En fliseudfordring

Problemet med én flise ( engelsk  einstein problem ) er et geometrisk problem, der rejser spørgsmålet om eksistensen af ​​én prototil , som danner et ikke -periodisk sæt af fliser , det vil sige eksistensen af ​​en figur, hvis kopier kan flise plads, men kun på en ikke- periodisk måde. I kilder på engelsk kaldes sådanne figurer "einsteins" - et ordspil, tysk.  ein stein betyder "én sten" og er også navnet på fysikeren Albert Einstein . Afhængigt af den specifikke definition af ikke-periodicitet, nemlig hvilke sæt der kan betragtes som fliser og hvordan de kan forbindes, kan problemet betragtes som åbent eller løst. Problemet med én flise kan betragtes som en naturlig fortsættelse af anden del af Hilberts attende problem , som spørger om et polyeder, hvis kopier kan fylde det tredimensionelle euklidiske rum, og ingen udfyldning af rummet med kopier af dette polyeder skal være isoedrisk [1] . Sådanne ikke-isohedriske kroppe blev fundet af Carl Reinhard i 1928, men disse kroppe fylder rummet på en periodisk måde.

Foreslået løsning

I 1988 opdagede Peter Schmitt en ikke-periodisk prototil for det tredimensionelle euklidiske rum. Selvom ingen fyldning med denne krop tillader parallel translation , har nogle fyldninger spiralsymmetri . Skruesymmetrioperationen har form af en sammensætning af parallel translation og rotation gennem en vinkel, der ikke kan måles med π, således at intet antal gentagelser af disse operationer vil føre til en simpel parallel translation. Denne konstruktion blev senere brugt af John Conway og Ludwig Danzer til at konstruere en konveks ikke-periodisk flise, Schmitt-Conway-Danzer-flisen . Tilstedeværelsen af ​​skruesymmetri var en konsekvens af kravet om ikke-periodicitet [2] . Chaim Goodman-Strauss foreslog at betragte flisebelægninger som strengt aperiodiske , hvis der ikke er nogen uendelig cyklisk gruppe af bevægelser i det euklidiske rum for dem , som er symmetrier af flisebelægningen, og kun at kalde de strengt aperiodiske sæt af fliser, der fører til strengt aperiodiske fliser, kaldes de resterende sæt fliser så svagt aperiodiske [3] .

I 1996 byggede Petra Hummelt en mønstret dekagonal flise og viste, at hvis to typer overlapning af fliser er tilladt, kan de flisebelægge et plan, og kun på en aperiodisk måde [4] . Normalt forstås en tessellation som en fyldning uden overlap, så Hummelt-flisen kan ikke betragtes som en aperiodisk prototil. Et aperiodisk sæt fliser i det euklidiske plan, der kun består af én flise, Socolar-Taylor-flisen  , blev foreslået i begyndelsen af ​​2010'erne af Joshua Socolar og Joan Taylor [5] . Denne konstruktion involverer forbindelsesregler, regler, der begrænser den relative orientering af to fliser, og regler for at forbinde mønstre på fliser, og disse regler gælder for par af ikke-tilstødende fliser. Det er muligt at bruge fliser uden mønstre og uden orienteringsregler, men så bliver fliserne ikke forbundet. Konstruktionen kan udvides til 3D-rum ved hjælp af forbundne fliser og ingen tilslutningsregler, men disse fliser kan lægges ud med periodicitet i samme retning, så der er kun tale om en svagt ikke-periodisk flisebelægning. Desuden er fliserne ikke blot forbundet.

Eksistensen af ​​strengt aperiodiske sæt bestående af én forbundet flise uden forbindelsesregler forbliver et uløst problem.

Noter

  1. Senechal, 1996 , s. 22-24.
  2. Radin, 1995 , s. 3543-3548.
  3. Goodman-Strauss, 2000 .
  4. Gummelt, 1996 , s. 1-17.
  5. Socolar, Taylor, 2011 , s. 2207-2231.

Links