Ideel klassegruppe

Den ideelle klassegruppe i en Dedekind-ring er groft sagt en gruppe, der tillader en at sige, hvor kraftigt den faktorielle egenskab er krænket i en given ring . Denne gruppe er triviel, hvis og kun hvis Dedekind-ringen er faktoriel. Egenskaberne for en Dedekind-ring vedrørende multiplikationen af dens elementer er tæt forbundet med strukturen af denne gruppe.

Definition

Lad R være en integral ring , vi definerer en relation på dens ikke-nul brøksidealer som følger: hvis og kun hvis der er ikke-nul elementer a og b i ringen R sådan , at det er let at vise, at dette definerer en ækvivalensforhold. Ækvivalensklasserne med hensyn til dette forhold kaldes ideelle klasser . Klassemultiplikation defineret som [ a ]*[ b ] = [ ab ] er veldefineret, associativ og kommutativ; hovedbrøkidealer danner klassen [ R ], som er identiteten for denne multiplikation. Klassen [ I ] har sin omvendte klasse [ J ], hvis og kun hvis den ideelle IJ er principal. I det generelle tilfælde eksisterer et sådant J muligvis ikke, og de ideelle klasser vil kun være en kommutativ monoid . $\sim$ $Jeg\sim J$ $(a)I=(b)J$

Hvis R også er en Dedekind-ring (for eksempel den algebraiske talring i et eller andet algebraisk talfelt ), så har hvert brøkideal I en invers J , således at IJ = R = (1). Derfor danner de fraktionelle ideelle klasser af en Dedekind-ring med multiplikationen defineret ovenfor en Abelsk gruppe , den ideelle klassegruppe i ringen R.

Egenskaber

En ideel klassegruppe er triviel, hvis og kun hvis alle idealerne i ringen R er principielle, det vil sige når R er et principielt idealdomæne . Desuden er en Dedekind-ring faktoriel, hvis og kun hvis den er et domæne af hovedidealer.
Antallet af ideelle klasser af en ring R kan generelt være uendeligt; desuden er enhver abelsk gruppe isomorf i forhold til klassegruppen i en eller anden Dedekind-ring [1] . Men hvis R er ringen af heltal i et talfelt, så er antallet af klasser endeligt.
Det er generelt ret svært at beregne en gruppe klasser. Dette kan gøres manuelt for et algebraisk talfelt med en lille diskriminant , ved at bruge Minkowski bundet . For felter med en stor diskriminant bliver manuel beregning upraktisk og udføres normalt af computer.

Eksempler

Antal klasser i et kvadratisk felt

Hvis d er et kvadratfrit tal , så er et kvadratisk felt . Hvis d < 0, er klassegruppen kun triviel for følgende værdier: Hvad angår tilfældet d > 0, er spørgsmålet om antallet af værdier, der svarer til den trivielle klassegruppe, stadig et åbent problem. ${\mathbb Q}({\sqrt d})$ $d=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163.$

Et eksempel på en ikke-triviel klassegruppe

$R={\mathbb Z}[{\sqrt {-5}}]$ — ring af heltals numerisk felt Denne ring er ikke faktoriel; faktisk idealet ${\mathbb Q}({\sqrt {-5}}).$

J=(2,1+{\sqrt {-5}})

er ikke den vigtigste. Dette kan bevises ved modsigelse som følger. På er det muligt at definere en normfunktion , og hvis og kun hvis x er inverterbar. Først og fremmest . Kvotientringen er isomorf af ideal , så . Hvis J er genereret af et element x , så deler x 2 og 1 + √−5. Derfor deler normen x 4 og 6, det vil sige, at den er lig med 1 eller 2. Den kan ikke være lig med 1, da J ikke er lig med R , og ikke kan være lig med 2, da den ikke kan have en rest af 2 modulo 5. Det er nemt at kontrollere, hvad der er hovedidealet, så rækkefølgen af J i klassegruppen er 2. At kontrollere, at alle idealer hører til en af disse to klasser, kræver dog lidt mere indsats. $R$ $N(a+b{\sqrt 5})=a^{2}+5b^{2}$ $N(ab)=N(a)N(b)$ $N(x)=1$ $J\neq R$ $(1+{\sqrt {-5}})$ ${\mathbb Z}/6{\mathbb Z}$ $R/J\cong {\mathbb Z}/2{\mathbb Z}$ $a^{2}+5b^{2}$ $J^{2}=(2)$

Noter

↑ Claborn, 1966

Litteratur

Atiyah M., McDonald I. Introduktion til kommutativ algebra. - M: Mir, 1972
Claborn, Luther (1966), Every abelian group is a class group , Pacific Journal of Mathematics bind 18: 219–222 , < http://projecteuclid.org/DPubS?verb=Display&version=1.0&service=UI&handle=euclid.pjm /1102994263&page=record > Arkiveret 7. juni 2011 på Wayback Machine
Fröhlich, Albrecht & Taylor, Martin (1993), Algebraisk talteori , vol. 27, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43834-6