Cauchy fordeling

Cauchy fordeling
Den grønne kurve svarer til standard Cauchy-fordelingenSandsynlighedstæthed
Farverne er i overensstemmelse med skemaet ovenfordistributionsfunktion
Betegnelse	${\mathrm {C}}(x_{0},\gamma )$
Muligheder	$x_{0}$ - skiftfaktor - skalafaktor $\gamma > 0$
Transportør	$x\in (-\infty ;+\infty )$
Sandsynlighedstæthed	${\frac {1}{\pi \gamma \,\left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right] }}$
distributionsfunktion	${\frac {1}{\pi }}{\mathrm {arctg}}\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2} }$
Forventet værdi	eksisterer ikke
Median	$x_{0}$
Mode	$x_{0}$
Spredning	eksisterer ikke
Asymmetrikoefficient	eksisterer ikke
Kurtosis koefficient	eksisterer ikke
Differentiel entropi	$\ln(4\,\pi \,\gamma )$
Genererende funktion af momenter	ikke bestemt
karakteristisk funktion	$\exp(x_{0}\,i\,t-\gamma \,\|t\|)$

Cauchy - fordelingen i sandsynlighedsteori (også kaldet Lorentz - fordelingen og Breit - Wigner - fordelingen i fysik ) er en klasse af absolut kontinuerte fordelinger . En tilfældig variabel med en Cauchy-fordeling er et standardeksempel på en variabel uden middelværdi og ingen varians .

Definition

Lad fordelingen af en stokastisk variabel være givet ved at tætheden har formen: $x$ $f_{X}(x)$

f_{X}(x)={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2} \right]}}={1 \over \pi }\venstre[{\gamma \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right]

hvor

$x_{0}\in {\mathbb {R}}$ er skiftparameteren;
$\gamma >0$ er skalaparameteren.

Så siger de, at den har en Cauchy-distribution og skriver . Hvis og , så kaldes en sådan fordeling standard Cauchy-fordelingen. $x$ $X\sim {\mathrm {C}}(x_{0},\gamma )$ $x_{0}=0$ $\gamma=1$

Distributionsfunktion

Cauchy- fordelingsfunktionen har formen:

F_{X}(x)={\frac {1}{\pi }}\,{\mathrm {arctg}}\,\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\ højre)+{\frac {1}{2}}

Det er strengt stigende og har en omvendt funktion :

F_{X}^{{-1}}(x)=x_{0}+\gamma \,{\mathrm {tg}}\,\venstre[\pi \,\venstre(x-{1 \over 2 }\right)\right].

Dette gør det muligt at generere en prøve fra Cauchy-fordelingen ved hjælp af den inverse transformationsmetode .

Øjeblikke

Siden Lebesgue-integralet

\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}\!x^{{\alpha }}f_{X}(x)\,dx

er ikke defineret for , og heller ikke den matematiske forventning (selvom integralet af 1. moment i betydningen af hovedværdien er: ), hverken variansen eller momenterne af højere orden af denne fordeling er ikke defineret. Det siges nogle gange, at den matematiske forventning ikke er defineret, og at variansen er uendelig. $\alpha \geqslant 1$ $\lim \limits _{{c\rightarrow \infty }}\int \limits _{{-c}}^{{c}}x\cdot {1 \over \pi }\left[{\gamma \over ( x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right]\,dx=x_{0}$

Andre egenskaber

Cauchy-fordelingen er uendelig delelig .
Cauchy-fordelingen er stabil . Især har stikprøvegennemsnittet for en prøve fra selve standard Cauchy-fordelingen en standard Cauchy-fordeling: hvis , så $X_{1},\ldots ,X_{n}\sim {\mathrm {C}}(0,1)$

\overline {X}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}\sim {\mathrm {C}}(0,1)

Forholdet til andre distributioner

Hvis , så $U\simU[0,1]$

x_{0}+\gamma \,{\mathrm {tg}}\,\left[\pi \left(U-{1 \over 2}\right)\right]\sim {\mathrm {C}}( x_{0},\gamma )

Hvis er uafhængige normale tilfældige variabler sådan, at , Så $X_{1},X_{2}$ $X_{i}\sim {\mathrm {N}}(0,1),\;i=1,2$

{\frac {X_{1}}{X_{2}}}\sim {\mathrm {C}}(0,1)

[1] [2] .

Standard Cauchy-fordelingen er et specialtilfælde af Students distribution :

{\mathrm {C}}(0,1)\equiv {\mathrm {t}}(1)

Optræden i praktiske problemer

Cauchy-fordelingen karakteriserer længden af segmentet afskåret på abscissen af en ret linje, fastgjort til et punkt på y-aksen, hvis vinklen mellem linjen og y-aksen har en ensartet fordeling på intervallet (−π ; π) (det vil sige, at linjens retning er isotrop på planet). Grundlæggende betyder dette følgende [1] :

Hvis , så (− ), derfor . På grund af tangentens periodicitet betyder ensartethed på intervallet (−π/2; π/2) samtidig ensartethed på intervallet (−π; π). $U\simU[0,1]$ $\pi \ \left(U-{1 \over 2}\right)\sim$ $U$ $\pi /2,\pi /2$ $\mathrm {tg} \,\left[\pi \left(U-{1 \over 2}\right)\right]\sim \mathrm {C} (0,1)$

I fysik beskriver Cauchy-fordelingen (også kaldet Lorentz-formen) profilerne af ensartet udvidede spektrallinjer.
Cauchy-fordelingen beskriver amplitude-frekvenskarakteristika for lineære oscillatoriske systemer i nærheden af resonansfrekvenser.

Noter

↑ 1 2 Galkin V. M., Erofeeva L. N., Leshcheva S. V. Estimater af Cauchy-fordelingsparameteren. Forhandlinger fra Nizhny Novgorod State Technical University. R. E. Alekseeva. 2014. nr. 2(104). S. 314
↑ Cauchy Distribution Arkiveret 29. juli 2017 på Wayback Machine // risktheory.novosyolov.com

Sandsynlighedsfordelinger
Diskret	Bernoulli Binomial Geometrisk hypergeometrisk Logaritmisk Negativ binomial Poisson Diskret uniform Multinomial
Absolut kontinuerlig	Beta Weibulla Gamma- hypereksponentiel Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gaussisk) Logistisk Nakagami Pareto Pearson halvcirkelformet kontinuerlig uniform Ris Rayleigh Studerende Tracey - Vidoma Fisher Chi-kvadrat Eksponentiel Varians-gamma Multivariat normal kopula