Divergens

Divergens (fra latin divergere - detekter uoverensstemmelse) - differentialoperator , kortlægning af et vektorfelt til et skalært (det vil sige, som et resultat af at anvende en differentieringsoperation på et vektorfelt, opnås et skalarfelt), som bestemmer (for hver punkt) "hvor meget de indgående og udgående afviger fra et lille kvarter i et givet punktfelt", mere præcist, hvor langt de indgående og udgående strømme divergerer .

Hvis vi tager højde for, at flowet kan tildeles et algebraisk tegn, så er der ingen grund til at tage hensyn til de indgående og udgående flows separat, alt vil automatisk blive taget i betragtning ved summering med tegnet. Derfor kan vi give en kortere definition af divergens:

divergens er en lineær differentialoperator på et vektorfelt, der karakteriserer strømmen af et givet felt gennem overfladen af et tilstrækkeligt lille (under betingelserne for et specifikt problem) kvarter af hvert indre punkt i feltdefinitionsdomænet.

Den divergensoperator, der anvendes på feltet, er angivet som $\ {\mathbf F}$

\ \operatørnavn {div}{\mathbf F}

eller

\ \nabla \cdot {\mathbf F}

Definition

Definitionen af divergens ser således ud:

\operatorname {div} \,\mathbf {F} =\lim _{V\rightarrow 0}({\mathit {\Phi }}_{\ \mathbf {F} } \over V},

hvor er strømmen af vektorfeltet gennem en sfærisk overflade med areal, der afgrænser volumenet . Endnu mere generel, og derfor praktisk at bruge, er definitionen af, hvornår formen på et område med en overflade og volumen må være nogen. Det eneste krav er, at det er inde i en kugle med en radius, der tenderer mod nul (det vil sige, at hele overfladen er i et uendeligt lille kvarter af et givet punkt, hvilket er nødvendigt for at divergensen kan være en lokal operation, og for hvilken det er åbenbart ikke nok til, at overfladearealet og rumfanget af dets indre har en tendens til nul). I begge tilfælde antages det $\Phi _{\mathbf {F} }$ $F$ $S$ $V$ $S$ $V$

{\mathit {\Phi }}_{\ \mathbf {F} }=\iint \limits _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\ delmængde \!\supset \;({\vec {F}},d{\vec {S}}).

Denne definition, i modsætning til den nedenfor, er ikke bundet til visse koordinater , for eksempel til Cartesian , hvilket kan være en ekstra bekvemmelighed i visse tilfælde. (Hvis du f.eks. vælger et kvarter i form af en terning eller et parallelepipedum , kan formler for kartesiske koordinater let opnås).

Definitionen kan let og direkte generaliseres til enhver dimension af rummet: i dette tilfælde forstås volumen som det -dimensionelle volumen, og overfladearealet ( ) er dimensionsarealet af (hyper)overfladen af den tilsvarende dimension. $n$ $n$ $n-1$

Definition i kartesiske koordinater

Lad os antage, at vektorfeltet er differentierbart i et eller andet domæne. Derefter vil divergensen i et tredimensionelt kartesisk rum blive bestemt af udtrykket

\operatornavn {div}\,{\mathbf {F}}={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}} +{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}\ \ \

(her er F et bestemt vektorfelt med kartesiske komponenter ): $F_x, F_y, F_z$

Det samme udtryk kan skrives ved hjælp af nabla-operatoren

\operatørnavn {div}\,{\mathbf {F}}=\nabla \cdot {\mathbf {F}}\ \ \

Multidimensionel såvel som todimensionel og endimensionel divergens er defineret i kartesiske koordinater i rum med den tilsvarende dimension på en fuldstændig lignende måde (kun antallet af led ændres i den øverste formel, mens den nederste forbliver den samme, indebærer nabla-operatøren af den passende dimension).

Fysisk fortolkning

Fra et fysiks synspunkt (både i snæver forstand og i betydningen af det intuitive fysiske billede af en matematisk operation) er divergensen af et vektorfelt en indikator for, i hvilket omfang et givet punkt i rummet (mere præcist , et tilstrækkeligt lille kvarter til et punkt) er en kilde eller sænkning af dette felt:

\operatørnavn {div}\,{\mathbf {F}}>0

— punktet i feltet er kilden;

\operatørnavn {div}\,{\mathbf {F}}<0

— markpunktet er et dræn;

\operatørnavn {div}\,{\mathbf {F}}=0

- der er ingen dræn og kilder, eller de kompenserer hinanden.

Et simpelt, omend måske noget skematisk eksempel er en sø (for nemheds skyld en konstant enhedsdybde med en overalt vandret vandstrømshastighed, der ikke afhænger af dybden, hvilket giver et todimensionelt vektorfelt på et todimensionalt rum) . Hvis du vil have et mere realistisk billede, så kan du overveje den horisontale hastighedsprojektion integreret over den vertikale rumlige koordinat, hvilket vil give det samme billede af et todimensionelt vektorfelt på et todimensionalt rum, og billedet vil kvalitativt til vores formål adskiller det sig ikke meget fra den forenklede første, men kvantitativt vil det være generalisering (meget realistisk). I en sådan model (både i den første og i den anden version) vil kilder, der fosser fra bunden af søen, give en positiv divergens af det aktuelle hastighedsfelt, og undervandsdræn (huler, hvor vandet løber ud) vil give en negativ divergens .

Divergensen af strømtæthedsvektoren giver minus ladningsakkumuleringshastigheden i elektrodynamik (da ladningen er bevaret, det vil sige, den forsvinder ikke og vises ikke, men kan kun bevæge sig gennem grænserne for et eller andet volumen for at akkumulere i det eller lad det lade være, og hvis der er eller positive og negative ladninger forsvinder et sted - så kun i lige store mængder). (Se kontinuitetsligning ).

Divergensen af et felt, der har en kraftkarakter, ligesom feltstyrken i elektrostatik, elektrodynamik eller den newtonske teori om tyngdekraft, divergens bestemmer også placeringen af feltkilderne, som i dette tilfælde kaldes ladninger (elektrisk ladning i tilfælde af elektrostatik og elektrodynamik , masse i tilfælde af newtonsk tyngdekraft ). I disse teorier er divergensen af feltstyrken, op til en konstant faktor [1] , lig med ladningstætheden (i elektrostatik og elektrodynamik, den elektriske ladningstæthed; i tilfælde af tyngdekraft, massetætheden; desuden, tilfældet med tyngdekraften adskiller sig i denne konstants fortegn).

\operatørnavn {div} \,\mathbf {E} ={\frac {1}{\varepsilon _{0))}\rho

- for det elektriske felt og den elektriske ladningstæthed, i SI ,

\operatørnavn {div} \,\mathbf {g} =-4\pi G\rho

— for det Newtonske gravitationsfelt.

Geometrisk fortolkning

Sandsynligvis den mest åbenlyse og enkleste generelle geometriske fortolkning af divergens (udover selve definitionen, som også er ret geometrisk) er fortolkningen, der bruger dets integrallinjer til at repræsentere vektorfeltet (også kaldet kraftlinjer i tilfælde af felter af kraftkarakter) eller strømliner i tilfælde af et felt med fluidstrømningshastighed) eller gas). De punkter, hvor nye linjer vises (med retning væk fra det punkt), er de punkter, hvor feltdivergensen er positiv; hvor linjerne slutter (med linjens retning mod punktet), der er divergensen negativ. Hvor antallet af linjer er konstant langs deres forløb, det vil sige hvor så mange linjer begynder, som de slutter, er der ingen divergens i feltet.

Denne fortolkning er baseret på en aftale, ifølge hvilken de linjer, der overvejes, er underlagt den betingelse, at tætheden af linjer nær et givet punkt er proportional med størrelsen af vektorfeltet i dette område, linjer vilkårligt store, og endda uendelige, kun proportionalitet af tætheden et sted til størrelsen af feltvektoren er vigtig). Ellers kunne selvfølgelig, i det mindste i tilfælde af en kontinuerlig fordeling af kilder (afgifter), en hvilken som helst integreret linje i feltet fortsættes, og ideen om deres begyndelse eller slutning et sted ville have ringe betydning, undtagen måske for diskret steder, og ikke løbende distribuerede, kilder.

Hvis vi tager retningssættet for den stejleste nedstigning på jordens overflade som et vektorfelt (på et todimensionalt rum), så vil divergensen vise placeringen af toppene og dalene, og ved toppunkterne vil divergensen være positiv (nedstigningsretningerne afviger fra toppunkterne), og negativ ved dalene (mod dalene i nedstigningsretningen konvergerer). Dette bestemmer dog ikke på nogen måde fortegnet eller lighed til nul for divergensen af et sådant felt på skråningerne. [2]

Divergens i fysik

Divergens er en af de mest udbredte operationer i fysik. Det er et af de få grundlæggende begreber i teoretisk fysik og er et af grundelementerne i det fysiske sprog.

I den klassiske feltteoris standardformulering indtager divergens en central plads (i alternative formuleringer er den måske ikke selve midten af præsentationen, men forbliver stadig et vigtigt teknisk værktøj og en vigtig idé).

I elektrodynamik indgår divergens som hovedkonstruktionen i to af de fire Maxwell-ligninger . Grundligningen for teorien om Newtons tyngdekraft i feltformen indeholder også divergens (tyngdefeltets styrker) som hovedkonstruktion. I tensorteorier om tyngdekraft (herunder generel relativitetsteori , og med det i tankerne først og fremmest) inkluderer den grundlæggende feltligning (i generel relativitet, men som regel - på den ene eller anden måde - også i alternative moderne teorier) også divergens i nogle generalisering. Det samme kan siges om den klassiske (det vil sige ikke kvante) teori for næsten alle de grundlæggende felter, både eksperimentelt kendte og hypotetiske.

Som det fremgår af ovenstående eksempler, er divergens også anvendelig i rent geometriske termer, og også - især ofte - til forskellige materialestrømme (divergens i hastigheden af en væske- eller gasstrøm, divergens i densiteten af en elektrisk strøm). strøm osv.).

Egenskaber

Følgende egenskaber kan udledes af de sædvanlige differentieringsregler.

Linearitet : for alle vektorfelter F og G og for alle reelle tal a og b

\operatørnavn {div} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\;\operatørnavn {div} \mathbf {F} +b\;\operatørnavn {div} \mathbf {G }

Hvis φ er et skalarfelt, og F er et vektorfelt, så:

\operatørnavn {div} \varphi \mathbf {F} =\operatørnavn {grad} \varphi \cdot \mathbf {F} +\varphi \;\operatørnavn {div} \mathbf {F} ,

eller

\nabla \cdot (\varphi {\mathbf {F}})=(\nabla \varphi )\cdot {\mathbf {F}}+\varphi \;(\nabla \cdot {\mathbf {F}}).

En egenskab, der relaterer vektorfelterne F og G , givet i tredimensionelt rum, med en rotor :

\operatørnavn {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=\operatørnavn {rot} \mathbf {F} \cdot \mathbf {G} \;-\;\mathbf {F} \cdot \operatørnavn {rot} \mathbf {G} ,

eller

\nabla \cdot ({\mathbf {F}}\times {\mathbf {G}})=(\nabla \times {\mathbf {F}})\cdot {\mathbf {G}}-{\mathbf { F}}\cdot (\nabla \times {\mathbf {G}}).

Afvigelsen fra gradienten er Laplacian :

\operatørnavn {div} \operatørnavn {grad} \varphi =\Delta \varphi

Afvigelse fra rotoren :

\operatørnavn {div} \operatørnavn {rot} \mathbf {F} =0

Divergens i ortogonale krumlinjede koordinater

\operatørnavn {div}({\mathbf {A}})=\operatørnavn {div}({\mathbf {q_{1}}}A_{1}+{\mathbf {q_{2}}}A_{2} +{\mathbf {q_{3}}}A_{3})=

$={\frac {1}{H_{1}H_{2}H_{3))}\venstre[{\frac {\partial }{\partial q_{1))}(A_{1}H_{2} H_{3})+{\frac {\partial }{\partial q_{2))}(A_{2}H_{3}H_{1})+{\frac {\partial }{\partial q_{3 }}}(A_{3}H_{1}H_{2})\højre]$ , hvor er Lame-koefficienterne . $Hej$

Cylindriske koordinater

Lame koefficienter:

{\begin{matrix}H_{r}=1;\\H_{\theta }=r;\\H_{z}=1.\end{matrix))

Herfra:

\operatørnavn {div}{\mathbf {A}}(r,\theta ,z)={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(A_{r}r )+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(A_{\theta })+{\frac {\partial }{\partial z}}(A_{ z})

Sfæriske koordinater

Lame koefficienter:

{\begin{matrix}H_{r}=1;\\H_{\theta }=r;\\H_{\phi }=r\sin {\theta }.\end{matrix))

Herfra:

\operatørnavn {div}{\mathbf {A}}(r,\theta ,\phi )={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\ venstre[A_{r}r^{2}\right]+{\frac {1}{r\sin {\theta }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left[A_{ \theta }\sin {\theta }\right]+{\frac {1}{r\sin {\theta }}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}{\big [}A_{ \phi }{\big ]}

Parabolske koordinater

Lame koefficienter:

{\begin{matrix}H_{\xi }={\frac {\sqrt {\xi +\eta }}{2{\sqrt {\xi }}}};\\H_{\eta }= {\frac {\sqrt {\xi +\eta}}{2{\sqrt {\eta }}}};\\H_{\phi }={\sqrt {\eta \xi }}\end{matrix} }

Herfra:

\operatørnavn {div}{\mathbf {A}}(\xi ,\eta ,\phi )={\frac {4}{\xi +\eta }}{\frac {\partial }{\partial \xi } }\venstre[A_{\xi }{\frac {{\sqrt {\xi ^{2}+\xi \eta }}}{2}}\right]+{\frac {4}{\xi +\ eta )){\frac {\partial }{\partial \eta ))\venstre[A_{\eta }{\frac ({\sqrt {\eta ^{2}+\xi \eta ))}{2} }\right]+{\frac {1}({\sqrt {\xi \eta }}}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}{\Big [}A_{\phi }{\ Stor ]}

Elliptiske koordinater

Lame koefficienter:

{\begin{matrix}H_{\xi }=\sigma {\sqrt {\frac {\xi ^{2}-\eta ^{2)){\xi ^{2}-1))} ,\\H_{\eta }=\sigma {\sqrt {\frac {\xi ^{2}-\eta ^{2}}{1-\eta ^{2}}}},\\H_{\ phi }=\sigma {\sqrt {(\xi ^{2}-1)(1-\eta ^{2})}}.\end{matrix}}

Herfra

\operatørnavn {div}{\mathbf {A}}(\xi ,\eta ,\phi )={\frac {1}{\sigma (\xi ^{2}-\eta ^{2}))){ \frac {\partial }{\partial \xi }}\venstre[A_{\xi }{\sqrt {(\xi ^{2}-\eta ^{2})(\xi ^{2}-1) }}\right]+

+{\frac {1}{\sigma (\xi ^{2}-\eta ^{2))))){\frac {\partial }{\partial \eta ))\venstre[A_{ \ eta }{\sqrt {(\xi ^{2}-\eta ^{2})(1-\eta ^{2})))\right]+{\frac {1}{\sigma {\sqrt { (\xi ^{2}-1)(1-\eta ^{2}))))}{\frac {\partial }{\partial \phi }}{\Big [}A_{\phi }{ \ Stor ]}.

Divergens i vilkårlige krumlinjede koordinater og generalisering heraf

Formlen for divergensen af et vektorfelt i vilkårlige koordinater (i enhver endelig dimension) kan let opnås fra den generelle definition i form af flow-til-volumen-forholdsgrænsen ved at bruge den blandede produkttensor -notation og volumentensorformlen.

Der er en generalisering af divergensoperationen til handlingen ikke kun på vektorer, men også på tensorer af højere rang.

Generelt er divergens defineret af den kovariante afledte :

\operatørnavn {div}=(\nabla \cdot )={\vec {R}}^{\alpha }\nabla _{\alpha }\cdot

, hvor er koordinatvektorerne .

{\vec {R}}^{\alpha }

Dette giver dig mulighed for at finde udtryk for divergens i vilkårlige koordinater for en vektor:

\nabla \cdot {\vec {v}}={\vec {R}}^{\alpha }\nabla _{\alpha }\cdot v^{i}{\vec {R}}_{i}= \nabla _{i}v^{i}

eller tensorfelt :

\nabla \cdot T={\vec {R}}^{\alpha }\nabla _{\alpha }\cdot T^{{ij}}{\vec {R}}_{i}{\vec {R }}_{j}={\vec {R}}_{j}\nabla _{i}T^{{ij}}

Generelt sænker divergens rangen af tensoren med 1.

Tensorens divergensegenskaber

\nabla \cdot {\vec {v}}{\vec {v}}={\vec {v}}\nabla \cdot {\vec {v}}+\left({\vec {v}}\cdot \nabla \right){\vec {v}}

Se også

Noter

↑ For en teori i et vakuum, som er fundamental, er denne konstant en fundamental konstant, kun afhængig af enhedssystemet; for en fænomenologisk teori i et polariseringsdygtigt medium bliver sagen noget mere kompliceret, da proportionalitetskoefficienten er påvirket af mediets egenskaber (polariserbarhed) - for et homogent medie viser denne koefficient sig dog også at være en konstant , selvom det ikke er fundamentalt, men afhængigt af mediets substans.
↑ Hvis vi definerer et vektorfelt af denne art, således at modulet af vektoren for dette felt altid er enhed (kun angiver retningen), så er det i simple eksempler (f.eks. for et fuldstændig symmetrisk bjerg) let at se, at divergensen vil være positiv, indtil hældningen slutter (men for at pålægge enhedsbetingelsen for retningsvektoren for den hurtigste nedstigning ved spidserne og hullerne, vil den være udefineret, og divergensen i dem vil være uendelig i størrelsesorden); hvis vi ikke pålægger enhedsvektorbetingelser, men tager (som det enkleste) minus højdegradienten , så vil divergensen afhænge af hældningens konveksitet eller konkavitet (på dens forskellige punkter), som generelt set kan være forskellig overalt på skråningen, både i fortegn og og i størrelse (i modsætning til toppene, som altid er konvekse, og gruberne, som altid er konkave - hvis vi mener selve højdepunkterne).

Differentialregning

Hoved

private udsigter

Differentialoperatorer
( i forskellige koordinater )

Første ordre	Nabla operatør Gradient Divergens Rotor Helmholtzian
anden orden	Elliptisk operatør Laplace operatør Laplace vektor operatør D'Alembert operatør Laplace-Beltrami operatør
højere ordrer	Hypoelliptisk operatør

relaterede emner