Transcendentalt tal

Et transcendentalt tal (fra latin transcendere - at passere, at overskride) er et reelt eller komplekst tal , der ikke er algebraisk - med andre ord et tal, der ikke kan være roden af et polynomium med heltalskoefficienter (ikke identisk lig med nul) [ 1] . Man kan også i definitionen erstatte polynomier med heltalskoefficienter med polynomier med rationelle koefficienter, da de har samme rødder.

Egenskaber

Alle komplekse tal er opdelt i to ikke-overlappende klasser - algebraiske og transcendentale. Fra mængdeteoriens synspunkt er der meget flere transcendentale tal end algebraiske: sættet af transcendentale tal er kontinuerligt , og sættet af algebraiske tal kan tælles .

Ethvert transcendentalt reelt tal er irrationelt , men det modsatte er ikke sandt. For eksempel er et tal irrationelt, men ikke transcendent: det er roden af en ligning (og er derfor algebraisk). ${\sqrt {2}}$ $x^{2}-2=0$

I modsætning til mængden af algebraiske tal, som er et felt , danner transcendentale tal ikke nogen algebraisk struktur med hensyn til aritmetiske operationer - resultatet af addition, subtraktion, multiplikation og division af transcendentale tal kan være både et transcendentalt tal og et algebraisk tal. Der er dog nogle begrænsede måder at få et transcendent nummer fra et andet transcendent nummer.

Hvis er et transcendentalt tal, så er og også transcendentalt. $t$ $-t$ $1/t$
Hvis er et ikke-nul algebraisk tal og er et transcendentalt tal, så er de transcendentale. $-en$ $t$ $a\pm t,\ at,\ a/t,\ t/a$
Hvis er et transcendentalt tal og er et naturligt tal , så er det også transcendentalt. $t$ $n$ ${\displaystyle t^{\pm n))$ ${\sqrt[{n}]{t))$

Målet for irrationalitet af næsten ethvert (i betydningen af Lebesgue-målet ) transcendentalt tal er 2.

Eksempler på transcendentale tal

Nummer $\pi$ ( F. von Lindemann , 1882).
Nummer $e$ ( Sh. Eremit , 1873).
Gelfonds konstant ( A. O. Gelfond , 1934). $e^{\pi}$
${\displaystyle \pi +e^{\pi ))$ , ( Yu.V. Nesterenko , 1996). ${\displaystyle \pi *e^{\pi ))$
Decimallogaritme af ethvert naturligt tal [2] , undtagen tal på formen . $10^{n}$
$\sin a,\cos a$ og , for ethvert algebraisk tal , der ikke er nul (ved Lindemann-Weierstrass-sætningen ). $\mathrm {tg} \,a$ $-en$

Historie

For første gang blev begrebet et transcendentalt tal (og dette udtryk selv) introduceret af Leonhard Euler i hans værk " De relation inter tres pluresve quantitates instituenda " (1775) [3] . Euler beskæftigede sig med dette emne allerede i 1740'erne [4] ; han sagde, at værdien af logaritmen for rationelle tal ikke er algebraisk (" radikal ", som de sagde dengang) [5] , bortset fra det tilfælde, hvor Eulers udsagn for nogle rationelle viste sig at være sand, men blev ikke bevist før 20. århundrede. $\log _{a}{b}$ $a,b$ ${\displaystyle b=a^{c))$ $c.$

Eksistensen af transcendentale tal blev bevist af Joseph Liouville i 1844 , da han udgav et teorem om, at et algebraisk tal ikke kan tilnærmes for godt med en rationel brøk. Liouville konstruerede konkrete eksempler (" Liouville-tal "), som blev de første eksempler på transcendentale tal.

I 1873 beviste Charles Hermite transcendensen af tallet e , bunden af naturlige logaritmer. I 1882 beviste Lindemann transcendenssætningen for graden af et tal e med ikke-nul algebraisk eksponent, hvilket beviste transcendensen af tallet og uløseligheden af cirkelkvaderingsproblemet . $\pi$

I 1900, på II International Congress of Mathematicians , formulerede Hilbert , blandt de problemer, han formulerede, det syvende problem : "Hvis , er et algebraisk tal, og er algebraisk, men irrationelt, er det sandt, at det er et transcendentalt tal?" Især er tallet transcendentalt ? Dette problem blev løst i 1934 af Gelfond , som beviste, at alle sådanne tal faktisk er transcendentale. $a\neq 0.1$ $-en$ $b$ $a^{b}$ $2^{{\sqrt 2}}$

Variationer og generaliseringer

I Galois-teorien betragtes en mere generel definition: et element i en feltudvidelse P er transcendentalt, hvis det ikke er en rod af et polynomium over P.

Der er en analog til teorien om transcendentale tal for polynomier med heltalskoefficienter defineret på feltet af p-adiske tal [1] .

Nogle åbne spørgsmål

Det vides ikke, om tallet er rationelt eller irrationelt , algebraisk eller transcendent [6] . $\ln\pi$
Målingen af irrationalitet for tal er ukendt [7] . $\ln 2,\ln 3$

Se også

Noter

↑ 1 2 Encyclopedia of Mathematics, 1985 .
↑ Gelfond A. O. , Transcendentale og algebraiske tal, M., 1952.
↑ Zhukov A. Algebraiske og transcendentale tal . Hentet: 9. august 2017. (ubestemt)
↑ Gelfond A. O. Transcendentale og algebraiske tal. - M. : GITTL, 1952. - S. 8. - 224 s.
↑ Euler, L. Introductio in analysin infinitorum (lat.) . — Lausanne, 1748.
↑ Weisstein, Eric W. Number π (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ Weisstein, Eric W. Mål for irrationalitet hos Wolfram MathWorld .

Litteratur

Sprindzhuk V. G. Transcendentalt nummer // Mathematical Encyclopedia : [i 5 bind] / Kap. udg. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1985. - T. 5: Slu - Ya. - S. 426-427. - 1248 stb. : syg. — 150.000 eksemplarer.
Feldman N. Algebraiske og transcendentale tal // Kvant . - 1983. - Nr. 7 . - S. 2-7 .

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk catalansk Stor russer Britannica (online) Universalis
I bibliografiske kataloger	BNF : 11939601n J9U : 987007538746705171 LCCN : sh85093223 NDL : 00573599 NKC : ph215331

Numeriske systemer
Tællelige sæt	Naturlige tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationel ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beregnbar Aritmetik
Reelle tal og deres forlængelser	Ægte ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Kompleks ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonioner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Skifter Dobbelt Hyperkompleks Superrealistisk Hypermateriale surrealistisk
Numeriske udvidelsesværktøjer	Cayley-Dixon procedure Frobenius sætning Hurwitz-sætning
Andre nummersystemer	kardinalnumre Ordinaltal (transfinite, ordinaler) p-adic Overnaturlige tal intervaltal
se også	dobbelte tal Irrationelle tal transcendentale tal nummerstråle Biquaternion

Irrationelle tal
Apéry konstant ( ζ(3) ) Erdős-Borwein konstant ( E ) Feigenbaum konstanter Sofomorisk drøm Primtalskonstant (ρ) Plastnummer (ρ) Logaritme af to (ln 2) 12. rod af 2 ( 12 √ 2 ) Kvadratroden af 2 ( √ 2 ) Kvadratroden af 3 ( √ 3 ) Kvadratroden af 5 ( √5 ) Gyldne forhold (φ) Super gyldne snit (ψ) Sølvsektion ( δS ) e π Gelfond konstant ( e π ) Gelfond-Schneider konstant ( 2 √ 2 ) Invers Fibonacci konstant (ψ)
transcendental Trigonometrisk