Jensens ulighed

Jensens ulighed er en ulighed introduceret af Johann Jensen og tæt forbundet med definitionen af en konveks funktion .

Formuleringer

Slut case

Lad funktionen være konveks på et eller andet interval og lad tallene være sådan $f\venstre(x\højre)$ ${\mathcal X}$ $\ q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}$

\ q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}>0

og .

\ q_{{1}}+q_{2}+\ldots +q_{n}=1

Så uanset tallene fra intervallet , er følgende ulighed sand: $\ x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ ${\mathcal X}$

f(q_{1}x_{1}+q_{2}x_{2}+\ldots +q_{n}x_{n})\leq q_{1}f(x_{1})+q_{2} f(x_{2})+\ldots +q_{n}f(x_{n})

eller

f\left(\sum _{{i=1}}^{{n}}q_{i}x_{i}\right)\leq \sum _{{i=1}}^{{n}}q_ {i}f(x_{i})

Bemærkninger:

Hvis funktionen er konkav (konveks opad), så er fortegnet i uligheden omvendt. $\f(x)$
Johann Jensen gik selv ud fra et mere bestemt forhold, nemlig

f\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)\leq {\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2} }

, svarer det til sagen .

q_{1}=q_{2}={\frac {1}{2))

Bevis

Beviset udføres ved metoden matematisk induktion .

For uligheden følger af definitionen af en konveks funktion . $\n=2$
Antag, at det er sandt for et eller andet naturligt tal , vi vil bevise, at det er sandt for , dvs $\n$ $\n+1$

f(q_{1}x_{1}+q_{2}x_{2}+\ldots +q_{n}x_{n}+q_{{n+1}}x_{{n+1}})\ leq q_{1}f(x_{1})+q_{2}f(x_{2})+\ldots +q_{n}f(x_{n})+q_{{n+1}}f( x_{{n+1}})

Til dette formål erstatter vi summen af de sidste to led til venstre med en term $\ q_{n}x_{n}+q_{{n+1}}x_{{n+1}}$

(q_{n}+q_{{n+1)))\venstre({\frac {q_{n}}{q_{n}+q_{{n+1}}}}x_{n}+{\ frac {q_{{n+1}}}{q_{n}+q_{{n+1}}}}x_{{n+1}}\right)

;

dette vil gøre det muligt at bruge uligheden til og fastslå, at udtrykket ovenfor ikke overstiger summen $\n$

q_{1}f(x_{1})+q_{2}f(x_{2})+\ldots +(q_{n}+q_{{n+1)))f\venstre({\frac { q_{n}}{q_{n}+q_{{n+1}}}}x_{n}+{\frac {q_{{n+1}}}{q_{n}+q_{{n+ 1 }}}}x_{{n+1}}\højre)

Det er kun tilbage at anvende på værdien af funktionen i sidste led uligheden for . Ved metoden matematisk induktion er Jensens ulighed således fuldstændig bevist. $\n=2$

Geometrisk fortolkning

Et punkt er den tilsvarende konvekse kombination af punkter . Det er indlysende ud fra definitionen af en konveks funktion, at det konvekse skrog af dette sæt punkter vil falde sammen med selve sættet. Det betyder, at det følger af egenskaberne ved en konveks kombination, at det dannede punkt vil ligge inde i polygonen bygget på de anførte punkter i den angivne rækkefølge (hvis vi forbinder det sidste med det første). $(\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i x_i};\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i f(x_i)})$ $(x_1, f(x_1)), (x_2, f(x_2)), \dots, (x_n, f(x_n))$

Det er geometrisk indlysende, at punktet i dette tilfælde vil ligge over en af formens linjer . Men for en konveks funktion ligger en sådan lige linje pr. definition over funktionens graf. Det betyder, at punktet ligger over denne graf, hvilket betyder, at . $(\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i x_i};\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i f(x_i)})$ $(x_i;f(x_i))-(x_{i+1};f(x_{i+1}))$ $(\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i x_i};\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i f(x_i)})$ $f(\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i x_i}) \le \sum \limits_{i=1}^{n} {q_i f(x_i)}$

Integral formulering

For en konveks funktion og en integrerbar funktion , uligheden $\varphi \venstre(x\højre)$ $f\venstre(x\højre)$

\varphi \left({\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\leq {\frac {1}{ba}} \int _{a}^{b}\varphi (f(x))\,dx.

Probabilistisk formulering

Lad være et sandsynlighedsrum , og være en tilfældig variabel defineret på det . Lad også være en konveks (nedad) Borel funktion . Så hvis , så $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$ $\varphi \colon {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ $X,\varphi (X)\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F)),{\mathbb {P)))$

\varphi ({\mathbb {E}}[X])\leqslant {\mathbb {E}}[\varphi (X)]

hvor betyder matematisk forventning . ${\mathbb {E}}[\cdot ]$

Jensens ulighed for betinget forventning

Lad, ud over de antagelser, der er anført ovenfor, være en sub-σ-algebra af begivenheder . Derefter ${\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}$

\varphi ({\mathbb {E}}[X|{\mathcal {G}}])\leqslant {\mathbb {E}}[\varphi (X)|{\mathcal {G}}]

hvor betegner den betingede forventning med hensyn til σ-algebraen . ${\mathbb {E}}[\cdot |{\mathcal {G}}]$ ${\mathcal {G}}$

Særlige tilfælde

Hölders ulighed

Lad , hvor (en konveks funktion). Vi har $\f(x)=x^{k}$ $\x>0,$ $\k>1$

\left(\sum _{{i=1}}^{{n}}{q_{i}x_{i}}\right)^{k}\leq \sum _{{i=1}}^{ {n}}{q_{i}x_{i}^{k}}

, og

\ q_{1},\ldots ,q_{n}>0

\ q_{1}+\ldots +q_{n}=1

Lad os betegne , hvor er vilkårlige positive tal, så vil uligheden blive skrevet i formen $\ q_{i}={\frac {p_{i}}{p_{1}+\ldots +p_{n}}}$ $\p_{1},\ldots ,p_{n}$

\left(\sum _{{i=1}}^{{n}}{p_{i}x_{i}}\right)^{k}\leq \left(\sum _{{i=1} }^{{n}}{p_{i}}\right)^{{k-1}}\sum _{{i=1}}^{{n}}{p_{i}x_{i}^ {k}}

Ved at erstatte her med og med , får vi den velkendte Hölder-ulighed : $\p_{i}$ $\ b_{i}^{{{\frac {k}{k-1))))$ $\x_{i}$ ${\frac {a_{i}}{b_{i}^{{{\frac {1}{k-1}}}}}}$

\sum _{{i=1}}^{{n}}{a_{i}b_{i}}\leq \left(\sum _{{i=1}}^{{n}}{a_{ i}}^{k}\right)^{{\frac {1}{k}}}\left(\sum _{{i=1}}^{{n}}{b_{i}}^{ {{\frac {k}{k-1}}}}\right)^{{\frac {k-1}{k}}}

Cauchys ulighed

Lad (konkav funktion). Vi har $\f(x)=\ln x$

\sum _{{i=1}}^{{n}}{q_{i}\ln x_{i}}\leq \ln \left(\sum _{{i=1}}^{{n} }{q_{i}x_{i}}\right)

, eller , forstærkende får vi .

\ln \prod _{{i=1}}^{{n}}{x_{i}^{{q_{i}}}}\leq \ln \sum _{{i=1}}^{{ n}}{q_{i}x_{i}}

\prod _{{i=1}}^{{n}}{x_{i}^{{q_{i}}}}\leq \sum _{{i=1}}^{{n}}{ q_{i}x_{i}}

Især når vi opnår Cauchy-uligheden ( det geometriske middel overstiger ikke det aritmetiske middel ) $q_{i}={\frac {1}{n}}$

{\sqrt[ {n}]{x_{1}\ldots x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}

Ulighed mellem harmonisk middelværdi og geometrisk middelværdi

Lad (en konveks funktion). Vi har $\ f(x)=x\ln x$

\left(\sum _{{i=1}}^{{n}}{q_{i}x_{i}}\right)\ln \left(\sum _{{i=1}}^{{ n}}{q_{i}x_{i}}\right)\leq \sum _{{i=1}}^{{n}}{q_{i}x_{i}\ln x_{i}}

. Putting og potensering får vi

q_{i}={\frac {{\frac {1}{x_{i)))){\sum _{{i=1}}^{{n}}{{\frac {1}{x_{ jeg}}}}}}

{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1))}+\ldots +{\frac {1}{x_{n))))}\leq \left(x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)^{{1/n}}

( den harmoniske middelværdi overstiger ikke den geometriske middelværdi )

Ulighed mellem harmonisk middelværdi og aritmetisk middelværdi

Lad (en konveks funktion). Vi har $\ f(x)={\frac {1}{x}}$ ${\frac {1}{\sum _{{i=1}}^{{n}}{q_{i}x_{i}}}}\leq \sum _{{i=1}}^{{ n}}{{\frac {q_{i}}{x_{i}}}}$

Især, for vi opnår, at den harmoniske middelværdi ikke overstiger den aritmetiske middelværdi : $q_{i}={\frac {1}{n}}$

{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1))}+\ldots +{\frac {1}{x_{n))))}\leq {\frac {x_{1}+ \ldots +x_{n}}{n}}

Se også

Litteratur

Zorich V. A. Ch. V. Differentialregning // Matematisk analyse. Del I. - 6. udg. - M. : MTSNMO , 2012. - S. 289-290. - 2000 eksemplarer. - ISBN 978-5-94057-892-5 .
Fikhtengolts G. M. Ch. IV. Undersøgelse af funktioner ved hjælp af afledte // Forløb af differential- og integralregning. - 8. udg. - M. : FIZMATLIT, 2001. - T. 1. - S. 336-337. - 5000 eksemplarer. — ISBN 5-9221-0156-0 .