Invers konverteringsmetode

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 17. april 2019; checks kræver 4 redigeringer .

Den inverse transformationsmetode ( N. V. Smirnovs transformation ) er en metode til at generere stokastiske variable med en given fordelingsfunktion ved at modificere driften af en generator af ensartet fordelte tal.

Beskrivelse af algoritmen

Lade være en vilkårlig fordeling funktion . Lad os vise, hvordan man ved at have en prøvegenerator fra den standard kontinuerlige ensartede fordeling får en prøve fra fordelingen givet af fordelingsfunktionen . $F(x)$ $F(x)$

Strengt stigende distributionsfunktion

Hvis en funktion er strengt stigende over hele definitionsdomænet , så er den bijektiv og har derfor en omvendt funktion . $F:\mathbb {R} \to [0,1]$ $F^{-1}:[0,1]\to \mathbb {R}$

Lad være en prøve fra en standard kontinuerlig ensartet fordeling. $U_{1},\ldots ,U_{n}\sim U[0,1]$
Så , hvor , er et eksempel fra fordelingen af interesse for os. $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $X_{i}=F^{-1}(U_{i}),\;i=1,\ldots ,n$

Eksempel

Lad det være nødvendigt at generere en stikprøve fra eksponentialfordelingen med parameteren . Funktionen af denne fordeling er strengt stigende, og dens omvendte funktion har formen . Således, hvis er en prøve fra en standard kontinuerlig ensartet fordeling, så hvor $\lambda>0$ ${\displaystyle F(x)=1-e^{-\lambda x))$ $F^{-1}(x)=-{\frac {1}{\lambda }}\,\ln(1-x)$ $U_{1},\ldots ,U_{n}$ $X_{1},\ldots ,X_{n}$

X_{i}=-{\frac {1}{\lambda }}\ln(1-U_{i}),\;i=1,\ldots ,n

er den ønskede stikprøve fra eksponentialfordelingen.

Ikke-aftagende distributionsfunktion

Hvis en funktion bare ikke falder, så eksisterer dens omvendte funktion muligvis ikke. I dette tilfælde er det nødvendigt at ændre ovenstående algoritme . $F:\mathbb {R} \to [0,1]$

Lad være en prøve fra en standard kontinuerlig ensartet fordeling. $U_{1},\ldots ,U_{n}\sim U[0,1]$
Så , hvor , er et eksempel fra fordelingen af interesse for os. At den nøjagtige nedre grænse er lig med minimum er opfyldt på grund af kontinuiteten i fordelingsfunktionen til højre, hvilket betyder, at den nøjagtige nedre grænse nås. $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $X_{i}=\inf\{x\mid F(x)=U_{i}\}=\min\{x\midt F(x)=U_{i}\},\;i= 1,\ldots ,n$

Noter

Hvis strengt stigende, så . Den modificerede algoritme for en vilkårlig distributionsfunktion inkluderer således et separat analyseret tilfælde af en strengt stigende distributionsfunktion. $F(x)$ ${\displaystyle F^{-1}(u)=\inf\{x\midt F(x)=u\))$
På trods af den tilsyneladende universalitet har denne algoritme alvorlige praktiske begrænsninger. Selvom fordelingsfunktionen er strengt stigende, er det ikke altid let at beregne dens inverse, især hvis den ikke er givet som en elementær funktion , som for eksempel i tilfælde af en normalfordeling . Ved en generel fordelingsfunktion er det oftest nødvendigt at finde den nøjagtige nedre grænse numerisk , hvilket kan være meget tidskrævende.

Matematisk begrundelse

Lad , det vil sige . Overvej fordelingsfunktionen af en stokastisk variabel . $U\sim U[0,1]$ $F_{U}(u)=u,\;u\in [0,1]$ $X=\inf\{x\midt F(x)=U\}$

\mathbb {P} (X\leq x)=\mathbb {P} (\inf\{x'\mid F(x')=U\}\leq x)=\mathbb {P} (U \leq F(x))=F_{U}(F(x))=F(x)

Det vil sige, at den har en fordelingsfunktion . $x$ $F(x)$

Se også

Litteratur

Vadzinsky R.N. Håndbog i sandsynlighedsfordelinger. - Skt. Petersborg: Nauka, 2001, 295 s.