Dihedral gruppe

Den dihedriske gruppe ( dihedral gruppe ) er symmetrigruppen af ​​en regulær polygon , inklusive både rotationer og aksiale symmetrier [1] . Dihedrale grupper er de enkleste eksempler på endelige grupper og spiller en vigtig rolle i gruppeteori , geometri og kemi . Det er velkendt og ganske trivielt verificeret, at en gruppe dannet af to involutioner med et begrænset antal elementer i definitionsdomænet er en dihedral gruppe.

Notation

Der er to hovedmåder at skrive den dihedrale gruppe, der er forbundet med en -sidet polygon. I geometri skrives en gruppe som , mens algebra generelt betegnes samme gruppe som , hvor indekset er antallet af elementer i gruppen. Der er også Coxeter-notation , hvor den aksiale symmetri af rækkefølgen er betegnet som ) og rotationen af ​​rækkefølgen som . En anden post er orbifold -notationen , hvor aksial symmetri er betegnet som , og rotationer som .

I denne artikel refererer (eller nogle gange ) til symmetrierne af en regulær -gon.

Definition

Elementer

En regulær- gon har forskellige symmetrier: rotationer og aksiale refleksioner , der danner en dihedral gruppe . Hvis det er ulige, passerer hver symmetriakse gennem midtpunktet af en af ​​siderne og det modsatte toppunkt. Hvis lige, er der symmetriakser, der forbinder midtpunkterne på modsatte sider, og akser, der forbinder modsatte hjørner. Under alle omstændigheder er der symmetriakser og elementer i gruppen af ​​symmetrier. Refleksion om den ene akse og derefter om den anden resulterer i en drejning gennem det dobbelte af vinklen mellem akserne. Billederne nedenfor viser effekten af ​​elementet på Stop -vejskiltet :

Den første linje viser otte rotationer, og den anden linje viser otte refleksioner.

Gruppestruktur

Som med ethvert andet geometrisk objekt vil sammensætningen af ​​de to symmetrier af en regulær polygon igen være en symmetri. Således danner symmetrierne af en regulær polygon en endelig gruppe .

Cayleys tabel viser resultaterne af kompositioner i symmetrigruppen i en ligesidet trekant . betegner identitetstransformationen, og betegner rotation mod uret med henholdsvis og grader , , , og betegner refleksioner om akserne vist i figuren til højre.

For eksempel, siden anvendelse af successive refleksioner og giver en rotation med . Bemærk, at sammensætning ikke er en kommutativ operation .

I det generelle tilfælde indeholder gruppen elementer og og som en operation har en sammensætning, som er givet af formlerne:

I alle tilfælde skal addition og subtraktion af indekser ske ved hjælp af modulo- rester .

Matrixrepræsentation

Hvis vi placerer midten af ​​en regulær polygon ved oprindelsen, bliver elementerne i den dihedrale gruppe lineære afbildninger af planet . Dette gør det muligt for elementer at blive repræsenteret som en gruppe af matricer , med matrixmultiplikation som kompositionsoperationen. En sådan repræsentation er et eksempel på en dimensionel repræsentation af en gruppe .

Lad os tage elementerne i gruppen som et eksempel . De kan repræsenteres som følgende matricer:

Generelt har matricer for elementer følgende form:

Her  er rotationsmatricen mod uret efter vinklen , og  er refleksionen omkring aksen, der danner en vinkel med abscisseaksen .

Små dihedrale grupper

For vi får . Denne notation bruges sjældent, undtagen til at udpege andre grupper i en sekvens, da gruppen svarer til .

For vi opnår - den firedobbelte Klein-gruppe .

Begge tilfælde er undtagelser i serien:

Cyklusgrafen for dihedrale grupper består af en længdecyklus og længdecyklus . De mørke hjørner af cyklusgrafen nedenfor viser identitetstransformationen, de hvide spidser viser de resterende elementer i gruppen. Cyklussen består af successive grader af de resterende elementer.

Dih 1 Dih 2 Dih 3 Dih 4 Dih 5 Dih 6 Dih 7

Den dihedrale gruppe som en symmetrigruppe i 2D og en rotationsgruppe i 3D

Et eksempel på en abstrakt gruppe Dih n og en almindelig måde til grafisk repræsentation er gruppen D n af planisometrier , der ikke flytter origo. Disse grupper danner en af ​​to serier af diskrete punktgrupper i planet . D n består af n omdrejninger med en vinkel, der er delelig med 360°/ n omkring origo, og refleksioner omkring n akser, der går gennem centrum af koordinaterne og en vinkel til de andre akser, der er delelig med 180°/ n . Disse punkter repræsenterer symmetrigruppen af ​​en regulær polygon med n sider (for n ≥ 3).

Den dihedrale gruppe Dn er genereret af en rotation r af orden n og en refleksion s af orden 2, således at

Med hensyn til geometri: et spejlbillede af en rotation ligner en omvendt rotation.

Med hensyn til komplekse tal : multiplikation med og konjugation.

Med hensyn til matricer: givet

og definere og for vi kan skrive reglerne for dannelsen af   ​​D n as

(Sammenlign rotationsmatrix .)

Den dihedriske gruppe D 2 er genereret ved en rotation på r med 180 grader, og en symmetri på s om X-aksen. Elementerne i D 2 kan repræsenteres som { e ,  r ,  s ,  rs }, hvor e  er identiteten transformation og rs  er symmetrien om 'Y-aksen .

D 2 er isomorf for Klein firdobbelt gruppe .

For n>2 er rotations- og reflektionsoperationerne om en linje ikke kommutative, og D n er ikke abeliansk. For eksempel i D 4 giver rotation 90 grader og derefter vending et meget andet resultat end at vende og derefter rotere.

Sammen med indlysende anvendelser på symmetriproblemer i planet tjener disse grupper således som de enkleste eksempler på ikke-abiske grupper og bruges ofte som modeksempler på sætninger, der er begrænset til abelske grupper.

2 n elementer af D n kan skrives som e , r , r 2 , …,  r n −1 , s , rs , r 2 s , …,  r n −1  s . De første n listede elementer er rotationer, de resterende n  er refleksioner om akserne (de har alle rækkefølge 2). Resultatet af to rotationer eller to refleksioner vil være en rotation Resultatet af en rotation og en refleksion vil være en refleksion.

Vi har således fastslået, at Dn er en O(2) -undergruppe .

Dog bruges notationen D n for undergrupper af SO(3) , som også er grupper af typen Dih n : symmetrigruppen af ​​en polygon indlejret i tredimensionelt rum (hvis n ≥ 3). Sådanne figurer kan forstås som degenererede faste stoffer (deraf navnet dihedron ( dihedron').

Eksempler på symmetri af todimensionelle dihedraler

Tilsvarende definitioner

Følgende definitioner er ækvivalente:

eller Det følger af den anden fremstilling, at den tilhører klassen af ​​Coxeter-grupper .

Egenskaber

Egenskaberne for dihedrale grupper med afhænger af paritet . For eksempel består midten af ​​en gruppe kun af identiteten for ulige og to elementer for lige, nemlig identiteten og . For ulige tal er den abstrakte gruppe isomorf til det direkte produkt og .

Hvis deler , så har den undergrupper af formen og en undergruppe . Således er det samlede antal undergrupper af gruppen ( ) lig med , hvor  er antallet af naturlige divisorer og  er summen af ​​naturlige divisorer af .

Konjugation af refleksionsklasser

Alle refleksioner er parvis konjugerede i tilfælde af ulige , men falder i to konjugationsklasser for lige . Med hensyn til isomorfi af regulære -goner: for ulige opnås enhver refleksion fra enhver anden ved at anvende en rotation, mens for lige dem kun halvdelen af ​​refleksionerne kan opnås fra nogle refleksioner ved rotationer. Fra et geometrisk synspunkt passerer hver symmetriakse i en ulige-gon gennem et af hjørnerne og midtpunktet på den modsatte side, og i en lige-gon er der to sæt akser, hvert sæt svarer til dets konjugationsklasse - akser, der går gennem hjørnerne og akser, der går gennem sidernes midtpunkter.

Algebraisk er disse repræsentanter for konjugerede elementer fra Sylow-sætningen : for ulige danner enhver refleksion sammen med det identiske element en undergruppe af orden , som er en Sylow 2-undergruppe (  er den maksimale potens af to, der deler ), mens for lige , disse undergrupper af -th orden er ikke Sylow, da (største potens af to) deler rækkefølgen af ​​gruppen.

For selv er der i stedet en ydre automorfi , der bytter de to typer af refleksioner.

Automorfi grupper

Automorfien af ​​gruppen Dih n er isomorf til den affine gruppe Aff(Z/nZ) og har orden , hvor Euler-funktionen  er lig med antallet af naturlige tal mindre end n og relativt primtal til den.

Dette kan forstås ud fra en refleksionsgenerator og elementære rotationer (rotationer på , for k coprime med n ). Hvilken automorfi der er intern og hvilken der er ekstern afhænger af pariteten af ​​n .

Eksempler på gruppeautomorfismer

Dih 9 har 18 interne automorfismer . Som en 2D isometrigruppe har D 9 refleksioner med 20° intervaller. 18 interne automorfier giver rotationer af refleksioner med et multiplum af 20° og refleksioner. Som isometrigrupper er de alle automorfier. Der er desuden 36 ydre automorfismer , for eksempel multiplicerer rotationsvinklen med 2.

Generaliseringer

Der er flere vigtige generaliseringer af dihedrale grupper:

Se også

Noter

  1. Dummit, David S.; Foote, Richard M. Abstrakt algebra  (ubestemt) . — 3. - John Wiley & Sons , 2004. - ISBN 0-471-43334-9 .

Links