Schreiers Lemma

Schreier Lemma er en sætning fra gruppeteorien brugt i Schreier-Sims algoritmen . Sætningen blev bevist af Otto Schreyer i 1927 [1] .

Det følger af teoremet, at enhver undergruppe af en endeligt genereret gruppe med et endeligt indeks også er endeligt genereret [2] .

Ordlyd

Lade være nogle undergruppe af en endeligt genereret gruppe med generatorsæt , Det vil sige . $H$ $G$ $S$ $G=\langle S\rangle$

Lad være en tværgående af venstre cosets . Angiv af repræsentanten for det sæt, der indeholder . $R=G/H$ $hH$ $\overline{x}$ $x\in G$

I en sådan notation genereres undergruppen af sættet . $H$ ${\tekststil \{({\overline {sg)))^{-1}sg:g\in R,s\in S\}}$

Bevis

Formulering for baner

I Schreier-Sims-algoritmen anvendes sætningen på det specifikke tilfælde, når det virker på et sæt og er stabilisatoren af et element . $G$ $\Omega$ ${\displaystyle H=G_{\omega ))$ $\omega \i \Omega$

Der er en en-til-en overensstemmelse mellem elementerne i kredsløbet og det tværgående . Nemlig, alle elementer i en tilstødende klasse overføres til det samme element i kredsløbet. $G\omega$ ${\displaystyle G/G_{\omega ))$ $\omega$

Derfor betegner vi med det element , der oversættes til , dvs. I en sådan notation kan lemmaet skrives som følger: . $\overline {\alpha }$ ${\displaystyle G/G_{\omega ))$ $\omega$ $\alfa$ ${\overline {\alpha }}\omega =\alpha$ ${\textstyle G_{\omega }=\langle \{({\overline {s\alpha }})^{-1}s{\overline {\alpha }}|\alpha \in G_{\omega },s \in S\}\rangle }$

Se også

Schreier-Sims algoritme

Noter

↑ Otto Schreier. Die Untergruppen der frien Gruppen // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. — 1927-12. - T. 5 , nej. 1 . — S. 161–183 . — ISSN 1865-8784 0025-5858, 1865-8784 . - doi : 10.1007/bf02952517 .
↑ Hall, Marshall 1910-1990 Verfasser. Teorien om grupper . — ISBN 9780486816906 , 0486816907.

Gruppeteori
Basale koncepter	Undergruppe Normal undergruppe Faktor gruppe Arbejde direkte semi-direkte ledig
Algebraiske egenskaber	kommutativ gruppe Cyklisk gruppe bestilt gruppe Forvandle gruppe Opløselig gruppe Schreiers Lemma Lagranges sætning Sylows sætninger Klassificering af simple endelige grupper
begrænsede grupper	Endelig cyklisk gruppe C n Symmetrisk gruppe S n Dihedral gruppe D n Skiftende gruppe A n Klein Quadruple Group Mathieu grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fiskergrupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiske grupper	Løgngrupper Ortogonal gruppe O(n) Særlig ortogonal gruppe SO(n) Enhedsgruppe U(n) Særlig enhedsgruppe SU(n) Symplektisk gruppe Sp(n) Enestående enkel Lorentz gruppe Poincaré gruppe
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier transformation