Gratis modul

Et frit modul  er et modul F over en ring R (normalt anset for at være associativt med et identitetselement), hvis det enten er nul eller har en basis , det vil sige et ikke-tomt system S af elementer e 1 ,...e i … , som er lineært uafhængig og genererer F . Selve ringen R , betragtet som et venstremodul over sig selv, har åbenbart en basis bestående af et enkelt element i ringen, og hvert modul med en endelig basis af n elementer er isomorf til en direkte sum R n af ringe R betragtet som moduler .

Det er vigtigt at bemærke, at et frit modul i nogle tilfælde kan have to endelige baser bestående af et forskelligt antal elementer. Da modulet M i dette tilfælde vil være isomorft for både Rm og Rn , hvor m ≠n , så er dette tilfælde muligt, hvis og kun hvis der over ringen R eksisterer matricer A med størrelsen m×n og B med størrelsen n ×m , sådan at AB=I m og BA=I n , hvor I m og I n  er enhedskvadratmatricer. Det er klart, at i det tilfælde, hvor ringen R indrømmer en homomorfi i en divisionsring (dette vil for eksempel være tilfældet i tilfælde af kommutative ringe), er denne situation umulig på grund af matrixens rangegenskab. I dette tilfælde kaldes antallet af grundelementer rangen af ​​ringen R og er betegnet med rang R eller rk R . I tilfælde af et vektorrum er rummets rang dets dimension.

Hvis et modul har en uendelig basis, så er alle sådanne baser ækvivalente.

Da enhver Abelsk gruppe er et modul over ringen af ​​heltal Z , gælder alt ovenstående også for frie Abelske grupper.

Generisk egenskab

Egenskaben ved et modul til at være gratis kan udtrykkes i kategoriteori . En lineær funktion mellem frie moduler er entydigt bestemt af dens værdier på basis , omvendt kan en vilkårlig funktion defineret på basis udvides til en lineær funktion. Disse egenskaber ved grundlaget kan formaliseres ved hjælp af den universelle ejendom .

Hvert modul over en ring R kan associeres med dets støttesæt: der er en glemsom funktion F  : R-Mod → Sæt . Lad A  være et eller andet R -modul; i: X → F(A)  er en funktion mellem mængder. Vi siger, at A  er et frit modul med vektorbasis i ( X ), hvis og kun hvis der for en hvilken som helst afbildning findes en unik lineær afbildning , således at .

Generaliseringer

Nogle teoremer om gratis moduler forbliver sande for bredere klasser af ringe. Et projektivt modul  er præcis den direkte sum af et gratis modul, så for at bevise et udsagn om et projektivt modul, kan vi overveje dets indlejring i et gratis modul og bruge et grundlag. Endnu fjernere generaliseringer er flade moduler , som kan repræsenteres som en direkte grænse for endeligt genererede frie moduler, og torsionsfrie moduler .

Litteratur