Kontinuerlig ensartet fordeling

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 12. oktober 2020; checks kræver 5 redigeringer .

Kontinuerlig ensartet fordeling
Sandsynlighedstæthed
distributionsfunktion
Betegnelse	${\mathcal {U}}(a,b)$
Muligheder	$a,b\in (-\infty ,\infty )$ , — skiftfaktor , — skalafaktor $-en$ $ba$
Transportør	$a\leqslant x\leqslant b$
Sandsynlighedstæthed	${\begin{matrix}{\dfrac {1}{ba}}&a\leqslant x\leqslant b\\\\0&\ x<a\ ,\ x>b\end{matrix}}$
distributionsfunktion	${\begin{matrix}0&x<a\\{\dfrac {xa}{ba))&~~~~~a\leqslant x<b\\1&x\geqslant b\end{matrix))$
Forventet værdi	${\frac {a+b}{2}}$
Median	${\frac {a+b}{2}}$
Mode	ethvert tal fra segmentet $[a,b]$
Spredning	${\frac {(ba)^{2}}{12}}$
Asymmetrikoefficient	$0$
Kurtosis koefficient	$-{\frac {6}{5}}$
Differentiel entropi	$\ln(ba)$
Genererende funktion af momenter	${\frac {e^{{tb}}-e^{{ta}}}{t(ba)))$
karakteristisk funktion	${\frac {e^{{itb}}-e^{{ita}}}{it(ba)))$

En kontinuerlig ensartet fordeling i sandsynlighedsteori er fordelingen af en tilfældig reel variabel, der tager værdier, der tilhører et bestemt interval af endelig længde, kendetegnet ved, at sandsynlighedstætheden på dette interval er næsten overalt konstant.

Definition

De siger, at en tilfældig variabel har en kontinuerlig ensartet fordeling på segmentet , hvor , hvis dens tæthed har formen: $[a,b]$ $a,b\in \mathbb{R}$ $f_{X}(x)$

f_{X}(x)=\venstre\{{\begin{matrix}{\dfrac {1}{ba)),&x\i [a,b]\\0,&x\ikke \i [ a,b]\end{matrix}}\right..

Skriv :. Nogle gange ændres tæthedsværdierne ved grænsepunkterne til andre, for eksempel eller . Da Lebesgue-integralet af tæthed ikke afhænger af sidstnævntes adfærd på sæt af mål nul, påvirker disse variationer ikke beregningerne af de tilknyttede sandsynlighedsfordelinger. $X\simU[a,b]$ $x=a$ $x=b$ $0$ ${\frac {1}{2(ba)))$

Distributionsfunktion

Ved at integrere tætheden defineret ovenfor får vi:

F_{X}(x)\equiv \mathbb {P} (X\leqslant x)=\venstre\{{\begin{matrix}0,&x<a\\{\dfrac {xa}{ba} },&a\leqslant x<b\\1,&x\geqslant b\end{matrix}}\right..

Da den ensartede fordelingstæthed er diskontinuerlig ved segmentets grænsepunkter , er fordelingsfunktionen i disse punkter ikke differentierbar. På andre punkter gælder standardligheden: $[a,b]$

{\frac {d}{dx}}F_{X}(x)=f_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb{R} \setminus \{a,b\}

Genererende funktion af momenter

Ved simpel integration opnår vi den genererende funktion af momenterne :

M_{X}(t)={\frac {e^{{tb}}-e^{{ta}}}{t(ba))))

hvorfra vi finder alle de interessante øjeblikke af den kontinuerlige ensartede fordeling:

{\mathbb {E}}\left[X\right]={\frac {a+b}{2}}

{\mathbb {E}}\left[X^{2}\right]={\frac {a^{2}+ab+b^{2}}{3}}

\operatorname {D} \left[X\right]={\frac {(ba)^{2}}{12}}

Generelt,

{\mathbb {E}}\left[X^{n}\right]={\frac {1}{n+1}}\sum \limits _{{k=0}}^{n}{a^ {k}b^{{nk))}={\frac {b^{{n+1}}-a^{{n+1}}}{(ba)(n+1)}}

Standard ensartet fordeling

Hvis og , det vil sige , så kaldes en sådan kontinuerlig ensartet fordeling standard . $a=0$ $b=1$ $X\simU[0,1]$

Der er et elementært udsagn:

Hvis en tilfældig variabel og , så .

X\simU[0,1]

Y=a+(ba)X

Y\sim U[\min(a,b),\max(a,b)]

Givet en tilfældig prøvegenerator fra en standard kontinuerlig ensartet fordeling er det således let at konstruere en prøvegenerator til enhver kontinuerlig ensartet fordeling.

Hvis man har en sådan generator og kender funktionen invers til fordelingsfunktionen af en tilfældig variabel, kan man konstruere en prøvegenerator af enhver kontinuert fordeling (ikke nødvendigvis ensartet) ved hjælp af den inverse transformationsmetode . Derfor kaldes standard ensartet fordelte tilfældige variable undertiden grundlæggende tilfældige variabler .

Der er også deltransformationer, der gør det muligt at opnå tilfældige fordelinger af en anden type på baggrund af en ensartet fordeling. Så for eksempel, for at opnå en normalfordeling , bruges Box-Muller-transformationen .

Se også

Sandsynlighedsfordelinger
Diskret	Bernoulli Binomial Geometrisk hypergeometrisk Logaritmisk Negativ binomial Poisson Diskret uniform Multinomial
Absolut kontinuerlig	Beta Weibulla Gamma- hypereksponentiel Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gaussisk) Logistisk Nakagami Pareto Pearson halvcirkelformet kontinuerlig uniform Ris Rayleigh Studerende Tracey - Vidoma Fisher Chi-kvadrat Eksponentiel Varians-gamma Multivariat normal kopula