Geometrisk vægtet middelværdi

Det geometrisk vægtede middel er en slags middelværdi , en generalisering af det geometriske middelværdi . For et sæt af ikke-negative reelle tal med reelle vægte sådan, at , er defineret som [1] $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $w_{1},\ldots ,w_{n}$ $\sum _{i=1}^{n}w_{i}\neq 0$

{\bar {x}}=\left(\prod _{{i=1}}^{n}x_{i}^{{w_{i}}}\right)^{{1/\sum _{ {i=1}}^{n}w_{i}}}=\quad \exp \left({\frac {1}{\sum _{{i=1}}^{n}w_{i}} }\;\sum _{{i=1}}^{n}w_{i}\ln x_{i}\right)

Ovenstående formler giver mening for alle værdier af vægtene, undtagen når nogle og de tilsvarende vægte . Derfor antages det som regel, at alle tal . Ikke-negative vægte overvejes også normalt. $x_{i}=0$ $w_{i}\leq 0$ $x_{i}>0$

Hvis vægtene normaliseres til én (det vil sige deres sum er lig med én), så antager den geometriske vægtede middelværdi en enklere form: $w_{1},\ldots ,w_{n}$

{\bar {x}}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=\exp \sum _{i=1}^{n}w_ {i}\ln x_{i}

Egenskaber

Den aritmetisk vægtede middelværdi af logaritmerne for nogle tal er lig med logaritmen af den geometriske vægtede middelværdi af disse tal med samme vægte.
Hvis alle vægte ( ) er ens, så bliver den vægtede geometriske middelværdi den sædvanlige geometriske middelværdi . $w_{i}$ $i=1,2,...,n$

Eksempel på brug

Lad en diskret sandsynlighedsfordeling være givet . Betegn ved det geometriske vægtede middelværdi af værdier med vægte , dvs. ${\displaystyle P=\{p_{i}|\,i=1,2,...,N\))$ ${\overline {N))$ ${\displaystyle 1/p_{i))$ $p_{i}$

{\overline {N}}=\prod _{i=1}^{N}{(1/p_{i})}^{p_{i}}

Så kan Shannon-entropien af fordelingen skrives som $P$

H(P)=\log {\overline {N}}=-\sum _{i=1}^{N}p_{i}\log p_{i}

Værdien tolkes som det effektive antal systemtilstande. ${\overline {N))$

Noter

↑ Repova M. L., Sazanova E. V. Generel teori om statistik i skemaer, formler, tabeller . - Arkhangelsk: AGTU, 2007. - 24 s. Arkiveret 13. oktober 2017 på Wayback Machine

Betyde
Matematik	Effektmiddel ( vægtet ) harmonisk middel vægtet geometrisk middelværdi vægtet Gennemsnit vægtet geometriske middelværdi Gennemsnitlig kubik glidende gennemsnit Aritmetisk-geometrisk middelværdi Funktion Middel Kolmogorov mener
Geometri	geometrisk centrum Barycenter
Sandsynlighedsteori og matematisk statistik	Winsoriseret middelværdi prøvegennemsnit Forventet værdi Median Mode standardafvigelse Afkortet middelværdi Betinget forventning
Informationsteknologi	Medoid k-median metode
Sætninger	Første middelsætning Anden middelsætning Ulighed om det aritmetiske, geometriske og harmoniske middelværdi
Andet	Distributionscenter-metrics