Breit-Wigner formel

Breit-Wigner-formlen eller den relativistiske Breit-Wigner-fordeling er en formel, der beskriver en kontinuerlig sandsynlighedsfordeling ved hjælp af en sandsynlighedstæthed givet i formen

f(E)={\frac {k}{\left(E^{2}-M^{2}\right)^{2}+M^{2}\Gamma ^{2))} ~,

hvor K er en proportionalitetskonstant lig med og Ligningen er skrevet ved hjælp af naturlige enheder , hvor ħ = c = 1. Opkaldt efter Gregory Breit og Eugene Wigner , som opnåede den i 1936 for nuklear resonans [1] . $k={\frac {2{\sqrt {2}}M\Gamma \gamma }{\pi {\sqrt {M^{2}+\gamma ))))$ $\gamma ={\sqrt {M^{2}\left(M^{2}+\Gamma ^{2}\right)))$

Formlen bruges ofte til at modellere resonanser (ustabile partikler) i højenergifysik. I dette tilfælde er E energien i massecentersystemet, der forårsager resonansen, M er massen af resonansen, og Γ er bredden af resonansen ( henfaldsbredde ) relateret til dens gennemsnitlige levetid ifølge formlen τ = 1 / Γ, (i enheder SI-formlen vil blive skrevet som τ = ħ / Γ). Sandsynligheden for forekomst af en resonans ved en given energi E er proportional med f ( E ), således at plottet af forekomsten af ustabile partikler versus energi har form af en relativistisk Breit-Wigner-fordeling. Bemærk, at for værdier af E , således at | E 2 - M 2 | = MΓ , (deraf | E - M | = Γ / 2 for M >> Γ ), værdien af f falder til det dobbelte af dens maksimale værdi, hvilket retfærdiggør navnet Г bredde ved halv maksimum .

I grænsen for forsvindende bredde, Γ → 0, bliver partiklen stabil, da den Lorentziske fordeling bliver uendeligt skarp 2 M δ( E 2 — M 2 ).

Generelt kan Γ også være en funktion af E ; denne afhængighed er som regel kun vigtig, når Γ ikke er lille sammenlignet med M , og det er nødvendigt at tage højde for breddens afhængighed af faserummets volumen . For eksempel under henfaldet af en rho-meson til et par pioner . Når resonansen er bred, bør faktoren M 2 , der kommer før G 2 , også ændres til E 2 (eller E 4 / M 2 osv.) [2] .

Formen af den relativistiske Breit-Wigner-fordeling opstår fra udbredelsen af en ustabil partikel, som har en nævner af formen p 2 - M 2 + i MΓ . Her er p 2 kvadratet af partiklens fire-momentum . Så er propagatoren i hvilerammen proportional med den kvantemekaniske amplitude af henfaldet, der bruges til at rekonstruere resonansen [3]

{\frac {\sqrt {k}}{\left(E^{2}-M^{2}\right)+iM\Gamma }}.

Den resulterende sandsynlighedsfordeling er proportional med kvadratet af amplitudemodulet, ligesom i den relativistiske Breit-Wigner-fordeling for sandsynlighedstæthedsfunktionen.

Formen af denne fordeling svarer til løsningen af den klassiske bevægelsesligning for en dæmpet oscillator med en ekstern sinusformet kraft. Den har standardformen for Lorentz- resonansen eller Cauchy-fordelingen , men inkluderer de relativistiske variable S = p 2 , her = E 2 .

Fordelingen er løsningen af en differentialligning analog med de klassiske tvungne svingninger af et pendul med en tidsgennemsnitlig indgangseffekt

\left\{{\begin{array}{l}f'({\text{E)))\left(\left({\text{E))^{2}-M^{2} \right)^{2}+\Gamma ^{2}M^{2}\right)-4{\text{E}}f({\text{E}})(M-{\text{E} })({\text{E}}+M)=0\\[10pt]f(M)={\frac {k}{\Gamma ^{2}M^{2}}}\end{array} }\ret\}

Noter

↑ Breit G. og Wigner E. Indfangning af langsomme neutroner // Fysisk gennemgang : tidsskrift . - 1936. - Bd. 49 , nr. 7 . — S. 519 . - doi : 10.1103/PhysRev.49.519 .
↑ Bohm A., Sato Y. Relativistiske resonanser: Deres masser, bredder, levetider, superposition og kausal udvikling // Physical Review D : journal . - 2005. - Bd. 71 , nr. 8 . - doi : 10.1103/PhysRevD.71.085018 .
↑ Brown, L.S. (1994). Quantum Field Theory , Cambridge University press, ISBN 978-0-521-46946-3 , kapitel 6.3.