Morse genopbygning

Kirurgi eller Morse-omlejring er transformationen af glatte manifolds , som en manifold på niveauet af en glat funktion gennemgår, når den passerer gennem et ikke-degenereret kritisk punkt ; den vigtigste konstruktion i differentialtopologi .

Kirurgiens vigtige rolle i manifoldernes topologi forklares af det faktum, at de tillader en "skønt" (uden at krænke en eller anden egenskab ved en manifold) ødelægge "ekstra" homotopigrupper (operationen "limning af en celle", normalt brugt til dette formål i homotopi-teori, fører øjeblikkeligt ud af klassen af manifolds). Næsten alle klassifikationssætninger for strukturer på manifolder er baseret på undersøgelsen af spørgsmålet, når der for en kortlægning af en lukket manifold i et cellulært rum er en sådan bordisme og sådan en kortlægning , og er en homotopi-ækvivalens . Den naturlige måde at løse dette problem på er at eliminere kernerne af homomorfismer (hvor er homotopigrupperne ) ved en sekvens af operationer. Hvis dette lykkes, vil den resulterende kortlægning være en homotopi-ækvivalens. Studiet af de tilsvarende forhindringer (som ligger i de såkaldte Wall-grupper ) var en af hovedstimulierne i udviklingen af algebraisk L-teori . $f:M\to X$ $M$ $x$ $(W;M,N)$ $F:W\to X$ $F|_{M}=f$ $F|_{N}:\to X$ $f^{*}:\pi _{k}(M)\to \pi _{k}(X)$ $\pi _{k}$

Konstruktion

Lad være en glat -dimensional manifold (uden grænse), hvori den-dimensionelle sfære er (glat) indlejret . Antag, at det normale bundt af en kugle i en manifold er trivielt, det vil sige, at et lukket rørformet kvarter af en kugle i B nedbrydes til et direkte produkt , hvor er en skive af dimension . Ved at vælge en sådan nedbrydning skærer vi det indre af kvarteret ud . Der opnås en manifold, hvis grænse nedbrydes til et produkt af kugler. Nøjagtig den samme grænse har manifolden . Ved at identificere kanterne af disse manifolder ved en diffeomorfisme , der bevarer strukturen af det direkte produkt , opnår vi igen en manifold uden grænse, som kaldes resultatet af manifoldkirurgi langs kuglen . $V$ $n$ $(k-1)$ ${\displaystyle S^{k-1))$ ${\displaystyle S^{k-1))$ $V$ $T$ ${\displaystyle S^{k-1))$ $V$ $T=S^{k-1}\ gange D^{n-k+1}$ $D^{n-k+1}$ $n-k+1$ $V$ $T$ $S^{k-1}\ gange S^{nk}$ ${\displaystyle D^{k}\ gange S^{nk))$ $V'$ $V$ ${\displaystyle S^{k-1))$

For at udføre kirurgi er det nødvendigt at indstille en nedbrydning af sfærens kvarter til et direkte produkt, det vil sige trivialiseringen af det normale bundt af sfæren i manifolden , mens forskellige trivialiseringer (riggings) kan give væsentligt forskellige (selv. homotopi) manifolds . $T$ ${\displaystyle S^{k-1))$ ${\displaystyle S^{k-1))$ $V$ $V'$

Nummeret kaldes operationsindekset, og parret kaldes operationstypen . Hvis det er opnået fra typen af operation , så er det opnået fra typen af operation . For , manifolden er den usammenhængende forening af manifolden (som kan være tom i dette tilfælde) og kuglen . $k$ $(k,n-k+1)$ $V'$ $V$ $(i, j)$ $V$ $V'$ $(j,i)$ $k=0$ $V'$ $V$ $S^{n}$

Eksempler

Med og som et resultat af kirurgi opnås en adskilt forening af to sfærer og med - en torus . $V=S^{2}$ $k=2$ $k=1$
For og , produktet opnås . $V=S^{3}$ $k=2$ $S^{1}\ gange S^{2}$
Sagen er endnu mere kompliceret: hvis kuglen er indlejret på en standard måde (stor cirkel), så afhængigt af valget af dens trivialisering af det normale bundt, opnås linserum ; hvis vi tillader binding af kuglen , får vi et endnu større sæt tredimensionelle manifolder. $V=S^{3}$ $k=1$ $S^{1}$ $S^{3}$ $S^{1}$

Egenskaber

Hvis er grænsen for en dimensionel manifold , så vil grænsen være manifolden opnået ved at lime indekshåndtaget . $V$ $(n+1)$ $M$ $V'$ $M'$ $M$ $k$
- Især hvis det er en jævn funktion på en manifold og er tal sådan, at sættet er kompakt og indeholder et enkelt kritisk punkt , som er ikke-degenereret, så fås manifolden fra manifolden ved operation af indekset , hvor er Morse-indeks for det kritiske punkt . $f$ $M$ $a<b$ $f^{{-1}}([a,b])$ $s$ $V_{b}=f^{-1}(b)$ $V_{a}=f^{-1}(a)$ $k$ $k$ $s$
- Mere generelt definerer enhver omarrangering af indeksmanifolden en vis grænseflade , og på treklangen findes der $V'$ $V$ $k$ $(W;V,V')$ $(W;V,V')$
en morsefunktion, der har et enkelt kritisk indekspunkt , og enhver grænse , som en sådan morsefunktion eksisterer på, opnås på denne måde. $k$ $(W;V,V')$
- Heraf (og af eksistensen af Morse-funktioner på treklanger) følger det, at to mangfoldigheder er grænseoverskridende, hvis og kun hvis den ene af dem opnås fra den anden ved en begrænset sekvens af operationer.
Med visse forholdsregler ved håndtering af orienteringer vil resultatet af operation på en orienteret manifold igen være en orienteret manifold.

Variationer og generaliseringer

Konstruktionen af kirurgi kan også udføres for stykkevis lineære og topologiske manifolds.