Thor (overflade)
Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 15. august 2022; verifikation kræver 1 redigering .En torus (toroid) er en omdrejningsflade opnået ved at dreje den genererende cirkel omkring en akse, der ligger i denne cirkels plan og ikke skærer den [1] .
Mere generelt er en torus et topologisk rum eller glat manifold svarende til en sådan overflade.
Nogle gange kræver de ikke, at rotationsaksen ikke skærer den genererende cirkel. I dette tilfælde, hvis rotationsaksen skærer den genererende cirkel (eller rører den), kaldes torusen lukket , ellers åben [2] .
Begrebet en torus er også defineret i det flerdimensionale tilfælde. En torus er et eksempel på en kommutativ algebraisk gruppe og et eksempel på en Lie gruppe .
Historie
Den toroidale overflade blev først overvejet af den antikke græske matematiker Archytas , da han løste problemet med at fordoble en terning . En anden gammel græsk matematiker, Perseus , skrev en bog om spirallinjer - sektioner af en torus ved et plan parallelt med dens akse.
Torusakse
Rotationsaksen kan skære cirklen, røre ved den og være placeret uden for cirklen. I de to første tilfælde kaldes torusen lukket, i det sidste - åben eller en ring [2] .
- Ændring af afstanden til rotationsaksen
En cirkel, der består af centrene for genererende cirkler, kaldes en guidecirkel.
Topologiske egenskaber
Torus er en overflade af slægt 1 (en kugle med et håndtag). Torus er et kompakt topologisk rum.
Torus har Euler-Poincare-karakteristikken χ=0.
Ligninger
Parametrisk
Torusligningen med afstanden fra centrum af generatricen til rotationsaksen R og med radius af generatricen r kan angives parametrisk som:
Algebraisk
Den ikke-parametriske ligning i de samme koordinater og med de samme radier har den fjerde grad:
En sådan overflade har den fjerde orden.
Der er andre overflader, der er diffeomorfe for en torus og har en anden rækkefølge.
, hvor x, y er komplekse tal. Kompleks elliptisk kurve , kubisk overflade. En indlejring af en torus i et 4-dimensionelt rum. Dette er en 2. ordens overflade. Krumningen af denne overflade er 0.
Overfladekrumning
En torus i tredimensionelt rum har punkter med positiv og negativ krumning . I overensstemmelse med Gauss-Bonnet-sætningen er krumningsintegralet over hele overfladen af torus lig nul.
Gruppestruktur
Egenskaber
- Overfladearealet af en torus som en konsekvens af den første Guldens sætning : .
- Volumenet af et legeme afgrænset af en torus ( solid torus ), som en konsekvens af den anden Papp-Gulden-sætning : .
- En torus med en udskåret skive ("gennemboret") kan vendes vrangen ud på en kontinuerlig måde ( topologisk , det vil sige ved en række diffeomorfismer ). I dette tilfælde vil to cirkler, der skærer vinkelret på den ("parallel" og "meridian"), skifte plads. [3]
- To sådanne "utætte" tori, der er forbundet sammen, kan deformeres, så den ene af torierne "sluger" den anden. [fire]
- Det mindste antal farver, der kræves for at farve sektioner af en torus, så tilstødende regioner har forskellige farver, er 7. Se også Fire-farveproblemet .
Sektioner
- Når en torus skæres af et tangentplan , viser den resulterende fjerdeordenskurve sig at være degenereret: skæringspunktet er foreningen af to cirkler kaldet Villarceau-cirkler .
- Især kan en åben torus repræsenteres som en omdrejningsflade af en cirkel forbundet med omdrejningsaksen
- En af sektionerne af en åben torus er Bernoulli lemniscate , andre buede linjer er grafiske linjer og kaldes Perseus-kurver [5] (spirallinjer, sektioner af torus ved et plan parallelt med dens akse)
- Nogle skæringer af overfladen af en torus med et plan ligner en ellipse (kurve af 2. orden). Den således opnåede kurve er udtrykt ved en 4. ordens algebraisk ligning [6] .
Generaliseringer
Multidimensional torus
En generalisering af den 2-dimensionelle torus er den multidimensionelle torus (også n - torus eller hypertorus ):
Overflade af revolution
En torus er et specialtilfælde af en omdrejningsflade .
Se også
Noter
- ↑ Mathematical Encyclopedia, 1985, v.5, s. 405
- ↑ 1 2 Korolev Yuri Ivanovich. Deskriptiv geometri: Lærebog for gymnasier. 2. udg. . - Forlaget "Peter", 2008. - S. 172. - 256 s. — ISBN 9785388003669 . Arkiveret 17. februar 2017 på Wayback Machine
- ↑ Trinene til at vende en torus blev givet i "Topology" af Albert Tucker og Herbert Bailey i Scientific American , januar 1950.
- ↑ For detaljer, se M. Gardners artikel i Scientific American , marts 1977. Andre paradokser relateret til tori kan findes i artikler af M. Gardner, publiceret i Scientific American i december 1972 og december 1979.
- ↑ Teoretisk grundlag for løsning af problemer i beskrivende geometri: Tutorial
- ↑ Skæringspunktet mellem en kugle og en torus ved et fly. Et eksempel på at konstruere en "skåret linje" på overfladen af et kombineret omdrejningslegeme . Hentet 4. november 2011. Arkiveret fra originalen 4. marts 2016.
Litteratur
- Savelov A. A. Plane kurver: Systematik, egenskaber, applikationer. M.: Fizmatgiz, 1960. 293 s. Genudgivet 2002, ISBN 5-93972-125-7
| Kompakte overflader og deres fordybelse i tredimensionelt rum | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Homøoformitetsklassen for en kompakt trianguleret overflade bestemmes af orienterbarhed, antallet af grænsekomponenter og Euler-karakteristikken. | |||||||
| ingen grænse |
| ||||||
| med kant |
| ||||||
| Beslægtede begreber |
| ||||||