Kvadratisk funktion af en variabel

En andengradsfunktion er en hel rationel funktion af formens anden grad , hvor og . Den andengradsfunktionsligning indeholder et kvadratisk trinomium . Grafen for en kvadratisk funktion er en parabel . Mange egenskaber ved grafen for en kvadratisk funktion er på en eller anden måde relateret til toppen af parablen, som i høj grad bestemmer grafens position og udseende. $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $en \neq 0$ $a,b,c\in \mathbb {R}$

En oversigt over hovedfunktionerne

Mange egenskaber ved en kvadratisk funktion afhænger af værdien af koefficienten . Følgende tabel giver et overblik over hovedegenskaberne for en kvadratisk funktion [1] . Deres bevis tages i betragtning i artiklen i de relevante afsnit. $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $-en$

Ejendom	$a>0$	$a<0$
Funktionsomfang	$D(f)=\mathbb {R}$
Sæt af funktionsværdier	$E(f)=\venstre[-{\frac {b^{2}-4ac}{4a));+\infty \right)$	$E(f)=\left(-\infty ;-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right]$
Funktionsparitet	En jævn funktion til ; hverken lige eller ulige $b=0$ $b\neq 0$
Funktion Periodicitet	Ikke-periodisk funktion
Funktionskontinuitet	Overalt kontinuerlig funktion, ingen diskontinuitetspunkter
Funktionen nuller	$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}$ , hvis der ikke er rigtige nuller, hvis $D=b^{2}-4ac\geq 0$ $D=b^{2}-4ac<0$
Funktionsgrænse kl $x\to \pm \infty$	$f(x)\to +\infty$ på $x\to \pm \infty$	$f(x)\to -\infty$ på $x\to \pm \infty$
Funktionsdifferentiering	Overalt multipliceres differentierbar: $f'(x)=2ax+b,f''(x)=2a,f'''(x)=0$
Ekstreme punkter (absolut ekstrem)	$x_{min}={\frac {-b}{2a))$ (minimum)	$x_{max}={\frac {-b}{2a))$ (maksimum)
Intervaller med streng monotoni	falder med stiger med $\left(-\infty ;-{\frac {b}{2a))\right]$ $\left[-{\frac {b}{2a));+\infty \right)$	stiger med falder med $\left(-\infty ;-{\frac {b}{2a))\right]$ $\left[-{\frac {b}{2a));+\infty \right)$
Konveksitet af en funktion	Overalt nedad konveks funktion	En overalt konveks funktion
Bøjningspunkter	Ingen bøjningspunkter
Funktionsbegrænsning	Begrænset nedefra	Begrænset fra oven
Funktionens største værdi	Ingen (ubegrænset fra oven)	$y_{max}=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a))$
Funktionens mindste værdi	$y_{min}=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a))$	Ingen (ubegrænset nedefra)
Positive funktionsværdier	$(-\infty ;x_{1})\cup (x_{2};+\infty )$	$(x_{1};x_{2})$
Negative funktionsværdier	$(x_{1};x_{2})$	$(-\infty ;x_{1})\cup (x_{2};+\infty )$

Indflydelse af koefficienter på diagramtransformation

Standardnotation for ligningen af en andengradsfunktion

Reelle tal , og i den generelle notation af en kvadratisk funktion kaldes dens koefficienter. I dette tilfælde kaldes koefficienten normalt den senior, og koefficienten er fri. Ændring af hver af koefficienterne fører til visse transformationer af parablen. $-en$ $b$ $c$ $-en$ $c$

Ved værdien af koefficienten kan man bedømme, i hvilken retning dens grene er rettet (op eller ned) og evaluere graden af dens udvidelse eller kompression i forhold til y- aksen : $-en$

Hvis , så er grenene af parablen rettet opad, det vil sige, at dens toppunkt er placeret under. $a>0$
Hvis , så er grenene af parablen rettet nedad, det vil sige, at dens toppunkt er placeret på toppen. $a<0$
Hvis , så er parablen komprimeret langs y-aksen, det vil sige, at den virker bredere og fladere. $|a|<1$
Hvis , så strækkes parablen langs y-aksen, det vil sige, at den virker smallere og stejlere. $|a|>1$

Påvirkningen af koefficientværdien kan enklest illustreres ved en kvadratisk funktion af formen , det vil sige i tilfælde af og . I tilfældet bliver den kvadratiske funktion til en lineær . $-en$ ${\displaystyle f(x)=ax^{2))$ $b=0$ $c=0$ $a=0$

En ændring i koefficienten vil medføre en forskydning af parablen både i forhold til abscisseaksen og i forhold til ordinataksen . Når værdien øges med 1, vil parablen skifte til venstre og samtidig til bunden. Formindskelse med 1 vil flytte parablen til højre og samtidig til toppen. Sådanne transformationer forklares ved, at koefficienten karakteriserer hældningen af tangenten til parablen i skæringspunktet med ordinataksen (det vil sige ved ). $b$ $b$ $1/2a$ $(2b+1)/4a$ $b$ $1/2a$ $(2b-1)/4a$ $b$ $x=0$

Koefficienten karakteriserer parablens parallelle translation i forhold til y-aksen (det vil sige op eller ned). Ved at øge værdien af denne koefficient med 1, vil parablen rykke 1 op. Følgelig, hvis koefficienten reduceres med 1, vil parablen også skifte ned med 1. Da koefficienten også påvirker positionen af parablens toppunkt, er det umuligt at bedømme ud fra værdien af koefficienten alene, om toppunktet er placeret over eller under x-aksen. $c$ $c$ $b$ $c$

At skrive en kvadratisk funktion i form af koordinaterne for parablens toppunkt

Enhver kvadratisk funktion kan opnås ved at strække/komprimere og parallel translation af den enkleste kvadratiske funktion . Så grafen for en funktion af formen opnås ved at komprimere (at ) eller strække (at ) grafen for funktionen til tider, efterfulgt af dens parallelle overførsel af enheder til højre og enheder op (hvis disse værdier er negative tal, derefter henholdsvis til venstre og ned). Det er klart, med transformationen udført, vil toppen af parablen af funktionen bevæge sig fra punkt til punkt . Denne kendsgerning giver en anden måde at beregne koordinaterne for parablens toppunkt for en vilkårlig kvadratisk funktion ved at bringe dens ligning til formen , som giver dig mulighed for straks at se koordinaterne for parablens toppunkt- . $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $f(x)=x^{2}$ ${\displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0))$ $a<0$ $a>0$ $f(x)=x^{2}$ $-en$ $x_{0}$ $y_0$ $f(x)=x^{2}$ $(0;0)$ $(x_{0};y_{0})$ ${\displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0))$ $(x_{0};y_{0})$

Konvertering af en vilkårlig kvadratisk funktion af formen til formen gør det muligt at vælge en fuld firkant ved hjælp af formlerne for forkortet binomial multiplikation : $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ${\displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0))$

f(x)=ax^{2}+bx+c

=a\cdot \left(x^{2}+{\frac {b}{a}}\cdot x\right)+c

=a\cdot \left(x^{2}+{\frac {b}{a}}\cdot x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\ frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)+c

=a\cdot \left(x^{2}+2\cdot x\cdot {\frac {b}{2a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}} }\right)-{\frac {b^{2}}{4a}}+c

=a\cdot \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {-b^{2}}{4a}}+{\frac {4ac }{4a}}

=a\cdot \left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}

=a\cdot \left(x-x_{0}\right)^{2}+y_{0}

, hvor og

x_{0}={\frac {-b}{2a))

y_{0}={\frac {-b^{2}+4ac}{4a))

Ved at sammenligne værdierne for og beregnet ved differentialmetoden (se det tilsvarende afsnit i artiklen), kan man også sikre sig, at de er koordinaterne til parablens toppunkt. I specifikke tilfælde er det slet ikke nødvendigt at huske de givne besværlige formler; det er mere bekvemt at udføre transformationen af polynomiet direkte til den ønskede form hver gang. I et specifikt eksempel ser denne metode sådan ud: $x_{0}$ $y_0$

f(x)=2x^{2}+8x+5=2\cdot \left(x^{2}+4\cdot x\right)+5

=2\cdot \left(x^{2}+4\cdot x+4-4\right)+5

=2\cdot \left(\left(x+2\right)^{2}-4\right)+5

=2\cdot \left(x+2\right)^{2}-8+5

=2\cdot \left(x+2\right)^{2}-3\Rightarrow S(-2;-3)

Ulempen ved denne metode er dens besværlighed, især i det tilfælde, hvor du som følge af parenteser skal arbejde med brøker . Det kræver også en vis færdighed i at håndtere forkortede multiplikationsformler .

Men det generelle bevis, der er overvejet ovenfor, fører til en enklere måde at beregne koordinaterne for parablens toppunkt ved hjælp af formlerne og . For eksempel har vi for den samme funktion: $x_{0}={\frac {-b}{2a))$ $y_{0}=f(x_{0})$ $f(x)=2x^{2}+8x+5$

x_{0}={\frac {-b}{2a}}={\frac {-8}{2\cdot 2}}=-2

y_{0}=f(-2)=2\cdot (-2)^{2}+8\cdot (-2)+5=-3\Højrepil S(-2;-3)

Således ,. $f(x)=2x^{2}+8x+5=2\cdot \left(x+2\right)^{2}-3$

Nuller for funktionen

Antal nuller i en kvadratisk funktion

En andengradsfunktion er en hel rationel funktion af anden grad, så den kan højst have to nuller i det reelle areal. I tilfælde af en udvidelse til det komplekse domæne kan man sige, at den kvadratiske funktion under alle omstændigheder har præcis to komplekse nuller, som kan være strengt reelle tal eller indeholde en imaginær enhed .

Du kan bestemme antallet af nuller for en andengradsfunktion uden at løse den tilsvarende andengradsligning ved at beregne diskriminanten . Samtidig er der forskellige variationer af dens beregning: almindelig (altid anvendelig), reduceret (praktisk i tilfælde af en lige koefficient ) og reduceret (kun anvendelig for det reducerede polynomium). I dette tilfælde vil de numeriske værdier i hvert tilfælde være forskellige, dog vil tegnet på diskriminanten falde sammen uanset variationen. $b$

Fuld diskriminerende	Reduceret diskriminant	Reduceret diskriminant
$f(x)=ax^{2}+bx+c$	$f(x)=ax^{2}+bx+c$	$f(x)=x^{2}+px+q$
$D=b^{2}-4ac$	$D=\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-ac$	$D=\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q$

Uanset beregningen af diskriminanten vil følgende udsagn være sande:

Hvis , så har funktionen et nul med multiplicitet 2, som falder sammen med abscissen af parablens toppunkt; $D=0$
Hvis , så har funktionen to reelle nuller og parablen skærer x-aksen i to punkter; $D>0$
Hvis , så har funktionen ingen reelle nuller (begge dens nuller vil være komplekse tal), og dens graf er placeret helt over abscisseaksen (hvis ) eller ligger helt under den (hvis ). $D<0$ $a>0$ $a<0$

For en funktion, der bruger standardformlen for diskriminanten, får vi for eksempel: $f(x)=2x^{2}+8x+5$

D=b^{2}-4ac=8^{2}-4\cdot 2\cdot 5=64-40=24>0

Det betyder, at denne funktion har to reelle nuller, det vil sige, at dens parabel skærer x-aksen i to punkter.

Metoder til beregning af nuller for en kvadratisk funktion

At finde nulpunkterne for en andengradsfunktion reduceres til at løse en andengradsligning , hvor . Den særlige metode, der er bedst egnet til en bestemt kvadratisk funktion, afhænger i høj grad af dens koefficienter. I alle specielle tilfælde er den universelle formel ud over specielle formler og metoder altid anvendelig. I alle de anførte formler, der indeholder kvadratrod , skal det huskes, at hvis rodudtrykket er et negativt tal , så har den kvadratiske funktion ingen nuller i det reelle område, men har to komplekse nuller. $ax^{2}+bx+c=0$ $en \neq 0$

I det mest generelle tilfælde anvendes den universelle formel:

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

I tilfælde af den givne ligning af formen , hvor den førende koefficient er lig med en, bruges en forenklet formel: $x^{2}+px+q=0$ $-en$

x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q} }

Du kan få den reducerede form fra den generelle ved at dividere den oprindelige ligning med . På samme tid, selvfølgelig, og .

ax^{2}+bx+c=0

-en

p=b/a

q=c/a

I tilfælde af en ufuldstændig andengradsligning for, antager ligningen en potensform . Derfor får vi ved at bruge metoderne til løsning af potensligninger : $b=0$ $ax^{2}+c=0$

{\displaystyle x_{1,2}=\pm {\sqrt {\frac {-c}{a))))

I tilfælde af en ufuldstændig andengradsligning for, antager ligningen formen , og det er praktisk at bruge faktoriseringsmetoden til at løse den . Tager vi den ud af parentesen, får vi . Således har vi: $c=0$ $ax^{2}+bx=0$ $økse$ $ax(x+b/a)=0$

x_{1}=0

x_{2}={\frac {-b}{a))

Paritet og symmetri af en kvadratisk funktion

Symmetri omkring y-aksen

En kvadratisk funktion er en hel rationel funktion af anden grad, så alle de tilsvarende egenskaber for en hel rationel funktion er sande for den. Især er det kun lige , hvis dets polynomium kun indeholder lige eksponenter , og ulige, hvis det kun indeholder ulige eksponenter. Det følger heraf, at ingen kvadratisk funktion kan være ulige på grund af det faktum, at betingelsen oprindeligt er pålagt den , og derfor vil den altid indeholde en lige eksponent 2. $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $a\neq 0$

Derudover er det indlysende, at den kvadratiske funktion kun er lige, hvis der ikke er nogen eksponent 1, hvilket betyder . Dette faktum kan nemt bevises direkte. Så det er indlysende, at funktionen er lige, da det er sandt: $b=0$ $f(x)=ax^{2}+c$

f(-x)=a\cdot (-x)^{2}+c=ax^{2}+c=f(x)

, altså .

f(-x)=f(x)

En kvadratisk funktion er således kun symmetrisk om y-aksen, når . De specifikke værdier af koefficienterne påvirker ikke dette faktum overhovedet. Især kan den også være lig med nul, det vil sige fraværende i formelindtastningen. I dette tilfælde vil parablens toppunkt falde sammen med oprindelsen af koordinatsystemet. $b=0$ $-en$ $c$ $c$

I alle andre tilfælde vil den kvadratiske funktion hverken være lige eller ulige, det vil sige, at den er en funktion af en generel form. Dette kan også nemt vises ved hjælp af definitionen af en funktions paritet :

f(-x)=a\cdot (-x)^{2}+b\cdot (-x)+c=ax^{2}-bx+c\neq f(x)

, altså .

f(-x)\neq f(x)

f(-x)=a\cdot (-x)^{2}+b\cdot (-x)+c=ax^{2}-bx+c=-(-ax^{2}+ bx-c)\neq -f(x)

, altså .

f(-x)\neq -f(x)

Aksial symmetri generelt

På samme tid har grafen for enhver kvadratisk funktion aksial symmetri. Som du ved, hvis lighed er sand for en funktion for et eller andet tal , så har grafen for denne funktion aksial symmetri i forhold til den rette linje . I forhold til en kvadratisk funktion er et sådant tal abscissen af toppunktet på dens parabel. Grafen for enhver kvadratisk funktion er således symmetrisk i forhold til en akse parallel med y-aksen og passerer gennem toppen af parablen, og symmetriaksen for funktionen er en ret linje . $f(x)$ $x_{0}\in \mathbb {R}$ $f(x_{0}+x)=f(x_{0}-x)$ $f(x)$ $x = x_0$ $x_{0}$ $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $x=-b/2a$

Beviset for dette faktum er heller ikke svært:

f(x_{0}+x)=f(x+x_{0})=f\venstre(x-{\frac {b}{2a}}\right)=a\venstre(x-{ \frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(x-{\frac {b}{2a}}\right)+c

=a\left(x^{2}-2\cdot x\cdot {\frac {b}{2a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\ højre)+b\venstre(x-{\frac {b}{2a}}\højre)+c

=ax^{2}-bx+{\frac {b^{2}}{4a}}+bx-{\frac {b^{2}}{2a}}+c=ax^{2} -{\frac {b^{2}}{4a}}+c=ax^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}

Transformationen fører til et lignende resultat:

f(x_{0}-x)=f(-x+x_{0})=f\venstre(-x-{\frac {b}{2a))\right)=\dotsb =ax^ {2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}

Derfor er grafen for funktionen symmetrisk i forhold til den rette linje . $f\left({\frac {-b}{2a}}+x\right)=f\left({\frac {-b}{2a}}-x\right)$ $x={\frac {-b}{2a}}$

Beregning af toppunktet for en parabel ved hjælp af nulpunkterne i en funktion

Da en parabels symmetriakse altid går gennem dens toppunkt, er det indlysende, at nullerne i en kvadratisk funktion også altid er symmetriske i forhold til abscissen af parablens toppunkt. Denne kendsgerning gør det nemt at beregne koordinaterne for parablens toppunkt ved hjælp af funktionens kendte nuller. Inden for reelle tal fungerer denne metode kun, når parablen krydser abscisseaksen eller rører ved den, det vil sige, den har nuller fra det reelle område.

I det tilfælde, hvor den kvadratiske funktion kun har et nul ( af multiplicitet 2), så er det åbenbart toppunktet for selve parablen. Hvis parablen har nuller og , så kan abscissen af dens toppunkt let beregnes som det aritmetiske middelværdi af funktionens nuller. Ordinaten af et toppunkt beregnes ved at erstatte dens abscisse i den oprindelige ligning for funktionen: $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{0}$

x_{0}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}

y_{0}=f(x_{0})

Denne metode vil være særlig praktisk, når den kvadratiske funktion er givet i sin faktoriserede form. Så for eksempel vil parablen af en funktion have et toppunkt med følgende koordinater: $f(x)=2(x-1)(x+3)$

x_{0}={\frac {1+(-3)}{2}}=-1

y_{0}=f(-1)=2(-1-1)(-1+3)=-8

I dette tilfælde er det ikke engang nødvendigt at transformere funktionens ligning til en generel form.

Forskning ved hjælp af metoder til differentiel og integral analyse

Afledt og antiderivat

Som enhver hel rationel funktion er en kvadratisk funktion differentierbar over hele dens definitionsdomæne . Dens afledte er let at finde ved hjælp af de elementære regler for differentiering: . Således ser vi, at den afledede af en kvadratisk funktion er en lineær funktion , der enten strengt monotont øges (hvis ) eller strengt monotont aftager (hvis ) over hele definitionsdomænet. Det er også let at se, at , hvilket betyder, at koefficienten i ligningen af den oprindelige funktion er lig med hældningen af parablen ved origo. $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $f'(x)=2ax+b$ $a>0$ $a<0$ $f'(0)=b$ $f'(0)=b$

En kvadratisk funktion, som enhver hel rationel funktion, er også integrerbar over hele dens definitionsdomæne . Dens antiderivat er åbenbart en kubisk funktion :

F(x)=\int (ax^{2}+bx+c)dx={\frac {a}{3}}x^{3}+{\frac {b}{2}}x ^{2}+cx+d

, hvor .

d\in \mathbb {R}

Monotonicitet og ekstremumpunkter

Det er klart, at toppen af parablen er dens højeste eller laveste punkt, det vil sige det absolutte ekstremum af den kvadratiske funktion (minimum ved og maksimum ved ). Derfor opdeler abscissen af parablens toppunkt funktionens definitionsdomæne i to monotone intervaller, hvoraf det ene øges, og på det andet falder det. Ved at bruge metoderne til differentialregning , ved hjælp af denne kendsgerning, kan man nemt udlede en simpel formel til beregning af koordinaterne for toppunktet af en parabel givet af den generelle ligning gennem dens koefficienter. $a>0$ $a<0$ $f(x)=ax^{2}+bx+c$

Ifølge den nødvendige og tilstrækkelige betingelse for eksistensen af et ekstremum opnår vi :. På samme tid , hvis . Funktionen er en konstant funktion , med og med . Således er det nødvendige og tilstrækkelige kriterium for eksistensen af et ekstremum opfyldt på dette punkt . Derfor har vi koordinaterne for toppunktet: $f'(x)=2ax+b$ $f'(x)=0$ $x=-b/2a$ $f''(x)=2a$ $f''>0$ $a>0$ $f''<0$ $a<0$ $x_{0}=-b/2a$

x_{0}={\frac {-b}{2a))

y_{0}=f(x_{0})=a\left({\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+b\left({\frac {-b} {2a}}\right)+c={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}

Toppen af parablen deler den kvadratiske funktions domæne i to monotone intervaller: og . For funktionen på den første af dem er strengt monotont aftagende, og på den anden strengt monotont stigende. I tilfældet er det præcis det modsatte. $\left(-\infty ;{\frac {-b}{2a))\right)$ $\left({\frac {-b}{2a));+\infty \right)$ $a>0$ $a<0$

I dette tilfælde kan du slet ikke huske disse formler, men brug blot hver gang kriterierne for eksistensen af et ekstremum for hver specifik kvadratisk funktion. Eller det anbefales kun at huske formlen til beregning af abscissen af parablens toppunkt. Dens ordinat beregnes let ved at erstatte den beregnede abscisse i en specifik funktionsligning. $x_{0}=-b/2a$

For en funktion får vi for eksempel: $f(x)=2x^{2}+8x+5$

x_{0}={\frac {-b}{2a}}={\frac {-8}{2\cdot 2}}=-2

y_{0}=f(-2)=2\cdot (-2)^{2}+8\cdot (-2)+5=-3\Højrepil S(-2;-3)

Således har toppunktet for parablen af denne funktion koordinater . I dette tilfælde er funktionen strengt monotont aftagende i intervallet og strengt monotont stigende i intervallet $(-2;-3)$ $(-\infty ;-2)$ $(-2;+\infty )$

Konveksitet og bøjningspunkter

Da den anden afledede af en kvadratisk funktion er en konstant lineær funktion , har den ikke bøjningspunkter , da dens værdi er konstant, og derfor vil et tilstrækkeligt kriterium ikke være opfyldt for nogen af dens punkter. Desuden er det indlysende, at for , vil den oprindelige kvadratiske funktion være overalt konveks nedad (på grund af det faktum, at dens anden afledede er overalt positiv), og for , vil den være overalt konveks opad (dens anden afledede vil være negativ overalt). $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $f''(x)=2a$ $a>0$ $a<0$

Inverterbarhed af en kvadratisk funktion

Da den kvadratiske funktion ikke er strengt monoton, er den irreversibel . Da enhver kontinuert funktion imidlertid kan inverteres på dens intervaller af streng monotoni, så er der for enhver kvadratisk funktion to inverse funktioner svarende til dens to intervaller af monotoni. Det inverse for en kvadratisk funktion på hver af dens monotoniske intervaller er funktionerne af den aritmetiske kvadratrod [2] .

Så den aritmetiske kvadratrodsfunktion er det omvendte af kvadratfunktionen på intervallet . Følgelig er funktionen omvendt til funktionen på intervallet . Grafer over funktioner og vil være symmetriske med hinanden i forhold til en ret linje . $f^{-1}(x)={\sqrt {x}}$ $f(x)=x^{2}$ $[0, +\infty)$ $f^{-1}(x)=-{\sqrt {x))$ $f(x)=x^{2}$ $(-\infty ;0]$ $f(x)$ $f^{-1}(x)$ $y=x$

For at finde inverse funktioner for en vilkårlig kvadratisk funktion er det mere bekvemt at repræsentere den på formen , hvor er toppunktet på dens parabel. Dernæst bruger vi den velkendte metode til at finde inverse funktioner - vi bytter variablerne og udtrykker igen gennem : $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ${\displaystyle f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0))$ $(x_{0};y_{0})$ $x$ $y$ $y$ $x$

{\displaystyle y=a(x-x_{0})^{2}+y_{0))

x=a(y-x_{0})^{2}+y_{0}

{\displaystyle x-y_{0}=a(y-x_{0})^{2))

{\frac {x-y_{0}}{a}}=(y-x_{0})^{2}

\pm {\sqrt {\frac {x-y_{0}}{a}}}=y-x_{0}

\pm {\sqrt {\frac {x-y_{0}}{a}}}+x_{0}=y

Således er det omvendte til på intervallet funktionen . $f(x)$ $[x_{0};+\infty )$ $f^{-1}(x)={\sqrt {\frac {x-y_{0}}{a}}}+x_{0}$

På intervallet invers til er funktionen . $(-\infty ;x_{0}]$ $f(x)$ $f^{-1}(x)=-{\sqrt {\frac {x-y_{0}}{a}}}+x_{0}$

For eksempel, for en funktion med et toppunkt , får vi: $f(x)=2x^{2}+8x+5=2\cdot \left(x+2\right)^{2}-3$ $(-2;-3)$

f^{-1}(x)={\sqrt {\frac {x+3}{2))}-2

på intervallet .

[-2;+\infty )

f^{-1}(x)=-{\sqrt {\frac {x+3}{2))}-2

på intervallet .

(-\infty ;-2]

Eksempler på udseende i praksis

Afhængigheden af højden af en frit faldende krop til tiden.
Afhængigheden af området af en cirkel af dens lineære dimensioner (for eksempel radius ).
Afhængighed af afstand til tid for ensartet accelereret bevægelse.
Trykkets afhængighed af flowet (trykkarakteristisk for en centrifugalpumpe).

Generalisering

Generalisering til tilfældet med mange variable tjener som andenordens overflader , generelt kan en sådan ligning skrives som:

f({\vec {x)))={\vec {x}}^{T}A{\vec {x}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {x}}+c

Her: er en matrix af en kvadratisk form , er en konstant vektor , er en konstant. Funktionens egenskaber, som i det endimensionelle tilfælde, bestemmes af hovedkoefficienten - matrixen . $EN$ ${\vec {b}}$ $c$ $EN$

Se også

Affin kvadratisk funktion

Noter

↑ Kvadratisk funktion // Stor skoleleksikon. - M . : "Russisk encyklopædisk partnerskab", 2004. - S. 118-119.
↑ Rolf Baumann. Quadratwutzelfunktion // Algebra: Potenzfunktionen, Exponential- und Logarithmusgleichungen, Stochastik: [ German. ] . - München: Mentor, 1999. - T. 9. - S. 17-19. — 167 s. — ISBN 3-580-63631-6 .

Litteratur

Scanavi M.I. Graf over et kvadratisk trinomium // Elementær matematik. - 2. udg., revideret. og yderligere - M. , 1974. - S. 130-133. — 592 s.
Kaplan I.A. Treogtredive praktisk lektion (ekstremt af en andengradsfunktion) // Praktiske lektioner i højere matematik. - 3. udg. - Kharkov, 1974. - S. 449-451.

Kvadratisk funktion af en variabel

En oversigt over hovedfunktionerne

Indflydelse af koefficienter på diagramtransformation

Standardnotation for ligningen af ​​en andengradsfunktion

At skrive en kvadratisk funktion i form af koordinaterne for parablens toppunkt

Nuller for funktionen

Antal nuller i en kvadratisk funktion

Metoder til beregning af nuller for en kvadratisk funktion

Paritet og symmetri af en kvadratisk funktion

Symmetri omkring y-aksen

Aksial symmetri generelt

Beregning af toppunktet for en parabel ved hjælp af nulpunkterne i en funktion

Forskning ved hjælp af metoder til differentiel og integral analyse

Afledt og antiderivat

Monotonicitet og ekstremumpunkter

Konveksitet og bøjningspunkter

Inverterbarhed af en kvadratisk funktion

Eksempler på udseende i praksis

Generalisering

Se også

Noter

Litteratur

Standardnotation for ligningen af en andengradsfunktion