder op til eller adskilt af en række kvadrater, har de forskellige orienteringer), er andelen af ​​kvadrater minimal i Ammann-Binker flisebelægningen. [7]

Pell-tal og sølvforholdet

Ammann-Binker flisebelægningen er tæt forbundet med sølvsektionen ( ) og Pell-numrene .

• Substitutionsskemaet [ repræsenterer forholdet som en skalaværdi - dens matrix er en Pell-substitutionsmatrix, og sekvensen af ​​ord opnået ved substitutionen har den egenskab, at antallet af elementer og er lig med successive Pell-tal.
• Egenværdierne for substitutionsmatricen er og .
• I et alternativt sæt fliser er den lange side dobbelt så lang som de korte sider.
• Et sæt " Conway- orme ", dannet af korte og lange diagonaler af romber, er givet ved ovenstående linjer, hvor r betegner den korte diagonal og R den lange [8] .

Ammann striber til almindelige fliser. Hvis de fede ydre segmenter tages som længdeenheder, opdeler striberne kanterne i længdesegmenter og .

Ammann striber til alternative fliser. Bemærk, at striberne for den asymmetriske flise delvist strækker sig ud over flisen.

Klip og projekter konstruktion

Honeycombs fra hypercubes har ottefold rotationssymmetri, svarende til ottefold rotationssymmetri af tesseract . Rotationsmatricen svarende til denne symmetri er:

Transformation af denne matrix til nye koordinater via

Denne tredje matrix svarer til en rotation på 45° (i de to første koordinater) og 135° (i de to andre). Vi kan nu få Ammann-Binker flisebelægningen ved at projicere hyperkubernes ansigter på de første to eller sidste to koordinater.

Alternativt kan en Ammann-Binker flisebelægning opnås ved at placere romber og firkanter omkring skæringspunkterne mellem par af identiske kvadratiske celler placeret i en vinkel på 45º. Disse to teknikker blev udviklet af Binker i hans papir.

Klotz-konstruktionen er en relateret højdimensionel indlejring af hyperkube-honningkager , som beskrevet i Baake og Joseph [9] . Det ottekantede acceptområde kan derefter underinddeles yderligere, som hver giver præcis én toppunktskonfiguration. Desuden svarer det relative areal af enhver af disse regioner til hyppigheden af ​​forekomsten af ​​det tilsvarende toppunkt i den uendelige flisebelægning.

Noter

1. ↑ 1 2 Grünbaum, Shephard, 1986 .
2. ↑ Beenker, 1982 .
3. ↑ Gähler, 1998 , s. 95.
4. ↑ Abraham, Gähler, 1999 , s. 860.
5. ↑ Wang, Chen, Kuo, 1987 , s. 1010-1013.
6. ↑ Katz, 1994 , s. 141-189.
7. ↑ Bédaride N., Fernique Th., The Ammann-Beenker Tilings Revisited arXiv Arkiveret 31. august 2020 på Wayback Machine
8. ↑ Socolar, 1989 , s. 10519-10551.
9. ↑ Baake, Joseph, 1990 , s. 8091ff.

Litteratur

• B. Grünbaum , G.C. Shephard. Flisebelægning og mønstre. - NY: W.H. Freemann & Co, 1986. - ISBN 0-7167-1193-1 .
• FPM Beenker. Algebraisk teori om ikke-periodiske fliselægninger af planet ved hjælp af to simple byggesten: en firkant og en rombe // TH-rapport. - Eindhoven: Technische Hogeschool, 1982. - Vol. 82-WSK-04 .
• F. Gahler. Proceedings of the 6th International Conference on Quasicrystals / S. Takeuchi,T. Fujiwara. - Singapore: World Scientific Publishing Company, 1998. - ISBN 9789810233433 .
• S. Ben Abraham, F. Gähler. Dækkende klyngebeskrivelse af ottekantede MnSiAl kvasikrystaller // Fysisk. Rev. - 1999. - T. B60 . - S. 860 .
• Wang N., Chen H., Kuo K.,. To-dimensionel kvasikrystall med ottedobbelt rotationssymmetri // Phys Rev Lett. - 1987. - T. 59 . - S. 1010-1013 .
• A. Katz. Kapitel: Beyond quasicrystals // Matchingsregler og kvasiperiodicitet: de ottekantede fliser. - Berlin, Heidelberg: Springer, 1994. - V. 3. - (Centre de Physique des Houches). — ISBN 978-3-540-59251-8 .
• JES Socolar. Simple ottekantede og dodekagonale kvasikrystaller // Physical Review B. - 1989. - V. 39 , no. 15 . - doi : 10.1103/PhysRevB.39.10519 .
• M Baake, D Joseph. Ideelle og defekte vertexkonfigurationer i den plane ottekantede kvasilattice // Fysisk gennemgang B. - 1990. - T. 42 . - doi : 10.1103/physrevb.42.8091 .

Links

• Tilings Encyclopedia-indlæg .
• Ammann-Beenker fliser på John Savards hjemmeside .
• Viser Ammann-linjerne for fliselægningen og erstatningsreglerne .