Differentialform

Differentialformen af ordenen eller -formen er et skævsymmetrisk tensorfelt af typen på manifolden . $k$ $k$ $(0,k)$

Differentielle former blev introduceret af Eli Cartan i begyndelsen af det 20. århundrede.

Formalismen af differentielle former viser sig at være praktisk i mange grene af teoretisk fysik og matematik, især i teoretisk mekanik, symplektisk geometri , kvantefeltteori .

Rummet af -former på en manifold er normalt betegnet med . $k$ $M$ $\Omega ^{k}(M)$

Definitioner

Invariant

I differentialgeometri er en differentiel form for grad , eller simpelthen -form , en glat sektion af , det vil sige den ydre grad af cotangensbundtet af manifolden. I særdeleshed, $k$ $k$ $\wedge ^{k}T^{*}M$ $k$

værdien af -formen på et sæt stykker af tangentvektorfelter er en funktion på manifolden. $k$ $k$
værdien af -formen ved et punkt i manifolden er en skæv-symmetrisk -lineær funktion på . $k$ $x$ $k$ $T_{x}M$

Via lokale kort

$k$ -form on vil være et udtryk for følgende form $\mathbb {R} ^{n}$

\omega =\sum _{{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}}f_{{i_{1}i_{2}\ldots i_{k} }}(x^{1},\ldots ,x^{n})\,dx^{{i_{1}}}\wedge dx^{{i_{2}}}\wedge \ldots \wedge dx^ {{i_{k}}}

hvor er glatte funktioner, er differentialet af th-koordinaten (en funktion af en vektor, der returnerer sin koordinat med tal ), og er det ydre produkt . Når du ændrer koordinater, ændrer denne visning form. $f_{{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}}$ $dx^{i}$ $jeg$ $x^i$ $jeg$ $\kile$

På en glat manifold kan k-former defineres som former på kort, der er konsistente på tværs af limninger (for en præcis definition af konsistens, se manifold ).

Relaterede definitioner

For en -form er dens ydre differential (også bare differential ) en -form, i koordinater med formen $k$ $\omega$ $(k+1)$ $d\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}{\frac {\partial f_{i_{1}i_{2 }\ldots i_{k))}{\partial x^{j}}}(x^{1},\dots,x^{n})\,dx^{j}\wedge dx^{i_{1 }}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}$

for en invariant definition af differentialet , er det nødvendigt at definere differentialet af funktioner, det vil sige -former, derefter differentialet af -former, hvorefter differentialet fortsætter til vilkårlige former i henhold til -linearitet og den graderede Leibniz-regel : $0$ $en$ $R$
- $dF(v)=v(F)$ — værdien af differentialet af funktionen på tangentvektorfeltet er den afledede af funktionen langs feltet .
- $d\omega (u,v)=u(\omega (v))-v(\omega (u))-\omega ([u,v])$ - værdien af differentialet af -formen på et par vektorfelter er forskellen mellem de afledte værdier af formen på det ene felt langs det andet, korrigeret med værdien af formen på
kommutatoren . $en$
$\ d(\omega ^{k}\wedge \vartheta ^{p})=(d\omega ^{k})\wedge \vartheta ^{p}+(-1)^{{k}}\omega ^ {k}\wedge (d\vartheta ^{p})$ hvor overskriften og betegner rækkefølgen af de tilsvarende formularer. $k$ $s$

En differentialform kaldes lukket , hvis dens ydre differential er 0.

k - form kaldes eksakt , hvis den kan repræsenteres som en differential af en eller anden -form.

(k-1)

Kvotientgruppen af lukkede k - former ved nøjagtige k -former kaldes den -dimensionelle de Rham kohomologigruppe . De Rhams sætning siger, at den er isomorf i forhold til den k - dimensionelle singular kohomologigruppe .

H_{{dR}}^{k}={\bar \Omega }_{{k}}/d\Omega _{{k-1}}

k

Den indre afledte af en potensform i forhold til et vektorfelt (også en substitution af et vektorfelt til en form) kaldes formen

\omega

n

\mathbf{v}

i_{{\mathbf {v}}}\omega (u_{1},\dots ,u_{{n-1}})=\omega ({\mathbf {v}}),u_{1},\dots , u_{{n-1}})

Egenskaber

Det gælder for enhver form . $d(d\omega )=0$

Den ydre differentiering er lineær og opfylder den graderede Leibniz-regel : $d(\omega ^{k}\wedge \omega ^{p})=(d\omega ^{k})\wedge \omega ^{p}+(-1)^{k}\omega ^ {k}\wedge (d\omega ^{p})$

Den interne afledte er lineær og opfylder den graderede Leibniz-regel : $i_{X}(\omega ^{k}\wedge \omega ^{p})=(i_{X}\omega ^{k})\wedge \omega ^{p}+(-1)^ {k}\omega ^{k}\wedge (i_{X}\omega ^{p})$

Cartan formler. For en vilkårlig form og vektorfelter gælder følgende relationer $\omega$ $X,Y,Z$ ${\mathcal {L}}_{X}d\omega =d{\mathcal {L}}_{X}\omega ,$ ${\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{X}d\omega +di_{X}\omega ,$ ( Cartans magiske formel ) ${\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}\omega -{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X} \omega ={\mathcal {L}}_{[X,Y]}\omega ,$ ${\mathcal {L}}_{X}i_{Y}\omega -i_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{[X,Y]}\omega ,$ $i_{X}i_{Y}\omega +i_{Y}i_{X}\omega =0,$

hvor angiver Lie afledt .

\mathcal{L}

Eksempler

Fra et tensoranalysesynspunkt er 1-formen intet andet end et covektorfelt , det vil sige en 1 gange kovariant tensor , givet ved hvert punkt i manifolden og kortlægning af elementerne i tangentrummet til sættet af reelle tal : $s$ $M$ $T_{p}(M)$ $\mathbb {R}$ $\omega (p)\colon T_{p}(M)\rightarrow \mathbb{R}$
Volumenformen er et eksempel på en -form på en -dimensionel manifold. $n$ $n$
En symplektisk form er en lukket 2-form på en -manifold sådan, at . $\omega$ $2n$ $\omega ^{n}\ikke =0$

Ansøgninger

Vektoranalyse

Differentielle former gør det muligt at skrive de grundlæggende operationer af vektoranalyse i en koordinat-invariant form og generalisere dem til rum af enhver dimension. Lad være en kanonisk isomorfi mellem tangent- og cotangente rum, og vær Hodge-dualitetsoperatoren (som især i tredimensionelt rum realiserer en isomorfi mellem 2-former og vektorfelter, såvel som mellem skalarer og pseudoskalarer). Så kan rotoren og divergensen defineres på følgende måde: $jeg$ $*$

\operatørnavn {rot}\,v=*\,d\,I(v)

\operatørnavn {div}\,v=*^{{-1}}d\,*(v)

Differentialformer i elektrodynamik

Maxwellsk elektrodynamik er meget elegant formuleret i form af differentialformer i 4-dimensionel rum-tid. Overvej Faraday 2-formen svarende til den elektromagnetiske felttensor :

{\textbf {F}}={\frac {1}{2}}F_{{ab}}\,({\mathrm d}}x^{a}\wedge {{\mathrm d}}x^{ b}.

Denne form er krumningsformen for det trivielle hovedbundt med strukturgruppe U(1) , hvorved klassisk elektrodynamik og gauge-teori kan beskrives . 3-formen af strømmen , dobbelt til den sædvanlige 4-vektor af strømmen, har formen

{\textbf {J}}=J^{a}\varepsilon _{{abcd}}\,({\mathrm d}}x^{b}\wedge {{\mathrm d}}x^{c}\ kile {{\mathrm d}}x^{d}.

I denne notation kan Maxwells ligninger skrives meget kompakt som

{\mathrm {d}}\,{{\textbf {F}}}={\textbf {0}}

{\mathrm {d}}\,{*{\textbf {F}}}={\textbf {J}}

hvor er Hodge-stjerneoperatøren . Geometrien af den generelle gauge-teori kan beskrives på lignende måde. $*$

2-formen kaldes også Maxwell 2-formen . $*{\mathbf {F}}$

Hamiltonsk mekanik

Ved hjælp af differentialformer kan man formulere Hamiltonsk mekanik rent geometrisk. Overvej en symplektisk manifold med en symbolsk form og en funktion givet på den , kaldet Hamilton-funktionen . definerer i hvert punkt en isomorfi af cotangens- og tangentrummene ifølge reglen $M$ $\omega$ $H$ $\omega$ $X\i M$ $jeg$ $T_{{X}}^{{*}}M$ $T_{{X}}M$

dH({\mathbf {u}})=\omega (IdH,{\mathbf {u}}),~~\forall {\mathbf {u}}\i T_{{X}}M

hvor er differentialet for funktionen . Et vektorfelt på en manifold kaldes et Hamiltonsk felt , og det tilsvarende faseflow kaldes et Hamiltonsk flow . Den Hamiltonske fasestrøm bevarer den symplektiske form og bevarer derfor enhver af dens ydre kræfter . Dette indebærer Liouvilles sætning . Poisson-beslaget for funktionerne og tændt bestemmes af reglen $dH$ $H$ $IdH$ $F$ $G$ $M$

[F,G]=\omega (IdF,IdG)

Variationer og generaliseringer

Ud over former med reelt værdi og komplekst værdi, overvejes ofte også differentialformer med værdier i vektorbundter . I dette tilfælde er der i hvert punkt givet en multilineær antisymmetrisk funktion af vektorer fra tangentbundtet, som returnerer en vektor fra laget over dette punkt. Formelt er ydre k -former på med værdier i et vektorbundt defineret som sektioner af tensorproduktet af bundter $k$ $M$ $\pi \colon E\til M$

\left(\bigwedge ^{k}T^{*}M\right)\nogle gange _{{M}}E

Et særligt tilfælde af vektor-værdidifferentialformer er tangentialværdi-former , i hvis definition tangentbundtet tages som et vektorbundt . $TM$

Litteratur

Arnold VI Klassisk mekaniks matematiske metoder. - 5. udg., stereotypisk. - M. : Redaktionel URSS, 2003. - 416 s. - 1500 eksemplarer. — ISBN 5-354-00341-5 .
Godbillon K. Differentialgeometri og analytisk mekanik. — M .: Mir, 1973.
Dubrovin B. A., Novikov S. P. , Fomenko A. T. Moderne geometri. Metoder og anvendelser. — M .: Nauka, 1971.
Cartan A. Differentialregning. differentielle former. — M .: Mir, 1971.
Postnikov M. M. Forelæsninger om geometri. Semester III. Glatte manifolder. — M .: Nauka, 1987.
Buldyrev VS, Pavlov BS Lineær algebra og funktioner af mange variable. - L . : Forlag ved Leningrad Universitet, 1985.

Se også

Differentialregning

Hoved

private udsigter

Differentialoperatorer
( i forskellige koordinater )

Første ordre	Nabla operatør Gradient Divergens Rotor Helmholtzian
anden orden	Elliptisk operatør Laplace operatør Laplace vektor operatør D'Alembert operatør Laplace-Beltrami operatør
højere ordrer	Hypoelliptisk operatør

relaterede emner