Kolmogorov mener

Kolmogorov- middelværdien eller Kolmogorov- middelværdien for reelle tal er en mængde af formen

hvor er en kontinuerlig strengt monoton funktion, og er den inverse funktion til , og argumentet for denne inverse funktion er gennemsnitssummen i parentes.

Eksempler

Når visse funktioner er valgt, giver Kolmogorov-midlet forskellige klassiske midler:

• at - aritmetisk middelværdi ;
• at - geometrisk middelværdi ;
• at - harmonisk middelværdi ;
• at - root middel kvadrat ;
• ved er magtmidlet .

Egenskaber

I 1930 viste A. N. Kolmogorov [1] , at enhver gennemsnitsværdi har formen, hvis den har egenskaberne:

• kontinuitet ,
• monotoni for hver ,
• symmetri (gennemsnit ændres ikke ved omarrangering af argumenter),
• gennemsnittet af et sæt af lige tal er lig med deres værdi,
• at erstatte værdierne af alle tal i en undergruppe i et sæt med værdien af ​​middelværdien for den undergruppe, ændrer ikke værdien af ​​middelværdien af ​​hele sættet.
• For konvekse eller konkave funktioner gælder Jensens ulighed .

Ansøgninger

Kolmogorovs midler bruges i anvendt statistik og økonometri . I overensstemmelse med måleteorien kan kun det aritmetiske middelværdi bruges fra alle Kolmogorov-midler til gennemsnitsdata målt på intervalskalaen , og til gennemsnitsdata målt på forholdsskalaen kan kun potensmidler og geometriske middelværdier bruges fra alle Kolmogorov betyder. [2] [3]

Generaliseringer

For en kontinuerligt fordelt mængde betyder Kolmogorov i intervallet :

Se også

• Anvendt statistik
• Økonometri

Litteratur

1. ↑ Kolmogorov A. N. Matematik og mekanik // Udvalgte værker / red. udg. S. M. Nikolsky, comp. V. M. Tikhomirov. - M. : Nauka, 1985. - T. 1. - S. 136-138.
2. ↑ Orlov A. I. Kapitel 2 // Økonometri . - 3. udg. - M . : Eksamen, 2004. - 596 s. Arkiveret 22. juni 2007 på Wayback Machine
3. ↑ Orlov A. I. Afsnit 5.3 // Anvendt statistik . - M . : Eksamen, 2006. - 671 s. Arkiveret 4. april 2013 på Wayback Machine