Efterfølgende
I matematik er en sekvens et nummereret sæt af nogle objekter, blandt hvilke gentagelser er tilladt, og rækkefølgen af objekterne har betydning. Nummerering sker oftest med naturlige tal . For mere generelle tilfælde, se Variationer og generaliseringer .
I denne artikel antages rækkefølgen at være uendelig; tilfældene af en endelig rækkefølge er specificeret separat.
Eksempler
Eksempler på numeriske sekvenser:
- Et eksempel på en endelig rækkefølge ville være en række af huse på en gade.
- Et polynomium i en variabel kan betragtes som en endelig sekvens af dens koefficienter eller en uendelig under antagelsen om .
![{\displaystyle a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62d96454e53be89675103bfec1931b416c6b6814)
![a_{i}=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1d2e283d81c74e9c6742dcbbcad8c622ef0c3c9)
![{\displaystyle i>n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88568023bcb42b163446ab1cc4b343f4ba079e95)
- Rækkefølgen af primtal er en af de bedst kendte ikke-trivielle uendelige talsekvenser .
- Hvert reelt tal kan forbindes med sin egen sekvens, kaldet en fortsat brøk - desuden er det for rationelle tal altid endeligt, for algebraiske irrationale tal er det uendeligt (for kvadratiske irrationaliteter er det periodisk ), og for transcendentale tal er det uendeligt og ikke periodisk, selvom individuelle tal kan forekomme i hende et uendeligt antal gange. For eksempel er den fortsatte brøk for et tal endelig og lig med , og den fortsatte brøk af et tal er allerede uendelig, ikke periodisk og ser sådan ud: .
![{\displaystyle {\frac {13}{9}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58512bde795cf12f145e3459603a3f57aba3ca10)
![{\displaystyle [1;2,4]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbfcdda11a79d73827e13db92ccdff92209166d1)
![\pi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a)
![{\displaystyle [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1, 1,15,\dots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9949bebd7b4d5faf5cd42b971c07589fc3b0c818)
- I geometri betragter man ofte en sekvens af regulære polygoner , hvis form kun afhænger af antallet af hjørner.
- Rækkefølgen kan endda bestå af mængder - for eksempel kan du sammensætte en sekvens, hvor den -th position indeholder mængden af alle polynomier af grad med heltalskoefficienter i én variabel.
![n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
![n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
Nummerrækkefølge
Strenge definition
Lad et sæt af elementer af vilkårlig natur blive givet.
![x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
Enhver afbildning af mængden af naturlige tal i en given mængde kaldes en sekvens [1] (af elementer i mængden ).
![\mathbb {N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf9a96b565ea202d0f4322e9195613fb26a9bed)
![x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
Notation
Formens sekvenser
Det er sædvanligt at skrive kompakt ved hjælp af parenteser:
![(x_{n})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/012f44968fa86fe5e3827e9957d957b08f2d9e42)
eller .
Krøllede seler bruges nogle gange:
![\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02d3ffd73dbe0cdd90a51b461341f72fdc95734d)
.
Slutsekvenser kan skrives i følgende form:
![(x_{n})_{{n=1}}^{N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12f15866c5deba2e2e6e96440d971d22d5b5a8eb)
.
Sekvensen kan også skrives som
![{\displaystyle (f(n))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb21e841fae3dbbdd0f76e83b6772e2a1be5d4d5)
,
hvis funktionen er blevet defineret før, eller dens notation kan erstattes af selve funktionen. For eksempel kan sekvensen skrives som .
![f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
![{\displaystyle f(n)=n^{3))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fcb2ede44e413899957c7a13bc398831f9f704a)
![(n^{3})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73e3f33232689e919b2e84a85bcbd6c0de9236d5)
Relaterede definitioner
- Billedet af et naturligt tal , nemlig elementet , kaldes det -. medlem af sekvensen , og ordenstallet for medlemmet af sekvensen kaldes dets indeks .
![n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
![x_{n}=f(n)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f03cc3e977a7736ddc83af79d2082d600ee2390e)
![n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
![n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
![x_{n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c5ea190699149306d242b70439e663559e3ffbe)
- Delmængden af mængden , som er dannet af sekvensens elementer, kaldes sekvensens bærer : mens indekset løber gennem sættet af naturlige tal, "bevæger" punktet, der "skildrer" medlemmerne af sekvensen, sig langs med transportør.
![f\venstre[{\mathbb {N}}\højre]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0c286b8d2ae0355f8a88ac047af2b8912a59df6)
![x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
- En undersekvens af en sekvens er en sekvens , der afhænger af , hvor er en stigende sekvens af naturlige tal. En undersekvens kan opnås fra den oprindelige sekvens ved at fjerne nogle medlemmer fra den.
![(x_{n})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/012f44968fa86fe5e3827e9957d957b08f2d9e42)
![k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
![(x_{{n_{k}}})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4702a7c43a15d796cabf2bf9b5ed5907fa751912)
![(n_{k})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e8cdaa9651326223a3aa24bb0d0a0748abd7574)
Noter
Måder at specificere numeriske sekvenser på
- Analytisk , hvor formlen definerer rækkefølgen af det n'te led, for eksempel:
![{\displaystyle a_{n}={\frac {n}{n+1))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14872f6e2aa09f068e1cdddcf1bdd96592a617f6)
- Tilbagevendende , For eksempel , Fibonacci-tal , hvor ethvert medlem af sekvensen er udtrykt i form af de foregående:
![{\displaystyle a_{1}=0,a_{2}=1,a_{n+2}=a_{n}+a_{n+1))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0ea36daeacd9e63920df6e91bae0a29939385c)
- verbal ; For eksempel kan du for enhver uendelig decimalbrøk opbygge en sekvens af dens decimaltilnærmelser i form af mangel eller overskydende, ved at runde brøken op eller ned i hver iteration.
Sekvens af handlinger
"En algoritme er en streng og logisk rækkefølge af handlinger til løsning af et problem (matematisk, informativ, osv.)." [3] [4]
Sekvenser i matematik
I matematik betragtes forskellige typer sekvenser:
Praktisk vigtige opgaver, der opstår i studiet af sekvenser:
- At finde ud af, om den givne rækkefølge er endelig eller uendelig. For eksempel er 51 Mersenne-primtal kendt for 2020 , men det er ikke bevist, at der ikke er flere sådanne tal.
- Søg efter mønstre blandt medlemmerne af sekvensen.
- Søg efter en analytisk formel, der kan tjene som en god tilnærmelse til det -te medlem af sekvensen. For eksempel, for th primtal, er en god tilnærmelse givet af formlen: (der er mere nøjagtige).
![n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
![n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
![{\displaystyle n\ln(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94bb8e56a0ed7596122c9181b286df28dd9633da)
- Forudsigelse af fremtidige tilstande, primært spørger, om en given sekvens konvergerer til en endelig eller uendelig grænse , numerisk eller ikke-numerisk , afhængigt af typen af mængde
![(](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ccb001e791b6a7340825e0e0b1a60e4e03f3d78)
![{\displaystyle X).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd9434bea92eb0afc84e853695c55c915e00daf5)
Variationer og generaliseringer
Se også
Noter
- ↑ Sekvens // Mathematical Encyclopedia (i 5 bind) . - M .: Soviet Encyclopedia , 1984. - T. 4. - S. 506-507.
- ↑ Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik: Referencematerialer . - Moskva: Uddannelse, 1988. - 416 s. (Russisk)
- ↑ Forklarende ordbog / udg. D. V. Dmitrieva. - AST, Lingua, Astrel, 2003. - 1584 s. - ISBN 5-17-016483-1 , 5-271-05995-2.
- ↑ I.G. Semakin, A.P. Shestakov. grundlæggende algoritmer og programmering . - Moskva: Publishing Center "Academy", 2016. - S. 10. - 303 s. — ISBN 978-5-4468-3155-5 . Arkiveret 21. januar 2022 på Wayback Machine
Litteratur