Rotationsgruppe

Rotationsgruppe ( drejningsgruppe ) i mekanik og geometri - et sæt af alle rotationer omkring oprindelsen i det tredimensionelle euklidiske rum . Per definition er en rotation omkring oprindelsen en lineær transformation , der bevarer længden af vektorerne og også bevarer orienteringen (højre og venstre trio af vektorer). Rotationsgruppen er isomorf i forhold til gruppen af reelle ortogonale matricer med determinant 1 (kaldet den specielle ortogonale gruppe af dimension 3 - ). $\mathbb {R} ^{3}$ $3 gange 3$ ${\mathrm {SO}}(3)$

Egenskaber

Alle rotationsgrupper , inklusive og , er Lie-grupper . ${\mathrm {SO}}(n)$ ${\mathrm {SO}}(3)$ $\mathrm {SO} (2)$
Grupperne af rotationer og generelt for er ikke- kommutative. ${\mathrm {SO}}(3)$ ${\mathrm {SO}}(n)$ $n > 2$
Gruppen er diffeomorf i forhold til et projektivt rum med dimension 3. Ved Eulers rotationssætning kan enhver rotation gives af en ret linje (drejningsaksen givet af enhedsvektoren ), der går gennem centrum af koordinater og en vinkel . Man kunne associere hver rotation med en vektor og derved identificere rotationsgruppens elementer med punkter i kuglen med radius . En sådan sammenligning ville dog ikke være bijektiv, da den samme rotation svarer til vinklerne og . Derfor, ved at identificere diametralt modsatte punkter på boldens grænse, opnår vi et projektivt rum . ${\mathrm {SO}}(3)$ $v$ $\varphi \i [-\pi,\pi]$ $\varphi v$ $\pi$ $\pi$ $-\pi$
Den universelle dækkende gruppe er en speciel enhedsgruppe , eller hvad der er det samme, en gruppe af kvaternioner af enhedsmodulo (der virker på tangentrummet til enhedssfæren ved konjugationer). I dette tilfælde er beklædningen to -ark. ${\mathrm {SO}}(3)$ ${\mathrm {SU}}(2)$

Variationer og generaliseringer

Nogle gange kaldes rotationsgrupper en speciel ortogonal gruppe - rotationsgruppen af -dimensionelt euklidisk rum. Et særligt tilfælde er gruppen af planrotationer eller U(1) ; i modsætning til tilfældet med rotation af tredimensionelt rum, er det kommutativt . ${\mathrm {SO}}(n)$ $n$ $\mathrm {SO} (2)$

Se også

Litteratur

Vinberg E. B. Algebra kursus. - 3. udg. - M . : Factorial Press, 2002. - 544 s. - 3000 eksemplarer. — ISBN 5-88688-060-7 .
Bogopolsky OV Introduktion til gruppeteori. - M. : Moskva-Izhevsk: IKI, 2002. - 148 s. — ISBN 5-93972-165-6 .