Cylindrisk koordinatsystem

Et cylindrisk koordinatsystem er et tredimensionelt koordinatsystem , som er en forlængelse af det polære koordinatsystem ved at tilføje en tredje koordinat (normalt betegnet med ), som angiver højden af et punkt over planet. $z$

Punktet er givet som . Med hensyn til et rektangulært koordinatsystem : $P$ $(\rho ,\;\varphi ,\;z)$

$\rho \geqslant 0$ er afstanden fra til , den ortogonale projektion af punktet på planet . Eller det samme som afstanden fra til aksen . $O$ $P'$ $P$ $XY$ $P$ $Z$
$0\leqslant \varphi <360^{\circ }$ er vinklen mellem aksen og segmentet . $x$ $OP'$
$z$ er lig med anvendelsen af en prik . $P$

Når den bruges i de fysiske videnskaber og teknik, anbefaler den internationale standard ISO 31-11 brugen af notationen . $(\rho ,\;\varphi ,\;z)$

Cylindriske koordinater er praktiske, når man analyserer overflader, der er symmetriske om en eller anden akse, hvis aksen tages som symmetriaksen. For eksempel har en uendelig lang rund cylinder (cylindrisk overflade) i rektangulære koordinater ligningen , og i cylindriske koordinater har den en meget simpel ligning . Det er her navnet "cylindrisk" kommer fra for dette koordinatsystem. $Z$ $x^{2}+y^{2}=c^{2}$ $\rho=c$

Overgang til andre koordinatsystemer

Da det cylindriske koordinatsystem kun er et af mange tredimensionelle koordinatsystemer, er der love for transformation af koordinater mellem det cylindriske koordinatsystem og andre systemer.

Kartesisk koordinatsystem

Orterne af et cylindrisk koordinatsystem er relateret til de kartesiske orts ved følgende relationer:

${\begin{cases}{\vec {e}}_{\rho }=\cos \varphi {\vec {e}}_{x}+\sin \varphi {\vec {e}}_ {y},\\{\vec {e}}_{\varphi }=-\sin \varphi {\vec {e}}_{x}+\cos \varphi {\vec {e}}_{y },\\{\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{z},\end{cases}}$

og danner en højre tripel:

${\begin{cases}{\vec {e}}_{\rho }\time {\vec {e}}_{\varphi }={\vec {e}}_{z},\\ {\vec {e}}_{z}\time {\vec {e}}_{\rho }={\vec {e}}_{\varphi },\\{\vec {e}}_{ \varphi }\times {\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{\rho }.\end{cases}}$

De omvendte relationer har formen:

${\begin{cases}{\vec {e}}_{x}=\cos \varphi {\vec {e}}_{\rho }-\sin \varphi {\vec {e}}_ {\varphi },\\{\vec {e}}_{y}=\sin \varphi {\vec {e}}_{\rho}+\cos \varphi {\vec {e}}_{\ varphi },\\{\vec {e}}_{z}={\vec {e}}_{z}.\end{cases}}$

Loven om transformation af koordinater fra cylindrisk til kartesisk:

{\begin{cases}x=\rho \cos \varphi ,\\y=\rho \sin \varphi ,\\z=z.\end{cases))

Loven om transformation af koordinater fra kartesisk til cylindrisk:

{\begin{cases}\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\\\varphi ={\mathrm {arctg}}\left({\dfrac {y}{x }}\right),\\z=z.\end{cases}}

Jacobianeren er:

J=\rho.

Differentielle egenskaber

Cylindriske koordinater er ortogonale, så den metriske tensor har en diagonal form i dem:

g_{{ij}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\rho ^{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\quad g^{{ij}}={\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1/\rho ^{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.

Kurve længde differential kvadrat

ds^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}\,d\varphi ^{2}+dz^{2}.

Lame-koefficienterne har formen:

H_{\rho }=1,\quad H_{\varphi }=\rho ,\quad H_{z}=1.

Christoffel symboler : ${\displaystyle \{\rho ,\;\varphi ,\;z\))$

\Gamma _{22}^{1}=-\rho ,\quad \Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}={\frac {1}{\ rho }}.

Resten er nul.

Differentialoperatorer

Gradient i cylindrisk koordinatsystem:

{\mathrm {grad}}\,\psi ={\vec e}_{\rho }{\frac {\partial \psi }{\partial \rho }}+{\vec e}_{\varphi }{ \frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \psi }{\partial \varphi }}+{\vec e}_{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z} }.

Divergens i et cylindrisk koordinatsystem:

{\mathrm {div}}\,{\vec a}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \rho a_{\rho }}{\partial \rho }}+{\ frac {1}{\rho }}{\frac {\partial a_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial a_{z}}{\partial z}}.

Rotor i cylindrisk koordinatsystem:

{\mathrm {rot}}\,{\vec a}={\mathrm {det}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\rho }}{\vec e}_{\rho }& {\vec e}_{\varphi }&{\frac {1}{\rho }}{\vec e}_{z}\\{\frac {\partial }{\partial \rho }}&{\ frac {\partial }{\partial \varphi }}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\a_{\rho }&\rho a_{\varphi}&\ a_{z}\end{ pmatrix}}={\vec e}_{\rho }\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial a_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial a_{\varphi }}{\partial z}}\right)+{\vec e}_{\varphi }\left({\frac {\partial a_{\rho }}{\partial z}} -{\frac {\partial a_{z}}{\partial \rho }}\right)+{\vec e}_{z}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac { \partial \rho a_{\varphi }}{\partial \rho }}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial a_{\rho }}{\partial \varphi }}\right ).

Udtryk for radiusvektoren , hastighed og acceleration i cylindriske koordinater

$r(t)=\rho {\vec {e}}_{\rho }+z{\vec {e}}_{z}$

${\dot {r}}(t)={\dot {\rho }}{\vec {e}}_{\rho }+\rho {\dot {\varphi }}{\vec {e ))_{\varphi }+{\dot {z}}{\vec {e}}_{z}$

${\ddot {r}}(t)=({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\varphi }}^{2}){\vec {e}}_{\rho }+(2{\dot {\rho }}{\dot {\varphi }}+{\ddot {\varphi }}\rho ){\vec {e}}_{\varphi}+{\ddot {z }}{\vec {e}}_{z}$

Se også

Litteratur

Khalilov V.R., Chizhov G.A., Dynamics of classical systems: Proc. godtgørelse. - M .: Moscow State Universitys forlag, 1993. - 352 s.

Koordinatsystemer
Navn på koordinater	Abscisse Ordinere Applikation
Typer af koordinatsystemer	Retlineært koordinatsystem Kurvilineært koordinatsystem
2D koordinater	Tokantede koordinater Bicentriske koordinater Hyperbolske koordinater Polære koordinater Bipolære koordinater Parabolske koordinater Elliptiske koordinater Tetracykliske koordinater Trilineære koordinater
3D koordinater	Cylindriske koordinater Kugleformede koordinater Bisfæriske koordinater Toroidale koordinater Cylindriske parabolske koordinater Bicylindriske koordinater Ellipsoide koordinater Koniske koordinater Pentasfæriske koordinater Dipolært koordinatsystem
$n$ -dimensionelle koordinater	Cartesiske koordinater Affine koordinater Projektive koordinater Plücker koordinater barycentriske koordinater
Fysiske koordinater	Rindler koordinater Fødte koordinater Himmelsk koordinatsystem Geografiske koordinater Hovedortodromiske koordinatsystem
Relaterede definitioner	Koordinat metode Oprindelse Koordinatakse Vektor Orth referencesystem Benchmark Lamme koefficienter Metrisk tensor