Ulighed om det aritmetiske, geometriske og harmoniske middelværdi

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 5. februar 2022; checks kræver 6 redigeringer .

Den aritmetiske middelværdi, geometriske middelværdi og harmonisk middelværdiulighed siger, at for alle ikke-negative tal er uligheden sand: $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$

{\bar {x}}_{\mathrm {quadr} }\geqslant {\bar {x}}_{\mathrm {aritme} }\geqslant {\bar {x}}_{\mathrm {geom } }\geqslant {\bar {x}}_{\mathrm {harmon} },

og lighed opnås hvis og kun hvis . ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n))$

Denne ulighed er et specialtilfælde af middeluligheden (Cauchys ulighed).

Definitioner

Udtryk

{\bar {x}}_{\mathrm {aritme} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}={\ frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}

kaldes det aritmetiske middelværdi af tal . $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$

Udtryk

{\bar {x}}_{\mathrm {geom} }={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}}}={ \sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}

kaldes det geometriske middelværdi af tal . $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$

Udtryk

{\bar {x}}_{\mathrm {harmon} }={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}} ))}={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\ldots +{\frac {1}{x_ {n}}}}}

kaldes det harmoniske middelværdi af tal . $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$

Udtryk

{\bar {x}}_{\mathrm {quadr} }={\sqrt ({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i} ^{2))))={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}}{n}}}

kaldes rodmiddelkvadrat af tal . $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$

Relaterede resultater

Uligheden mellem den aritmetiske middelværdi og den geometriske middelværdi er et specialtilfælde af middeluligheden .
Cauchys ulighed i en generaliseret form dannede grundlaget for geometrisk programmering .
Carlemans ulighed .

Historie

Et bevis på denne ulighed blev udgivet af Cauchy i hans lærebog om calculus i 1821 [1] .

Bevis

For n = 2

Antallet af beviser for denne ulighed i øjeblikket er måske kun sammenligneligt med antallet af beviser for Pythagoras sætning. Vi giver et smukt geometrisk bevis for sagen . Lad os få to segmenter af længde og . Derefter konstruerer vi en cirkel med en diameter (se fig. 1). Fra en af enderne af diameteren skal du markere et punkt på afstand . Lad os tegne en vinkelret på diameteren gennem dette punkt; den resulterende linje skærer cirklen i to punkter, og . Overvej den resulterende akkord. Trekanten er retvinklet, da vinklen er indskrevet i en cirkel og baseret på dens diameter, hvilket betyder, at den er en ret linje. Så er højden af trekanten , og højden i en retvinklet trekant er det geometriske middelværdi af de to segmenter af hypotenusen . Så . På samme måde får vi fra trekanten , at . Da er akkorden af en cirkel med diameter , og akkorden ikke overstiger diameteren, får vi det , eller . Bemærk, at lighed vil være, når akkorden falder sammen med diameteren, det vil sige når . $n=2$ $-en$ $b$ $a+b$ $M$ $-en$ $C$ $C_{1}$ $ABC$ $C$ $CM$ $ABC$ $CM={\sqrt {ab}}$ $ABC_{1}$ $C_{1}M={\sqrt {ab))$ $CC_{1}=2CM=2C_{1}M=2{\sqrt {ab))$ $CC_{1}$ $a+b$ $2{\sqrt {ab}}\leqslant a+b$ ${\sqrt {ab}}\leqslant {\frac {a+b}{2}}$ $a=b$

Det algebraiske bevis kan konstrueres som følger:

{\frac {a+b}{2}}\geqslant {\sqrt {ab}}\;\Leftrightarrow \;(a+b)^{2}\geqslant 4ab\;\Leftrightarrow \;(ab )^{2}\geqslant 0

Bemærk, at den første overgang er ækvivalent på grund af ikke-negativiteten af og . $-en$ $b$

For n = 4

Det er nok at sætte , samt . Det er let at se, i kraft af det beviste, at $\alpha ={\frac {a_{1}+a_{2}}{2}},\;\beta ={\frac {a_{3}+a_{4}}{2}}$ $\alpha '={\sqrt {a_{1}a_{2}}},\;\beta '={\sqrt {a_{3}a_{4}}}$

{\frac {\alpha +\beta }{2))\geqslant {\sqrt {\alpha \beta ))\geqslant {\sqrt {\alpha '\beta '))\;\Leftrightarrow \;{ \frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}}\geqslant {\sqrt[{4}]{a_{1}a_{2}a_{3} a_{4}}}

Ved induktion med et tilbageskridt

Det er klart, at overgangen fra 2 til 4 ved induktion medfører gyldigheden af uligheden for , og for den, vi er interesseret i, er der . Forudsat at uligheden er sand for , vil vi bevise dens gyldighed for . For at gøre dette er det tilstrækkeligt at sætte $N=2^{k}$ $n$ $k:N\geqslant n$ $N$ $N-1$ ${\displaystyle a_{N}={\sqrt[{N-1}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N-1))))$

{\frac {a_{1}+\ldots +a_{N}}{N}}\geqslant {\sqrt[{N}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N}} }\;\Leftrightarrow \;

{\frac {a_{1}+\ldots +a_{N-1}+{\sqrt[{N-1}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N-1)) }}{N}}\geqslant {\sqrt[{N}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N-1}{\sqrt[{N-1}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N-1}}}}}\;\Leftrightarrow \;

a_{1}+\ldots +a_{N-1}\geqslant (N-1){\sqrt[{N-1}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{N-1 }}}\;\Leftrightarrow \;

{\frac {a_{1}+\ldots +a_{N-1}}{N-1}}\geqslant {\sqrt[{N-1}]{a_{1}\cdot \ldots \ cdot a_{N-1}}}

Ved induktionsprincippet gælder ovenstående bevis også for . $n$

Direkte bevis

{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}...x_{n))}\leqslant {\frac {x_{1}+x_{2}+...+x_ {n}}{n}}}

Lad os dividere begge sider af uligheden med og foretage ændringen . Så er det under betingelserne nødvendigt at bevise, at (1). ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}...x_{n))))$ $y_{i}={\frac {x_{i}}{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}...x_{n))))$ $y_{1}>0,y_{2}>0,...,y_{n}>0;\quad y_{1}y_{2}...y_{n}=1$ $1\leqslant {\frac {y_{1}+y_{2}+...+y_{n}}{n}}$

Lad os bruge metoden til matematisk induktion .

Vi er nødt til at bevise, at hvis , så . Vi bruger ulighed (1), som vi ved den induktive antagelse anser for bevist for . Lad , og vælg fra rækkefølgen ( ) to udtryk, sådan at , (disse findes nøjagtigt, da ). Så er begge betingelser opfyldt, og uligheden eller antages at være bevist . Lad os nu erstatte med . Dette kan gøres på grund af det faktum, at eller , hvilket åbenbart gælder, da . Dermed er uligheden bevist. $m_{1}>0,m_{2}>0,...,m_{n+1}>0;\quad m_{1}m_{2}...m_{n+1}= en$ $m_{1}+m_{2}+...+m_{n+1}\geq n+1$ $n$ ${\displaystyle y_{1}=m_{1},y_{2}=m_{2},...,y_{n}=m_{n}m_{n+1))$ $m_i$ $m_{n}\geq 1$ $m_{n+1}\leq 1$ $m_{i}>0,m_{1}*m_{2}*...*m_{n+1}=1$ $y_{1}>0,y_{2}>0,...,y_{n}>0;\quad y_{1}y_{2}...y_{n}=1$ $y_{1}+y_{2}+...+y_{n}\geq n$ $m_{1}+m_{2}+...+m_{n}m_{n+1}\geq n$ $m_{n}m_{n+1}$ $m_{n}+m_{n+1}$ $m_{n}+m_{n+1}\geq m_{n}m_{n+1}+1$ $m_{n}+m_{n+1}-m_{n}m_{n+1}-1\geq 0$ $m_{n}(1-m_{n+1})-(1-m_{n+1})=(m_{n}-1)(1-m_{n+1})\geq 0$

Refleksion i kultur

Episoden med beviset for, at den aritmetiske middelværdi er større end den geometriske middelværdi, er til stede i en af scenerne i filmen " Hearts of Four " i 1941.

Noter

↑ Cauchy, Augustin-Louis. Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique. Premierefest. Analyser algebrik . - Paris, 1821. - S. 457-459 . Arkiveret fra originalen den 15. marts 2017.

Litteratur

Solovyov Yu. Augustin Louis Cauchy og matematisk induktion // Kvant . - 1991. - Nr. 3 . - S. 13-14 .

Betyde
Matematik	Effektmiddel ( vægtet ) harmonisk middel vægtet geometrisk middelværdi vægtet Gennemsnit vægtet geometriske middelværdi Gennemsnitlig kubik glidende gennemsnit Aritmetisk-geometrisk middelværdi Funktion Middel Kolmogorov mener
Geometri	geometrisk centrum Barycenter
Sandsynlighedsteori og matematisk statistik	Winsoriseret middelværdi prøvegennemsnit Forventet værdi Median Mode standardafvigelse Afkortet middelværdi Betinget forventning
Informationsteknologi	Medoid k-median metode
Sætninger	Første middelsætning Anden middelsætning Ulighed om det aritmetiske, geometriske og harmoniske middelværdi
Andet	Distributionscenter-metrics