Projektivt modul

Et projektivt modul er et af de grundlæggende begreber i homologisk algebra . Fra et kategoriteoretisk synspunkt er projektive moduler et særligt tilfælde af projektive objekter .

Definition

Et modul over en ring (normalt anset for at være associativt med et identitetselement) kaldes projektivt, hvis der for hver homomorfi og epimorfi eksisterer en homomorfi sådan , at det givne diagram er kommutativt: $P$ $EN$ $g\colon P\to M$ $f\kolon N\til M$ $h\colon P\to N$ $g=fh$

Det enkleste eksempel på et projektivt modul er et gratis modul . Faktisk, lad være elementer af grundlaget for modulet og . Da er en epimorfi, kan man finde sådan , at . Derefter kan det bestemmes ved at sætte dets værdier på basisvektorerne som . $F$ $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i},\ldots$ $F$ $g(x_{i})=y_{i}$ $f$ $z_{i}$ $f(z_{i})=y_{i}$ $h$ ${\displaystyle h(x_{i})=z_{i))$

For polynomialringe i flere variable over et felt er ethvert projektivt modul gratis.

Generelt er dette ikke tilfældet, selvom det er let at bevise sætningen om, at et modul er projektivt, hvis og kun hvis der findes et modul, således at den direkte sum er fri. Faktisk, hvis der er en komponent af den direkte sum , som er et frit modul, og er en homomorfi, så er det også en homomorfi ( er projektionen af den direkte sum på den første summand ), og da vi ved, at frie moduler er projektive, eksisterer der en homomorfi sådan , at derfor , hvor er inklusionshomomorfien , derfor $P$ $K$ $F=P\oplus K$ $P$ $F$ $g\colon P\to M$ $gp_{1}\colon F\to M$ $p_{1}$ $F$ $P$ $h_{1}\colon F\to N$ ${\displaystyle gp_{1}=fh_{1))$ $gp_{1}i_{1}=fh_{1}i_{1}$ $i_1$ $P\to F$

g=fh_{1}i_{1}\colon P\to M

Omvendt, lad være et projektivt modul. Hvert modul er et homomorfisk billede af et gratis modul. Lad være den tilsvarende epimorfi. Så vil den identiske isomorfi være ens for nogle , da den er projektiv. Ethvert element kan derefter repræsenteres som $P$ $g\colon F\to P$ $id\colon P\to P$ $id=gh$ $h\colon P\to F$ $P$ $F$

x=hg(x)+(x-hg(x))\in \mathrm {Im} \,h\oplus \mathrm {Ker} \,g

hvor er isomorf . $\mathrm {Im} \,h$ $P$

Egenskaber

$P$ er projektiv, hvis og kun hvis den inducerede homomorfi for enhver epimorfi er en epimorfi. $f\kolon N\til M$ $f_{*}\colon {\text{Hom}}(P,N)\to {\text{Hom}}(P,M)$
$P$ er projektiv, hvis og kun hvis den kortlægger en kort nøjagtig sekvens til den nøjagtige sekvens . $0\to A\to B\to C\to 0$ $0\to {\text{Hom}}(P,A)\to {\text{Hom}}(P,B)\to {\text{Hom}}(P,C)\to 0$
En direkte sum af moduler er projektiv, hvis og kun hvis hvert led er projektivt.

Se også

Litteratur

Kartan A., Eilenberg S. Homologisk algebra. — M .: IL, 1960
McLane S. Homology. - M . : Mir, 1966 ..