Algebraisk talfelt

Algebraisk talfelt , feltet af algebraiske tal (eller blot talfelt ) er en endelig (og derfor algebraisk ) udvidelse af feltet af rationelle tal . Et talfelt er således et felt , der indeholder og er et endeligt dimensionelt vektorrum over det. Samtidig kalder nogle forfattere ethvert underfelt af komplekse tal for et talfelt - for eksempel M. M. Postnikov i "The Galois Theory". $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

Talfelter, og mere generelt algebraiske udvidelser af feltet for rationelle tal, er hovedobjektet for undersøgelse i algebraisk talteori .

Eksempler

Det mindste og grundlæggende talfelt er feltet med rationelle tal . $\mathbb {Q}$
Gaussiske rationelle tal, betegnet, er det første ikke-trivielle eksempel på et talfelt. Dens elementer er udtryk for formen ${\mathbb Q}(i)$

a+bi

hvor og er rationelle tal, er den imaginære enhed . Sådanne udtryk kan tilføjes og ganges i henhold til de sædvanlige regler for operationer med komplekse tal , og hvert ikke-nul-element har en invers, som det kan ses af ligheden

-en

b

jeg

(a+bi)\venstre({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i \right)={\frac {(a+bi)(a-bi)}{a^{2}+b^{2}}}=1.

Det følger heraf, at de rationelle gaussiske tal danner et felt, som er et todimensionelt rum over (det vil sige et kvadratisk felt ).

\mathbb {Q}

Mere generelt vil for ethvert kvadratfrit heltal være en kvadratisk feltudvidelse . $d$ ${\mathbb Q}({\sqrt d})$ $\mathbb {Q}$
Et cirkulært felt opnås ved at tilføje til den primitive n'te rod af enhed. Feltet skal indeholde og alle dets kræfter (det vil sige alle de n'te rødder til enhed), dets dimension er over lig med Euler-funktionen . ${\mathbb Q}(\zeta _{n})$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$ $\varphi (n)$
Reelle og komplekse tal har uendelig magt over rationelle tal, så de er ikke talfelter. Dette følger af utællelighed: ethvert numerisk felt kan tælles .
Feltet for alle algebraiske tal er ikke numerisk. Selvom udvidelsen er algebraisk, er den ikke endelig. $\mathbb {A}$ $\mathbb {A} \supset \mathbb {Q}$

Ring af heltal numerisk felt

Da et talfelt er en algebraisk forlængelse af et felt , er ethvert element i det en rod af et polynomium med rationelle koefficienter (dvs. er algebraisk ). Desuden er hvert element en rod af et polynomium med heltalskoefficienter, da det er muligt at gange alle rationelle koefficienter med produktet af nævnerne. Hvis et givet element er en rod af et enhedspolynomium med heltalskoefficienter, kaldes det et heltalselement (eller et algebraisk heltal). Ikke alle elementer i et talfelt er heltal: for eksempel er det nemt at vise, at de eneste heltalselementer er almindelige heltal . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

Det kan bevises, at summen og produktet af to algebraiske heltal igen er et algebraisk heltal, så heltalselementerne danner en subring af talfeltet , kaldet ringen af heltalsfelter og betegnet med . Feltet indeholder ikke nuldelere , og denne egenskab nedarves, når den overføres til en underring, så ringen af heltal er integral ; feltet med delringe er selve feltet . Ringen af heltal i ethvert talfelt har følgende tre egenskaber: den er integralt lukket , Noetherian og endimensional . En kommutativ ring med disse egenskaber kaldes Dedekind efter Richard Dedekind . $K$ $K$ ${\mathcal O}_{K}$ ${\mathcal O}_{K}$ $K$

Dekomponering i primtal og klassegrupper

I en vilkårlig Dedekind-ring er der en unik nedbrydning af idealer , der ikke er nul, til et produkt af simple . Men ikke hver ring af heltal opfylder den faktorielle egenskab : selv for ringen af heltal i et kvadratisk felt er nedbrydningen ikke unik: ${\mathcal O}_{{{\mathbb Q}({\sqrt {-5}})))={\mathbb Z}[{\sqrt {-5}}]$

6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5)))(1-{\sqrt {-5)))

Ved at indføre en norm på denne ring kan vi vise, at disse udvidelser faktisk er forskellige, det vil sige, at den ene ikke kan opnås fra den anden ved at gange med et invertibelt element .

Graden af krænkelse af den faktorielle egenskab måles ved hjælp af den ideelle klassegruppe , denne gruppe for ringen af heltal er altid endelig, og dens rækkefølge kaldes antallet af klasser.

Talfeltbaser

Hele grundlaget

Et heltalsgrundlag for et talfelt F af grad n er mængden

B = { b 1 , …, b n }

af n elementer af ringen af heltal i feltet F , således at ethvert element i ringen af heltal OF i feltet F kan skrives på en unik måde som en Z -lineær kombination af elementer af B ; det vil sige, for ethvert x fra O F er der en unik nedbrydning

x \ u003d m 1 b 1 + ... + m n b n ,

hvor m i er almindelige heltal. I dette tilfælde kan ethvert element af F skrives som

m 1 b 1 + … + m n b n ,

hvor m i er rationelle tal. Derefter kendetegnes heltalselementer af F ved den egenskab, at disse er præcis de elementer, for hvilke alle m i er heltal.

Ved hjælp af værktøjer som lokalisering og Frobenius-endomorfisme kan man konstruere et sådant grundlag for et hvilket som helst talfelt. Dens konstruktion er en indbygget funktion i mange computeralgebrasystemer .

Power basis

Lad F være et talfelt af grad n . Blandt alle mulige baser af F (som et Q -vektorrum) er der potensbaser, det vil sige baser af formen

B x = {1, x , x 2 , …, x n −1 }

for nogle x ∈ F . Ifølge primitive element-sætningen eksisterer et sådant x altid, det kaldes det primitive element i den givne udvidelse.

Norm og spor

Et algebraisk talfelt er et endeligt -dimensionelt vektorrum over (lad os betegne dets dimension som ), og multiplikation med et vilkårligt element i feltet er en lineær transformation af dette rum. Lad være en vis basis F , så svarer transformationen til matrixen defineret af betingelsen $\mathbb {Q}$ $n$ $e_{1},e_{2},\ldots e_{n}$ $x\mapto \alpha x$ $A=(a_{{ij}})$

\alpha e_{i}=\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}e_{j},\quad a_{{ij}}\in {\mathbf {Q}}.

Elementerne i denne matrix afhænger af valget af grundlaget, men alle matrixinvarianter , såsom determinant og trace , afhænger ikke af det . I forbindelse med algebraiske udvidelser kaldes determinanten af en matrix multipliceret med et element normen for det element (benævnt ); sporet af en matrix er sporet af et grundstof (benævnt med ). $N(x)$ ${\text{Tr}}(x)$

Elementsporet er en lineær funktion på F :

{\tekst{Tr))(x+y)={\tekst{Tr))(x)+{\tekst{Tr))(y)

og .

{\text{Tr))(\lambda x)=\lambda {\text{Tr))(x),\lambda \in {\mathbb Q}

Normen er en multiplikativ og homogen funktion:

N(xy)=N(x)\cdot N(y)

og .

N(\lambda x)=\lambda ^{n}N(x),\lambda \in {\mathbb Q}

Som startgrundlag kan du vælge en heltalsbasis , multiplikation med et heltal algebraisk tal (det vil sige med et element i ringen af heltal ) i denne basis vil svare til en matrix med heltalselementer . Derfor er sporet og normen for ethvert element i ringen af heltal heltal.

Et eksempel på brug af normen

Lade være et naturligt tal fri for kvadrater , så være et kvadratisk felt (især er et tal felt). Vi vælger et heltalsgrundlag i dette felt ( er et heltalselement, da det er roden af det reducerede polynomium ). På dette grundlag svarer multiplikation med til matrixen $d$ ${\mathbb Q}({\sqrt d})$ $(1,{\sqrt d})$ ${\sqrt d}$ $x^{2}-d$ $a+b{\sqrt d}$

{\begin{pmatrix}a&db\\b&a\end{pmatrix}}

Derfor ,. På ringens elementer tager denne norm heltalsværdier. Normen er en homomorfi af en multiplikativ gruppe til en multiplikativ gruppe , så normen for invertible elementer i en ring kan kun være lig med eller . For at løse Pells ligning er det nok at finde alle de reversible elementer i ringen af heltal (også kaldet ringenheder ) og blandt dem vælge dem, der har en norm . Ifølge Dirichlets enhedssætning er alle inverterbare elementer i en given ring potenser af ét element (op til multiplikation med ), så for at finde alle løsninger til Pells ligning, er det tilstrækkeligt at finde én grundlæggende løsning. $N(a+b{\sqrt d})=a^{2}-db^{2}$ ${\mathbb Z}[{\sqrt d}]$ ${\mathbb Z}[{\sqrt d}]$ $\mathbb {Z}$ $en$ $-en$ $a^{2}-db^{2}=1$ $en$ $-en$

Se også

Kummers teori

Litteratur

H. Koch. Algebraisk talteori . - M .: VINITI , 1990. - T. 62. - 301 s. - (Resultater af videnskab og teknologi. Serie "Moderne matematikproblemer. Grundlæggende retninger".).
Chebotarev N.G. Grundlæggende om Galois teori. Del 2. - M . : Redaktionel URSS, 2004.
Weil G. Algebraisk talteori. Om. fra engelsk. - M . : Editorial URSS, 2011.
Serge Lang , Algebraic Number Theory, anden udgave, Springer, 2000