Pi-sætning

Pi-sætningen ( -sætning , -sætning ) er dimensionsanalysens grundlæggende sætning . Sætningen siger, at hvis der er en afhængighed mellem fysiske størrelser, der ikke ændrer form, når skalaerne af enheder i en bestemt klasse af enhedssystemer ændres, så svarer det til en afhængighed mellem, generelt set, et mindre antal dimensionsløse . mængder, hvor er det største antal mængder med uafhængige dimensioner blandt de oprindelige mængder. Pi-sætningen gør det muligt at etablere den generelle struktur af afhængigheden, som kun følger af kravet om, at den fysiske afhængighed skal være invariant, når enhedsskalaerne ændrer sig, selvom den specifikke form for afhængigheden mellem startværdierne er ukendt . $\Pi$ $\pi$ $n$ $p=nk$ $k$ $n$

Navnevariationer

I den russisksprogede litteratur om dimensionsteori og modellering bruges normalt navnet pi-sætning ( -sætning , -sætning ) [1] [2] [3] [4] , som kommer fra den traditionelle betegnelse af dimensionsløse kombinationer vha. det (store eller små bogstaver) græske bogstav " pi ". I engelsksproget litteratur forbindes sætningen normalt med navnet Edgar Buckingham , og i fransksproget litteratur med navnet Aimé Vashí . $\Pi$ $\pi$

Historisk baggrund

Tilsyneladende blev pi-sætningen første gang bevist af J. Bertrand [5] i 1878. Bertrand betragter særlige eksempler på problemer fra elektrodynamik og teorien om varmeledning, men hans præsentation indeholder klart alle hovedideerne i det moderne bevis for pi-sætningen, samt en klar indikation af brugen af pi-sætningen til modellering fysiske fænomener. Metoden til at anvende pi-sætningen ( dimensionsmetoden ) blev almindeligt kendt takket være Rayleighs værker (den første anvendelse af pi-sætningen i generel form [6] til afhængigheden af trykfaldet i rørledningen på definerende parametre går sandsynligvis tilbage til 1892 [7] , et heuristisk bevis ved hjælp af potensrækkeudvidelse i 1894 [8] ).

En formel generalisering af pi-sætningen til tilfældet med et vilkårligt antal mængder blev først formuleret af Vashí i 1892 [9] , og senere og tilsyneladende uafhængigt af A. Federman [10] , D. Ryabushinsky [11] i 1911 og Buckingham [ 12] i 1914. Efterfølgende generaliseres pi-sætningen af Hermann Weil i 1926 .

Udtalelse af sætningen

For nemheds skyld er formuleringen for positive værdier givet nedenfor . $q_{i}$

Lad os antage, at der er en sammenhæng mellem de fysiske størrelser , , , : $n$ $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{n}$

f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})=0,

hvis form ikke ændres, når skalaen af enheder i den valgte klasse af enhedssystemer ændres (hvis f.eks. klassen af enhedssystemer LMT anvendes, så ændres funktionens form ikke ved ændringer i standarderne af længde, tid og masse, f.eks. når du skifter fra målinger i kilogram, meter og sekunder til målinger i pund, tommer og timer). $f$

Lad os vælge blandt funktionens argumenter det største sæt af mængder med uafhængige dimensioner (et sådant valg kan generelt tages på forskellige måder). Så hvis antallet af mængder med uafhængige dimensioner er angivet, og de er nummereret med indeks , , , (ellers kan de omnummereres), så svarer den indledende afhængighed til afhængigheden mellem dimensionsløse mængder , , , : $k$ $en$ $2$ $\ldots$ $k$ $f$ $p=nk$ $\pi_{1}$ $\pi _{2}$ $\ldots$ $\pi _{p}$

F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0,

hvor er dimensionsløse kombinationer opnået fra de resterende begyndelsesværdier , , , ved at dividere med de valgte værdier i de relevante potenser: $\pi _{p}$ $q_{{k+1}}$ $q_{{k+2}}$ $\ldots$ $q_{n}$

\pi _{1}={\frac {q_{k+1}}{q_{1}^{a}\cdot q_{2}^{b}\cdot \ldots \cdot q_{k} ^{z}}},

\vprikker

\pi _{p}={\frac {q_{n}}{q_{1}^{A}\cdot q_{2}^{B}\cdot \ldots \cdot q_{k}^{ Z}}}

(dimensionsløse kombinationer eksisterer altid, fordi , , , er en samling af dimensionsuafhængige mængder af den største størrelse, og når der tilføjes en mængde mere til dem, opnås en samling med afhængige dimensioner). $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{k}$

Bevis

Beviset for pi-sætningen er meget simpelt [13] . Den oprindelige afhængighed mellem , , , kan betragtes som en vis afhængighed mellem , , , og , , , : $f$ $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{n}$ $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{k}$ $\pi_{1}$ $\pi _{2}$ $\ldots$ $\pi _{p}$

\Phi (q_{1},q_{2},\ldots ,q_{k},\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0 ,

Desuden ændres funktionens form heller ikke, når enhedsskalaen ændres. Det skal bemærkes, at på grund af størrelsernes dimensionelle uafhængighed , , , er det altid muligt at vælge en sådan skala af enheder, at disse mængder bliver lig med én, mens , , , , som er dimensionsløse kombinationer, ikke vil ændre deres værdier derfor med en sådan valgt skala af enheder, hvilket betyder, at funktionen på grund af invarians og i ethvert system af enheder faktisk kun afhænger af : $\Phi$ $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{k}$ $\pi_{1}$ $\pi _{2}$ $\ldots$ $\pi _{p}$ $\Phi$ $\pi _{p}$

\Phi (1,1,\ldots ,1,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})\equiv H(\pi _{1}, \pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0.

Særlige tilfælde

Anvendelse på en ligning løst med hensyn til én størrelse

En variant af pi-sætningen bruges ofte til den funktionelle afhængighed af en fysisk størrelse af flere andre , , , : $q$ $q_{1}$ $q_{2}$ $\ldots$ $q_{n}$

q=f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}).

I dette tilfælde angiver pi-sætningen, at afhængigheden er ækvivalent med forbindelsen

\pi =F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p}),

hvor

\pi ={\frac {q}{q_{1}^{\alpha }\cdot q_{2}^{\beta}\cdot \ldots \cdot q_{k}^{\omega ))} ,

og er defineret på samme måde som ovenfor. $\pi _{i}$

Tilfældet, hvor pi-sætningen giver formen af afhængighed op til en faktor

I et vigtigt særligt tilfælde, når afhængig af

q=f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})

alle argumenter har uafhængige dimensioner, ved at anvende pi-sætningen giver

\pi ={\frac {q}{q_{1}^{\alpha }\cdot q_{2}^{\beta}\cdot \ldots \cdot q_{k}^{\omega ))} ={\tekst{konst)),

det vil sige, at typen af funktionel afhængighed bestemmes op til en konstant. Værdien af konstanten bestemmes ikke af dimensionsteoriens metoder, og for at finde den er det nødvendigt at bruge eksperimentelle eller andre teoretiske metoder.

Bemærkninger om anvendelsen af pi-sætningen

Valget af argumenter med selvstændige dimensioner kan generelt set ske på forskellige måder, hvilket resulterer i, at der ved anvendelse af pi-sætningen formelt kan opnås forskellige udtryk. Men faktisk er de resulterende resultater ækvivalente, og fra én form for notation kan en anden opnås ved at gå over til kombinationer af dimensionsløse parametre.
I formuleringen af pi-sætningen er kravet om afhængighedsinvarians vigtigt. Hvis for eksempel, når man arbejdede i det internationale system af enheder (SI) i eksperimentet, opnåede man afhængigheden af den vej, som det faldende legeme tilbagelagde til tiden. $s$ $t$

s={\frac {9{,}81\cdot t^{2}}{2}},

så i denne form opfylder den ikke pi-sætningens betingelser.

Anvendelse af pi-sætningen til fysisk modellering

Pi-sætningen bruges til fysisk modellering af forskellige fænomener inden for aerodynamik , hydrodynamik , elasticitetsteori , vibrationsteori . Modellering er baseret på det faktum, at hvis for to naturlige processer (“model” og “naturlig”, for eksempel for luftstrømmen omkring et modelfly i en vindtunnel og luftstrømmen omkring et rigtigt fly), dimensionsløse argumenter (de kaldes lighedskriterier ) afhængig af

\pi =F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots,\pi _{p})

falder sammen, hvilket kan gøres ved et særligt valg af parametrene for "model" objektet, så falder de dimensionsløse værdier af funktionen også sammen. Dette gør det muligt at "genberegne" de dimensionelle eksperimentelle værdier af parametrene fra "model"-objektet til det "naturlige", selvom funktionens form er ukendt. Hvis det er umuligt at opnå sammenfaldet af alle lighedskriterier for "model" og "naturlige" objekter, så tyr de ofte til tilnærmet modellering, når lighed kun opnås efter kriterier, der afspejler indflydelsen af de mest signifikante faktorer, mens påvirkning af sekundære faktorer tages i betragtning tilnærmelsesvis på baggrund af yderligere overvejelser (følger ikke af dimensionsteorien). $\pi$ $F$

Eksempler på anvendelser af pi-sætningen

Klokkesvingningsfrekvens

En klokkes udsendelse af lyd sker som et resultat af dens egne svingninger , som kan beskrives inden for rammerne af den lineære elasticitetsteori . Frekvensen af den udsendte lyd afhænger af tætheden , Youngs modul og Poissons forhold mellem det metal, klokken er lavet af, og af det endelige antal geometriske dimensioner , , , af klokken: $f$ $\rho$ $E$ $\nu$ $l_{1}$ $l_{2}$ $\ldots$ $l_{N}$

f=F(\rho ,E,\nu ,l_{1},l_{2},\ldots ,l_{N}).

Hvis klassen af systemer af enheder LMT bruges, så kan f.eks. , og vælges som mængder med uafhængige dimensioner (de valgte mængder, der er inkluderet i det maksimale dimensionsuafhængige undersystem er understreget): $\rho$ $E$ $l_{1}$

f=F({\underline {\rho )),{\underline {E_{\!}}},\nu,{\underline {l_{1}}},l_{2},\ldots, l_{N}),

og anvendelse af pi-sætningen giver

{\frac {fl_{1}}{\sqrt {E/\rho }}}}=G\venstre(\nu,{\frac {l_{2}}{l_{1}}},{ \ frac {l_{3}}{l_{1}}},\ldots ,{\frac {l_{N}}{l_{1}}}\right).

Hvis der er to geometrisk lignende klokker lavet af det samme materiale, så er argumenterne for funktionen de samme for dem, så forholdet mellem deres frekvenser er omvendt proportionalt med forholdet mellem deres størrelser (eller omvendt proportionalt med terningroden af forholdet mellem deres masser). Dette mønster bekræftes eksperimentelt [14] . $G$

Bemærk, at hvis andre mængder, for eksempel , , og , blev valgt som mængder med uafhængige dimensioner, så ville anvendelsen af pi-sætningen formelt give et andet resultat: $\rho$ $E$ $l_{2}$

{\frac {fl_{2}}{\sqrt {E/\rho }}}=H\venstre(\nu,{\frac {l_{1}}{l_{2}}},{\ frac {l_{3}}{l_{2}}},\ldots ,{\frac {l_{N}}{l_{2}}}\right),

men de dragede konklusioner ville naturligvis forblive de samme.

Modstand under slowmotion af en bold i en viskøs væske

Med langsom (ved lave Reynolds-tal ) stationær bevægelse af en kugle i en viskøs væske, afhænger modstandskraften af væskens viskositet såvel som af kuglens hastighed og radius (væskedensitet er ikke blandt de bestemmende parametre, da virkningen af væskeinerti ved lave hastigheder er ubetydelig). Ansøger om afhængighed $F$ $\mu$ $V$ $R$

F=f(\mu,V,R)

pi-sætning, får vi

{\frac {F}{\mu VR}}={\text{const)),

dvs. i denne opgave findes modstandskraften op til en konstant. Værdien af konstanten findes ikke ud fra dimensionelle overvejelser (løsningen af det tilsvarende hydrodynamiske problem giver værdien for konstanten , hvilket bekræftes eksperimentelt). $6\pi$

Se også

Noter

↑ Barenblatt G. I. Lighed, selv-lighed, mellemliggende asymptotik. Teori og anvendelser til geofysisk hydrodynamik. - L . : Gidrometeoizdat , 1978. - S. 25. - 208 s.
↑ Sedov L. I. Metoder til lighed og dimension i mekanik . - M . : Nauka , 1981. - S. 31. - 448 s.
↑ Bridgman P. Dimensionsanalyse . - Izhevsk: RHD, 2001. - S. 45. - 148 s.
↑ Huntley G. Dimensionsanalyse . - M .: Mir , 1970. - S. 6. - 176 s. (forord til den russiske udgave)
↑ Bertrand J. Sur l'homogénété dans les formules de physique // Comptes rendus. - 1878. - T. 86 , nr. 15 . - S. 916-920 .
↑ Når der efter anvendelse af pi-sætningen opstår en vilkårlig funktion fra dimensionsløse kombinationer.
↑ Rayleigh. Om spørgsmålet om stabiliteten af strømmen af væsker // Filosofisk magasin. - 1892. - T. 34 . - S. 59-70 .
↑ Strett J.W. (Lord Rayleigh). Teori om lyd . - M. : GITTL, 1955. - T. 2. - S. 348. - 476 s.
↑ Vaschy A. Sur les lois de similitude en physique // Annales Telegraphiques. - 1892. - T. 19 . — S. 25–28 . Citater fra Vashs artikel med formuleringen af pi-sætningen er givet i artiklen: Macagno E. O. Historico-critical review of dimensional analysis // Journal of the Franklin Institute. - 1971. - T. 292 , no. 6 . - S. 391-402 .
↑ Federman A. Om nogle generelle metoder til at integrere partielle differentialligninger af første orden // Proceedings of the St. Petersburg Polytechnic Institute of Emperor Peter the Great. Institut for Teknologi, Naturvidenskab og Matematik. - 1911. - T. 16 , Nr. 1 . - S. 97-155 .
↑ Riabouchinsky D. Method des variables de dimension zéro et son application en aérodynamique // L'Aérophile. - 1911. - S. 407-408 .
↑ Buckingham E. Om fysisk lignende systemer: illustrationer af brugen af dimensionsligninger // Fysisk gennemgang. - 1914. - V. 4 , nr. 4 . - S. 345-376 .
↑ Sena L. A. Enheder af fysiske størrelser og deres dimensioner. - M .: Videnskab , 1977. - S. 91-92.
↑ Pukhnachev Y. Spredning, dæmpning, brydning - tre nøgler til at optrevle paradokset // Videnskab og liv. - 1983. - Nr. 2 . - S. 117-118 .

Dimensionsløse mængder i fysik
Begreber	Dimension af en fysisk størrelse Dimensionsløs mængde π -Sætning lighedskriterium
lighedskriterier	Alfvén nummer (Al) Archimedes nummer (Ar) Atwood nummer (A) Bagnold nummer (Ba) Burstow-nummer (Be) Bionummer (Bi) Boltzmann nummer (Bo) Obligations-/Eötvös-nummer (Bo, Bd eller Eo) Brinkmann nummer (Br) Bulygin-nummer (Bu) Weisenberg nummer (Wi eller We) Weber nummer (vi) Galilæisk nummer (Ga) Hartmann nummer (Ha) Gay-Lussac nummer (Gc eller GaL) Homokronicitetsnummer (Ho) Grashof nummer (Gr) Graetz-nummer (Gz) Gouche-nummer (Go) Damköhler nummer (Da) Deborah nummer (De) Deryagin nummer (Dg eller De) Dekannummer (Dn eller D ) Cowling nummer (Co) Kapillaritetsnummer (Cp eller Ca) Karman nummer (Ka) Keleghan-Tømrer nummer ( K C ) Kibel nummer (Ki) Kirpichev nummer (Ki) Clausius nummer (Cl) Knudsen nummer (Kn) Kossovich nummer (Ko) Cauchy-nummer (Ca) Laplace nummer (La) Lundquist nummer (Lu eller S) Lykov nummer (Lk eller Lu) Lewis nummer (Le) Lyashchenko nummer (Ly) Marangoni-tal (Mg) Mach tal (M) Morton nummer (Mo) Nusselt nummer (Nu) Newtontal (Ne eller Nt) Onesorge nummer (Oh) Peclet nummer (Pe) Posnov nummer (Pn) Prandtl-nummer (Pr) Magnetisk Prandtl-nummer (Pr m ) Turbulent Prandtl-nummer (Pr t ) Poiseuille nummer (Po) Reynolds nummer (Re) Akustisk Reynolds nummer (Re a ) Magnetisk Reynolds-nummer (Re m ) Richardson nummer (Ri) Rossby nummer (Ro) Rosetal (Rs) Roshko-nummer (Rk eller Ro) Ruark nummer (Ru) Rayleigh nummer (Ra) Soret nummer (Sr) Stanton nummer (St) Stokes-nummer (Sk eller Stk) Strouhal nummer (S, Sh eller St) Stewart nummer (St eller N ) Suratman nummer (Su) Taylor nummer (Ta) Womersley-nummer (Wo eller α) Fedorov nummer i hydrodynamik i tørringsteori (Fe) Froude nummer (Fr) Fouriernummer (Fo) Hagen nummer (Hg) Chandrasekhar nummer (Ch eller Q ) Schmidt nummer (Sc) Sherwood-nummer (Sh) Euler nummer (Eu) Eckert-nummer (Ec eller E ) Ekman nummer (Ek) Elsasser nummer (El eller Λ) Eriksen nummer (Er) Jacob nummer (Ja)
Andre dimensionsløse mængder	Abbe nummer kvantetal