Sandbunke model

Sandbunkemodellen er en klassisk  model for teorien om selvorganiseret kritikalitet , der er forbundet med mange områder af matematikken.

Beskrivelse og egenskaber af modellen

I den simpleste version er modellen formuleret som følger. Overvej et firkantet gitter. På dette gitter er en sandbunke: ved hver knude i dette gitter er der placeret en stak af flere sandkorn. Hvis der er 4 eller flere sandkorn på en eller anden knude i stakken, så er dyngen ustabil , og der sker et kollaps ( engelsk  væltning ): 1 sandkorn bevæger sig fra denne knude til 4 naboknuder. Nedbrud sker, indtil dyngen bliver stabil , det vil sige indtil der er mindre end 4 sandkorn tilbage i hver knude; samtidig er den resulterende sandbunke ikke afhængig af den rækkefølge, som sammenstyrtningen skete i [1] .

Det er naturligt at introducere "additions"-operationen på sættet af stabile sanddynger: For at opnå summen af ​​to dynger skal du placere alle sandkornene fra den tilsvarende knude i den første og anden bunke i hver knude i gitter, og udfør derefter de nødvendige kollapser for igen at få en stabil bunke. Med en sådan additionsoperation bliver sættet af sandhills en kommutativ monoid [2] . Et neutralt element er en bunke, der, når den føjes til enhver anden bunke, ikke ændrer den, er et tomt gitter uden et enkelt sandkorn.

Det er ikke nødvendigt at overveje sandbunkemodellen nøjagtigt på et firkantet gitter. I stedet for et kvadratisk gitter kan du tage et andet (i dette tilfælde bør kollapset ikke forekomme med 4 sandkorn ved knudepunktet, men med antallet af sandkorn lig med antallet af naboer), for eksempel trekantet eller generelt forskellige uendelige urettede eller rettede grafer eller multigrafer . Derudover kan sanddynger på den endelige graf også overvejes, hvis nogle knudepunkter i den er dræn ( engelsk  vask ) - når de kommer ind i dem, akkumuleres sandkorn ikke, men forsvinder.

Sættet af stabile sanddynger på en endelig graf (for eksempel et endeligt rektangulært gitter omgivet på alle sider af synkespidser) vil også være begrænset. I en finit kommutativ monoid kan man udskille en bestemt delmængde (nemlig dens minimale ideal ), der vil være en gruppe med hensyn til den samme operation (i dette tilfælde heap-addition). En sådan gruppe kaldes, for en given graf , grafens sanddyngegruppe , og dyngerne, der indgår i den , kaldes tilbagevendende .  Imidlertid adskiller det neutrale element i denne gruppe sig generelt set fra det neutrale element i monoiden. Desuden er gruppen af ​​sanddynger bemærkelsesværdig blandt andet for, at det neutrale element i den ser fuldstændig ikke-trivielt ud og endda viser træk fra en fraktal [3] .

Sandbunkemodellens forbindelser med forskellige områder af matematikken er dybe og mangfoldige [1] . Størrelsen af ​​det område, der er ramt af kollaps, når endnu et sandkorn føjes til en tilfældig sandbunke, adlyder en magtlovfordeling [4] , som er typisk for kritiske fænomener . Du kan tænke på en ustabil bunke, hvor kollaps forekommer som en cellulær automat . Et sammenbrud i en sandbunke kan beskrives ved hjælp af Kirchhoff-matricen , der gennem matrixtræsætningen relaterer rækkefølgen af ​​sandbunkegruppen til antallet af spændende træer på grafen (der er også en direkte bijektion ), samt til Riemann-Rochs sætning for grafer. At beregne tætheden af ​​sandkorn i en bunke, som er opnået fra mange sandkorn, der er stablet ind i en knude i et uendeligt kvadratisk gitter, er relateret til Apollonius-gitteret . Tropiske kurver kan opnås i sanddynger på et endeligt kvadratisk gitter [5] .

Noter

1. ↑ 1 2 Levine og Peres, 2017 , 1. Den abelske sandbunkemodel.
2. ↑ Corry og Perkinson, 2018 , 6.1.1. Additiv struktur.
3. ↑ Járai, 2018 , s. 252.
4. ↑ Corry og Perkinson, 2018 , 12.4. Selvorganiseret kritikalitet.
5. ↑ Kalinin et al, 2018 , Tropical Curves in Sandpiles.

Litteratur

• N.S. Kalinin. Model af sandhældning og divisorer på grafer (Sandmodel) . Sommerskole "Moderne matematik" (2017). Hentet: 20. juni 2018. (ubestemt)
• Lionel Levine og James Propp. Hvad er... en sandbunke? // Meddelelser fra AMS. - 2010. - Bd. 57. - S. 976-979.
• Lionel Levine og Yuval Peres. Laplacian vækst, sandbunker og skaleringsgrænser // Bull. amer. Matematik. Soc.. - 2017. - Vol. 54.—S. 355–382. - doi : 10.1090/bull/1573 .
• Antal A. Jarai. Sandbunkemodeller // Sandsynlighedsundersøgelser. - 2018. - Bd. 15. - S. 243-306. - doi : 10.1214/14-PS228 .
• N. Kalinin, A. Guzmán-Sáenz, Y. Prieto, M. Shkolnikov, V. Kalinina og E. Lupercio. Selvorganiseret kritik og mønsterfremkomst gennem linsen af ​​tropisk geometri // PNAS. - 2018. - Bd. 115. - P. E8135-E8142. - doi : 10.1073/pnas.1805847115 .
• Scott Corry og David Perkinson. Divisorer og Sandbunker . - AMS, 2018. - ISBN 978-1-4704-4218-7 .
• P. Bak , C. Tang, K. Wiesenfeld. Selvorganiseret kritikalitet: En forklaring af 1/ f - støjen // Physical Review Letters. - 1987. - Bd. 59.—S. 381–384. - doi : 10.1103/PhysRevA.38.364 .
• G. Yu. Ivanyuk, A. M. Perlikov. V.6.1. Model af "sandbunke" // Selvorganisering af mineralsystemer  / P. M. Goryainov, G. Yu. Ivanyuk. - M  .: GEOS, 2001. - ISBN 5-89118-209-2 .