Efterfølgende

I matematik er en sekvens et nummereret sæt af nogle objekter, blandt hvilke gentagelser er tilladt, og rækkefølgen af objekterne har betydning. Nummerering sker oftest med naturlige tal . For mere generelle tilfælde, se Variationer og generaliseringer .

I denne artikel antages rækkefølgen at være uendelig; tilfældene af en endelig rækkefølge er specificeret separat.

Eksempler

Eksempler på numeriske sekvenser:

Et eksempel på en endelig rækkefølge ville være en række af huse på en gade.
Et polynomium i en variabel kan betragtes som en endelig sekvens af dens koefficienter eller en uendelig under antagelsen om . ${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n))$ $a_{i}=0$ $i>n$
Rækkefølgen af primtal er en af de bedst kendte ikke-trivielle uendelige talsekvenser .
Hvert reelt tal kan forbindes med sin egen sekvens, kaldet en fortsat brøk - desuden er det for rationelle tal altid endeligt, for algebraiske irrationale tal er det uendeligt (for kvadratiske irrationaliteter er det periodisk ), og for transcendentale tal er det uendeligt og ikke periodisk, selvom individuelle tal kan forekomme i hende et uendeligt antal gange. For eksempel er den fortsatte brøk for et tal endelig og lig med , og den fortsatte brøk af et tal er allerede uendelig, ikke periodisk og ser sådan ud: . ${\frac {13}{9}}$ $[1;2,4]$ $\pi$ $[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1, 1,15,\dots ]$
I geometri betragter man ofte en sekvens af regulære polygoner , hvis form kun afhænger af antallet af hjørner.
Rækkefølgen kan endda bestå af mængder - for eksempel kan du sammensætte en sekvens, hvor den -th position indeholder mængden af alle polynomier af grad med heltalskoefficienter i én variabel. $n$ $n$

Nummerrækkefølge

Strenge definition

Lad et sæt af elementer af vilkårlig natur blive givet. $x$

Enhver afbildning af mængden af naturlige tal i en given mængde kaldes en sekvens [1] (af elementer i mængden ). $f\colon {\mathbb {N}}\til X$ $\mathbb {N}$ $x$ $x$

Notation

Formens sekvenser

x_{1},x_{2},x_{3},\dots

Det er sædvanligt at skrive kompakt ved hjælp af parenteser:

(x_{n})

eller .

(x_{n})_{{n=1}}^{{\infty }}

Krøllede seler bruges nogle gange:

\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }

Slutsekvenser kan skrives i følgende form:

(x_{n})_{{n=1}}^{N}

Sekvensen kan også skrives som

(f(n))

hvis funktionen er blevet defineret før, eller dens notation kan erstattes af selve funktionen. For eksempel kan sekvensen skrives som . $f$ ${\displaystyle f(n)=n^{3))$ $(n^{3})$

Relaterede definitioner

Billedet af et naturligt tal , nemlig elementet , kaldes det -. medlem af sekvensen , og ordenstallet for medlemmet af sekvensen kaldes dets indeks . $n$ $x_{n}=f(n)$ $n$ $n$ $x_{n}$
Delmængden af mængden , som er dannet af sekvensens elementer, kaldes sekvensens bærer : mens indekset løber gennem sættet af naturlige tal, "bevæger" punktet, der "skildrer" medlemmerne af sekvensen, sig langs med transportør. $f\venstre[{\mathbb {N}}\højre]$ $x$
En undersekvens af en sekvens er en sekvens , der afhænger af , hvor er en stigende sekvens af naturlige tal. En undersekvens kan opnås fra den oprindelige sekvens ved at fjerne nogle medlemmer fra den. $(x_{n})$ $k$ $(x_{{n_{k}}})$ $(n_{k})$

Noter

Enhver kortlægning fra et sæt til sig selv er også en sekvens. $\mathbb {N}$
Rækkefølgen af elementer i en mængde kan betragtes som en ordnet delmængde , isomorf i forhold til mængden af naturlige tal . $x$ $x$

Måder at specificere numeriske sekvenser på

Analytisk , hvor formlen definerer rækkefølgen af det n'te led, for eksempel: $a_{n}={\frac {n}{n+1))$
Tilbagevendende , For eksempel , Fibonacci-tal , hvor ethvert medlem af sekvensen er udtrykt i form af de foregående: ${\displaystyle a_{1}=0,a_{2}=1,a_{n+2}=a_{n}+a_{n+1))$
verbal ; For eksempel kan du for enhver uendelig decimalbrøk opbygge en sekvens af dens decimaltilnærmelser i form af mangel eller overskydende, ved at runde brøken op eller ned i hver iteration.

Sekvens af handlinger

"En algoritme er en streng og logisk rækkefølge af handlinger til løsning af et problem (matematisk, informativ, osv.)." [3] [4]

Sekvenser i matematik

I matematik betragtes forskellige typer sekvenser:

numeriske sekvenser ;
sekvenser af elementer i et metrisk rum ;
tidsserier af både numerisk og ikke-numerisk karakter;
sekvenser af elementer i det funktionelle rum ;
sekvenser af tilstande for kontrolsystemer og automater .

Praktisk vigtige opgaver, der opstår i studiet af sekvenser:

At finde ud af, om den givne rækkefølge er endelig eller uendelig. For eksempel er 51 Mersenne-primtal kendt for 2020 , men det er ikke bevist, at der ikke er flere sådanne tal.
Søg efter mønstre blandt medlemmerne af sekvensen.
Søg efter en analytisk formel, der kan tjene som en god tilnærmelse til det -te medlem af sekvensen. For eksempel, for th primtal, er en god tilnærmelse givet af formlen: (der er mere nøjagtige). $n$ $n$ $n\ln(n)$
Forudsigelse af fremtidige tilstande, primært spørger, om en given sekvens konvergerer til en endelig eller uendelig grænse , numerisk eller ikke-numerisk , afhængigt af typen af mængde $($ $X).$

Variationer og generaliseringer

Medlemmerne af sekvensen behøver ikke at være nummereret med naturlige tal - for eksempel kan Fibonacci-sekvensen udvides til negative heltal .
Der er også såkaldte multidimensionelle sekvenser nummereret efter elementer i det kartesiske produkt . Disse omfatter for eksempel den multidimensionelle forlængelse af Thue-Morse-sekvensen . Et polynomium i flere variable kan også betragtes som en endelig dimensionel sekvens, hvor positionen er produktets koefficient . $\mathbb {N} \times \mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots x_{n-1},x_{n))$ $n$ ${\displaystyle i_{1},i_{2},\dots i_{n-1},i_{n))$ $x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\dots x_{n-1}^{i_{n-1}}x_{n}^{i_{ n}}$

Se også

Noter

↑ Sekvens // Mathematical Encyclopedia (i 5 bind) . - M .: Soviet Encyclopedia , 1984. - T. 4. - S. 506-507.
↑ Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik: Referencematerialer . - Moskva: Uddannelse, 1988. - 416 s. (Russisk)
↑ Forklarende ordbog / udg. D. V. Dmitrieva. - AST, Lingua, Astrel, 2003. - 1584 s. - ISBN 5-17-016483-1 , 5-271-05995-2.
↑ I.G. Semakin, A.P. Shestakov. grundlæggende algoritmer og programmering . - Moskva: Publishing Center "Academy", 2016. - S. 10. - 303 s. — ISBN 978-5-4468-3155-5 . Arkiveret 21. januar 2022 på Wayback Machine

Litteratur

Sekvens // Encyklopædisk ordbog over en ung matematiker / Komp. A. P. Savin. - M . : Pædagogik , 1985. - S. 242 -245. — 352 s.

Sekvenser og rækker
Sekvenser	Numerisk rækkefølge Grundlæggende rækkefølge Lineær tilbagevendende sekvens Fibonacci-tal krøllede tal Faktoriel Barker-sekvens de bruijn rækkefølge
Rækker, grundlæggende	Rækkesum Resten af rækken Betinget konvergens Skiftende serie Række multisektion
Talserier ( operationer med talserier )	harmoniske serier Leibniz-serien En række omvendte firkanter En række gensidige primtal Dirichlet række Mercator serien Række Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funktionelle rækker	Taylor-serien Laurent-serien Fourier-serien Trigonometrisk Fourier-serie trigonometriske serier Wiener-serien
Andre rækketyper	Neumann-serien Puiseux række