Differential (matematik)

Differential (fra latin differentia "forskel, forskel") er den lineære del af inkrementet af en funktion .

Notation

Normalt er differentialet for en funktion angivet med . Nogle forfattere foretrækker at bruge roman for at understrege, at differentialet er en operator . $f$ $df$ ${{\rm {d}}}f$

Differentialet på et punkt er betegnet med , og nogle gange med eller , samt med , hvis betydningen er tydelig fra konteksten. $x_{0}$ $d_{{x_{0}}}f$ $df_{{x_{0}}}}$ $df[x_{0}]$ $df$ $x_{0}$

Følgelig kan værdien af differentialet på punktet fra betegnes som , og nogle gange eller , og også , hvis betydningen er klar fra konteksten. $x_{0}$ $h$ $d_{{x_{0}}}f(h)$ $df_{{x_{0}}}(h)$ $df[x_{0}](h)$ $df(h)$ $x_{0}$

Brug af differentialtegnet

Differentialets fortegn bruges i udtrykket for integralet . I dette tilfælde introduceres differensen nogle gange (og ikke helt korrekt) som en del af definitionen af integralet $\int f(x)\, dx$ $dx$ .
Også tegnet for differentialet bruges i Leibniz- notationen for den afledede . Denne notation er motiveret af det faktum, at for forskellene mellem en funktion og den identiske funktion er forholdet sandt: $f'(x_{0})={\frac {df}{dx}}(x_{0})$ $f$ $x$ $d_{{x_{0}}}f=f'(x_{0}){\cdot }d_{{x_{0}}}x.$

Definitioner

Til funktioner

Differentialet af en funktion i et punkt kan defineres som en lineær funktion $f\colon {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ $x_{0}\in {\mathbb {R}}$

d_{{x_{0}}}f(h)=f'(x_{0})h,

hvor angiver den afledede i punktet og er stigningen i argumentet, når man går fra til . $f'(x_{0})$ $f$ $x_{0}$ $h$ $x_{0}$ $x_{0}+h$

Der er således en funktion af to argumenter . $df$ $df\kolon (x_{0},h)\mapsto d_{{x_{0}}}f(h)$

Differentialet kan defineres direkte, det vil sige uden at involvere definitionen af en afledt, som en funktion , der afhænger lineært af , og for hvilken følgende relation er sand $d_{{x_{0}}}f(h)$ $h$

d_{x_0}f(h)=f(x_0 + h) - f(x_0) + o(h).

Til skærme

Differentialet af en afbildning i et punkt er en lineær afbildning , således at betingelsen $f\colon {\mathbb {R}}^{n}\to {\mathbb {R}}^{m}$ $x_{0}\in {\mathbb {R}}^{n}$ $d_{{x_{0))}f\colon {\mathbb {R}}^{n}\to {\mathbb {R}}^{m}$

d_{x_0}f(h)=f(x_0 + h) - f(x_0) + o(h).

Relaterede definitioner

En mapping kaldes differentierbar på et punkt, hvis differentialet er defineret . $f\colon {\mathbb {R}}^{n}\to {\mathbb {R}}^{m}$ $x_{0}\in {\mathbb {R}}^{n}$ $d_{{x_{0))}f\colon {\mathbb {R}}^{n}\to {\mathbb {R}}^{m}$

Egenskaber

Matrixen for en lineær operator er lig med den jakobiske matrix ; dens elementer er partielle derivater . $d_{{x_{0}}}f$ $f$
- Bemærk, at Jacobi-matricen kan defineres på et punkt, hvor differentialet ikke er defineret.
En funktions differentiale er relateret til dens gradient ved følgende konstitutive relation $f$ $\nabla f$ $d_{{x_{0}}}f(h)=\langle (\nabla f)(x_{0}),h\rangle$

Historie

Udtrykket "differentiel" blev introduceret af Leibniz . Det blev oprindeligt brugt til at betegne " infinitesimal " - en mængde, der er mindre end enhver endelig mængde og alligevel ikke er lig med nul. Denne opfattelse har vist sig at være ubelejlig i de fleste grene af matematik, med undtagelse af ikke-standardanalyse . $dx$

Variationer og generaliseringer

Begrebet en differential indeholder mere end blot en differential af en funktion eller afbildning. Det kan generaliseres til at give forskellige vigtige enheder inden for funktionel analyse , differentialgeometri, måleteori, ikke-standardanalyse, algebraisk geometri og så videre.

Litteratur

G. M. Fikhtengolts "Forløb af differential- og integralregning"

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Fantastisk norsk jorden rundt Lille Brockhaus og Efron Treccani

Differentialregning

Hoved

private udsigter

Differentialoperatorer
( i forskellige koordinater )

Første ordre	Nabla operatør Gradient Divergens Rotor Helmholtzian
anden orden	Elliptisk operatør Laplace operatør Laplace vektor operatør D'Alembert operatør Laplace-Beltrami operatør
højere ordrer	Hypoelliptisk operatør

relaterede emner

Beregning af infinitesimals og infinitesimals
Historie	Leibniz notation Integralskilt Udeleliges metode
Relaterede destinationer	Tilpasset analyse
Formalismer	Differential
Begreber	Standard del af et nummer Overgangsprincip Hyperinteger Inkrementsætning Monad Internt sæt Field of Levi-Civita Hyperfinite sæt Kontinuitetsloven overløb Mikrokontinuitet Transcendent lov om homogenitet
Videnskabsmænd	Archimedes Leibniz Robinson Gård Cauchy Euler
Litteratur	Analyse af infinitesimals Elementære beregninger Analyse kursus

Afledninger af det latinske bogstav D, d
Breve	РР ð̤ ð̞ Ꟈꟈ Ďď d̯ Đđ Ɖɖ Ɗɗ Ƌƌ Ḋḋ Ḍḍ Ḏḏ Ḑḑ D̦d̦ D̂d̂ D̓d̓ d̈ D̤d̤ Ḓḓ Dd Ḍ́ḍ́ D̲d̲ d̪ d͔ d͕ ȡ ᶑ ᶑ̥ ᴅ ᴆ ᴅ́ ᴅ̣ ᴅ͔ ᴅ͕ ᵭ ꝱ ȸ e̥ ᶁ Ǳǲǳ Ǆǅǆ ʣ ʤ 𝼒 𝼙 ꭦ ʥ Ꝺꝺ
Symboler	ⅅ/ⅆ ∂ ₫ ₰ 𝄊 𝄉 Ⓓⓓ ⒟