Forventet værdi

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 1. oktober 2021; checks kræver 3 redigeringer .

Matematisk forventning er et begreb i sandsynlighedsteori , hvilket betyder den gennemsnitlige (vægtet med sandsynligheden for mulige værdier) værdi af en stokastisk variabel [1] . I tilfælde af en kontinuert stokastisk variabel er tæthedsvægtning underforstået (se nedenfor for mere stringente definitioner). Den matematiske forventning af en tilfældig vektor er lig med en vektor, hvis komponenter er lig med de matematiske forventninger til komponenterne i den tilfældige vektor.

Betegnes med [2] (f.eks. fra engelsk Expected value eller tysk Erwartungswert ); i russisksproget litteratur findes også en betegnelse (evt. fra den engelske Mean value eller tysk Mittelwert , og muligvis fra "Matematisk forventning"). I statistik bruges notationen ofte . ${\mathbb {E}}[X]$ $M[X]$ $\mu$

For en tilfældig variabel, der kun tager værdierne 0 eller 1, er den matematiske forventning lig med p - sandsynligheden for "én". Den matematiske forventning til summen af sådanne stokastiske variable er np , hvor n er antallet af sådanne stokastiske variable. I dette tilfælde beregnes sandsynligheden for udseendet af et vist antal enheder i henhold til binomialfordelingen . Derfor, i litteraturen, er det højst sandsynligt lettere at finde en rekord, der passer. forventningen til binomialfordelingen er np [3] .

Nogle tilfældige variable har ikke en forventet værdi, såsom tilfældige variable, der har en Cauchy-fordeling .

I praksis estimeres den matematiske forventning normalt som det aritmetiske middelværdi af de observerede værdier af en tilfældig variabel (stikprøvemiddelværdi, stikprøvemiddelværdi). Det er bevist, at under visse svage forhold (især hvis stikprøven er tilfældig, dvs. observationerne er uafhængige), tenderer stikprøvegennemsnittet til den sande værdi af den matematiske forventning af en tilfældig variabel, når stikprøvestørrelsen (tallet af observationer, tests, målinger) har en tendens til det uendelige.

Definition

Generel definition i form af Lebesgue-integralet

Lad et sandsynlighedsrum og en stokastisk variabel defineret på det være givet . Det vil sige, per definition er en målbar funktion . Hvis der er et Lebesgue-integral af over rummet , kaldes det den matematiske forventning eller den gennemsnitlige (forventede) værdi og er betegnet med eller . $(\Omega,\mathfrak{A},\mathbb{P})$ $x$ $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$ $x$ $\Omega$ $M[X]$ ${\mathbb {E}}[X]$

\mathbb {E} [X]=\int \limits _{\Omega }\!X(\omega )\,\mathbb {P} (d\omega ).

Definition gennem fordelingsfunktionen af en tilfældig variabel

Hvis er fordelingsfunktionen af en stokastisk variabel, så er dens matematiske forventning givet af Lebesgue-Stieltjes integralet : $F_{X}(x)$

\mathbb {E} [X]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!x\,dF_{X}(x)

, .

x\in \mathbb {R}

Definition for en absolut kontinuert stokastisk variabel (via distributionstæthed)

Den matematiske forventning til en absolut kontinuert stokastisk variabel , hvis fordeling er givet ved tætheden , er lig med $f_{X}(x)$

\mathbb {E} [X]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!xf_{X}(x)\,dx

Definition for en diskret tilfældig variabel

If er en diskret stokastisk variabel med fordeling $x$

\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i}

... _

\sum \limits _{i=1}^{\infty }p_{i}=1

så følger det direkte af definitionen af Lebesgue-integralet , at

{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\sum \limits _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i))

. Den matematiske forventning om en heltalsværdi

If er en positiv heltal tilfældig variabel (et specialtilfælde af en diskret) med en sandsynlighedsfordeling $x$

{\displaystyle \mathbb {P} (X=j)=p_{j))

... _ _

j=0,1,\dotsc

\sum \limits _{j=0}^{\infty }p_{j}=1

så kan dens matematiske forventning udtrykkes i form af sekvensens genererende funktion $\{p_{i}\}$

P(s)=\sum _{{k=0}}^{\infty }\;p_{k}s^{k}

som værdien af den første afledte ved enhed: . Hvis den matematiske forventning er uendelig, så skriver vi $\mathbb {E} [X]=P'(1)$ $x$ $\lim _{{s\to 1}}P'(s)=\infty$ $P'(1)=\mathbb {E} [X]=\infty$

Nu tager vi den genererende funktion af sekvensen af "haler" af fordelingen $Q(er)$ $\{q_{k}\}$

q_{k}=\mathbb {P} (X>k)=\sum _{j=k+1}^{\infty }{p_{j))

Q(s)=\sum _{k=0}^{\infty }q_{k}s^{k}.

Denne genererende funktion er relateret til den tidligere definerede funktion af egenskaben: at . Af dette, ifølge middelværdisætningen , følger det, at den matematiske forventning simpelthen er værdien af denne funktion ved enhed: $P(s)$ $Q(s)={\frac {1-P(s)}{1-s}}$ $|s|<1$

\mathbb {E} [X]=P'(1)=Q(1)

Matematisk forventning til en tilfældig vektor

Lad være en tilfældig vektor. Så per definition $X=(X_{1},\dots ,X_{n})^{{\top }}\colon \Omega \to {\mathbb {R}}^{n}$

\mathbb {E} [X]=(\mathbb {E} [X_{1}],\dots ,\mathbb {E} [X_{n}])^{\top }

det vil sige, at den matematiske forventning til en vektor bestemmes komponent for komponent.

Matematisk forventning om transformationen af en tilfældig variabel

Lad være en Borel-funktion sådan, at den stokastiske variabel har en endelig matematisk forventning. Så er formlen gyldig for det $g\colon {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ $Y = g(X)$

\mathbb {E} \left[g(X)\right]=\sum \limits _{i=1}^{\infty }g(x_{i})p_{i},

hvis den har en diskret fordeling; $x$

\mathbb {E} \left[g(X)\right]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!g(x)f_{X}(x)\,dx ,

hvis den har en absolut kontinuerlig fordeling. $x$

Hvis fordelingen af en generel stokastisk variabel , så $\mathbb {P} ^{X}$ $x$

\mathbb {E} \left[g(X)\right]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!g(x)\,\mathbb {P} ^{X }(dx).

I det særlige tilfælde, når , kaldes den matematiske forventning det th moment af den stokastiske variabel. ${\displaystyle g(X)=X^{k))$ $\mathbb {E} [g(X)]=\mathbb {E} [X^{k}]$ $k$

Egenskaber for matematisk forventning

Den matematiske forventning til et tal (ikke en tilfældig, fast værdi, konstant) er selve tallet.

\mathbb {E} [a]=a

a\in {\mathbb {R}}

er en konstant;

Den matematiske forventning er lineær [4] , dvs.

\mathbb {E} [aX+bY]=a\mathbb {E} [X]+b\mathbb {E} [Y]

, hvor er tilfældige variable med endelig matematisk forventning, og er vilkårlige konstanter;

X,Y

a,b\in \mathbb{R}

Især er den matematiske forventning af summen (forskellen) af stokastiske variable lig med summen (henholdsvis forskellen) af deres matematiske forventninger.

Den matematiske forventning bevarer uligheder, det vil sige, hvis næsten sikkert , og er en tilfældig variabel med en endelig matematisk forventning, så er den matematiske forventning til den stokastiske variabel også endelig, og desuden $0\leqslant X\leqslant Y$ $Y$ $x$

0\leqslant \mathbb {E} [X]\leqslant \mathbb {E} [Y]

Den matematiske forventning afhænger ikke af den stokastiske variabels opførsel ved tilfælde af sandsynlighed nul, det vil sige, hvis næsten sikkert , så $X=Y$

\mathbb {E} [X]=\mathbb {E} [Y]

Den matematiske forventning af produktet af to uafhængige eller ukorrelerede [5] stokastiske variable er lig med produktet af deres matematiske forventninger $X,Y$

\mathbb {E} [XY]=\mathbb {E} [X]\cdot \mathbb {E} [Y]

Forventningsuligheder

Markovs ulighed - for en ikke-negativ stokastisk variabel defineret på et sandsynlighedsrum med en endelig matematisk forventning , gælder følgende ulighed: ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{+))$ $(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathbb {P}})$ $\mathbb {E} (X)$

\mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} (X)}{a))

, hvor .

a>0

Jensens ulighed for den matematiske forventning om en konveks funktion af en stokastisk variabel. Lade være et sandsynlighedsrum, være en tilfældig variabel defineret på det, være en konveks Borel funktion , sådan at , så $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$ $\varphi \colon {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ $X,\varphi (X)\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F)),{\mathbb {P)))$

\varphi (\mathbb {E} (X))\leqslant \mathbb {E} (\varphi (X))

Sætning relateret til forventning

Levys sætning om monoton konvergens .
Lebesgues Majorized Convergence Theorem : Lad der være en sekvens af tilfældige variable, der konvergerer næsten overalt : . Lad derudover eksistere en integrerbar tilfældig variabel sådan, at næsten sikkert. Så er de stokastiske variable integrerbare og $X_{n}\til X$ $Y$ $\forall n\in \mathbb{N} \quad |X_{n}|\leqslant Y$ $X_{n},\;X$

\lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {E} (X_{n})=\mathbb {E} (X)

Walds identitet : for uafhængige identisk fordelte stokastiske variable , hvor er en positiv heltal stokastisk variabel uafhængig af , forudsat at og har en endelig matematisk forventning, vil følgende lighed være gældende: $X_{1},...,X_{N}$ $N$ $X_{i}$ $X_{i}$ $N$

\mathbb {E} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\mathbb {E} (N)\mathbb {E} (X)

Den matematiske forventning til en stokastisk variabel er lig med værdien af den første afledede af dens genererende funktion af momenter ved punkt 0: $x$ $G(u)$

\mathbb {E} (X)=G'(0)

Eksempler

Lad den stokastiske variabel have en diskret ensartet fordeling , dvs. derefter dens matematiske forventning $\mathbb {P} (X=x_{i})={\frac {1}{n)),\;i=1,\ldots ,n.$

\mathbb {E} [X]={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}

er lig med det aritmetiske middelværdi af alle modtagne værdier.

Lad en stokastisk variabel have en kontinuerlig ensartet fordeling på intervallet , hvor . Så har dens tæthed formen og den matematiske forventning er lig med $[a,b]$ $a<b$ $f_{X}(x)={\frac {1}{ba}}\mathbf {1} _{[a,b]}(x)$

\mathbb {E} [X]=\int \limits _{a}^{b}\!{\frac {x}{ba}}\,dx={\frac {a+b}{2 }}

Lad den tilfældige variabel have standard Cauchy-fordelingen . Derefter $x$

\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!xf_{X}(x)\,dx=\infty

det vil sige, at den matematiske forventning ikke er defineret. $x$

Se også

Noter

↑ " Matematisk encyklopædi " / Chefredaktør I. M. Vinogradov. - M . : "Sovjetisk encyklopædi", 1979. - 1104 s. - (51 [03] M34). - 148.800 eksemplarer.
↑ A. N. Shiryaev. 1 // "Sandsynlighed". - M. : MTSNMO, 2007. - 968 s. - ISBN 978-5-94057-036-3 , 978-5-94057-106-3, 978-5-94057-105-6.
↑ V.E. Gmurman. Del to. tilfældige variable. -> Kapitel 4. Diskrete stokastiske variable. -> Afsnit 3. // [ http://elenagavrile.narod.ru/ms/gmurman.pdf EN GUIDE TIL LØSNING AF PROBLEMER I SANDSYNLIGHEDSTEORI OG MATEMATISK STATISTIK]. - 1979. - S. 63. - 400 s. Arkiveret 21. januar 2022 på Wayback Machine
↑ Pytiev Yu. P. , Shishmarev I. A., Sandsynlighedsteori, matematisk statistik og elementer af mulighedsteori for fysikere. - M .: Fysisk fakultet ved Moscow State University, 2010.
↑ Sandsynlighedsteori: 10.2. Sætning om numeriske karakteristika . sernam.ru. Hentet 10. januar 2018. Arkiveret fra originalen 10. januar 2018. (ubestemt)

Litteratur

Feller W. Kapitel XI. Heltalsværdier. Generering af funktioner // Introduktion til sandsynlighedsteori og dens anvendelser = En introduktion til sandsynlighedsteori og dens anvendelser, bind I anden udgave / Oversat fra engelsk. R. L. Dobrushin, A. A. Yushkevich, S. A. Molchanov Ed. E. B. Dynkina med et forord af A. N. Kolmogorov. - 2. udg. - M . : Mir, 1964. - S. 270-272.

Links

Matematisk forventning og dens egenskaber på http://www.toehelp.ru

Ordbøger og encyklopædier	Stor russer Great Soviet (1 udg.) Britannica (online) Moderne Ukraine
I bibliografiske kataloger	GND : 4152930-3

Betyde
Matematik	Effektmiddel ( vægtet ) harmonisk middel vægtet geometrisk middelværdi vægtet Gennemsnit vægtet geometriske middelværdi Gennemsnitlig kubik glidende gennemsnit Aritmetisk-geometrisk middelværdi Funktion Middel Kolmogorov mener
Geometri	geometrisk centrum Barycenter
Sandsynlighedsteori og matematisk statistik	Winsoriseret middelværdi prøvegennemsnit Forventet værdi Median Mode standardafvigelse Afkortet middelværdi Betinget forventning
Informationsteknologi	Medoid k-median metode
Sætninger	Første middelsætning Anden middelsætning Ulighed om det aritmetiske, geometriske og harmoniske middelværdi
Andet	Distributionscenter-metrics