Flad kurve af fjerde grad

En flad kurve af fjerde grad eller en flad kvarts er en flad algebraisk kurve af fjerde grad . Det kan bestemmes af en fjerdegradsligning i to variable:

Ax^{4}+By^{4}+Cx^{3}y+Dx^{2}y^{2}+Exy^{3}+Fx^{3}+Gy^{3} +Hx^{2}y+Ixy^{2}+Jx^{2}+Ky^{2}+Lxy+Mx+Ny+P=0,

hvor mindst et af tallene A, B, C, D, E er ikke-nul. Denne ligning har 15 konstanter. Ligningen kan dog multipliceres med en hvilken som helst ikke-nul konstant uden at ændre kurven. Ved et passende valg af multiplikationskonstanten kan enhver koefficient således gøres lig med 1, hvilket kun efterlader 14 konstanter. Således kan det kvartiske rum identificeres med det reelle projektive rum . Det følger også af Cramer's Algebraic Curves Theorem , at der er præcis én kvartik, der passerer gennem 14 forskellige punkter i den generelle position , da en kvartik har 14 frihedsgrader . $\mathbb {RP} ^{14}$

En quart kan have et maksimum

fire tilsluttede komponenter
fireogtyve bitangens
tre almindelige dobbelte prikker .

Man kan overveje kvartiske kurver over andre felter (eller endda ringe ), såsom komplekse tal . I sidstnævnte tilfælde opnår man Riemann-overflader, som er endimensionelle over C , men todimensionelle over R. Et eksempel er Klein-kvartikken . Derudover kan man overveje kurver i det projektive plan , givet ved homogene polynomier.

Eksempler

Forskellige kombinationer af koefficienterne i ligningen ovenfor producerer forskellige vigtige familier af kurver, anført nedenfor.

Lemniscate
- Lemniscate Bernoulli
- Lemniscate Gerono
Pascals snegl
Quartic Lurot
Perseus kurve
Firkantethed
- Lame special quartic
torisk afsnit
Trotta kurve

Ampersand (kurve)

Et-sand-kurven er en plan kvarts-kurve med ligningen

\ (y^{2}-x^{2})(x-1)(2x-3)=4(x^{2}+y^{2}-2x)^{2}.

Kurven har slægten nul med tre almindelige dobbeltpunkter på det reelle plan. [en]

Bob (kurve)

Bob- kurven er en 4. grads plan kurve med ligningen

x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=x(x^{2}+y^{2}).\,

Bob har slægten nul. Kurven har én singularitet ved origo, et almindeligt tredobbelt punkt [2] . [3]

To-kurve

En dobbeltspidskurve er en 4. grads flad kurve med ligningen

(x^{2}-a^{2})(xa)^{2}+(y^{2}-a^{2})^{2}=0\,

hvor a definerer kurvens størrelse. En to-cusp kurve har kun to knudepunkter som singulariteter, og er derfor en kurve af slægt et [4] .

Bue (kurve)

En bue er en 4. grads plan kurve med ligningen

x^{4}=x^{2}yy^{3}.\,

Bant har et tredobbelt punkt ved x =0, y =0, og er derfor en rationel kurve for slægten nul [5] .

Korsformet kurve

En kors- eller krydskurve er en 4. grads plan kurve givet af ligningen

x^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0\,

hvor a og b er to parametre , der bestemmer kurvens form. Den korsformede kurve er forbundet med standard kvadratisk transformation x ↦ 1/ x , y ↦ 1/ y med ellipsen , og er derfor en rationel plan algebraisk kurve af slægten nul. En korsformet kurve har tre dobbeltpunkter i det reelle projektive plan i punkterne x =0 og y =0, x =0 og z =0, y =0 og z =0. [6] $a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=1$

Da kurven er rationel, kan den parametriseres af rationelle funktioner. For eksempel, hvis a =1 og b =2, så ligningerne

x=-{\frac {t^{2}-2t+5}{t^{2}-2t-3)),\quad y={\frac {t^{2}-2t+5 }{2t-2}}

definere parametriseringen af punkter på kurven, undtagen i undtagelsestilfælde, hvor nævneren forsvinder.

Spiralsektion

Et spiralsnit kan defineres som en bicirkulær kurve af fjerde grad, symmetrisk om x- og y -akserne . Spiralsektioner er inkluderet i familien af toriske sektionerog indeholder Booth-familien aflemniscaterogCassini-familien af ovaler. Navnet kommer fra det græske ord σπειρα, der betyder torus.

I kartesiske koordinater kan ligningen skrives

(x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f,

og i polære koordinater som

r^{4}=dr^{2}\cos ^{2}\theta +er^{2}\sin ^{2}\theta +f.\,

Trekløver

Et trekløver er en 4. grads flad kurve

x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-x^{3}+3xy^{2}=0.\,

Løser vi ligningen for y , får vi følgende funktion

y=\pm {\sqrt {\frac {-2x^{2}-3x\pm {\sqrt {16x^{3}+9x^{2)))){2))},

hvor de to tegn er uafhængige af hinanden, hvilket giver op til fire forskellige y- værdier for hver x . $\om eftermiddagen$

Den parametriske ligning for et trekløver er

x=\cos(3t)\cos t,\quad y=\cos(3t)\sin t.\,

[7] .

I polære koordinater ( ) antager ligningen formen $x=r\cos(\varphi),y=r\sin(\varphi)$

r=\cos(3\varphi ).\,

Kurven er et specialtilfælde af rosen med k = 3. Denne kurve har et tredobbelt punkt ved origo (0, 0) og har tre dobbelttangens.

Noter

↑ Weisstein, Eric W. Ampersand Curve på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ Cundy, Rollett, 1961 , s. 72.
↑ Weisstein, Eric W. Bean Curve på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ Weisstein, Eric W. Bicuspid Curve på Wolfram MathWorld -webstedet .
↑ Weisstein, Eric W. Bow på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ Weisstein, Eric W. Korsformet kurve på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ Gibson, 2001 , s. 12, 78.

Litteratur

Cundy HM, Rollett AP Matematiske modeller. — 2. - Clarendon Press, Oxford, 1961. - S. 72. - ISBN 978-0-906212-20-2 .
Gibson CG Elementær Geometry of Algebraic Curves, en bachelor-introduktion. - Cambridge: Cambridge University Press, 2001. - S. 12, 78. - ISBN 978-0-521-64641-3 .