Division (matematik)

Division

Betegnelse	obelus
Modsatte	multiplikation
Mediefiler på Wikimedia Commons

Division ( operationen af division ) er det omvendte af multiplikation . Division er angivet med et kolon , obelus , skråstreg eller skrevet som en brøk . $:$ $\div$ $/$

For naturlige tal betyder division at finde hvilket tal (kvotient) der skal tages så mange (divisor) gange for at få det givne (dividende).

Med andre ord er dette at finde det maksimalt mulige antal gentagelser af at trække en divisor fra et udbytte; eller at finde en så største værdi, der kan trækkes fra udbyttet så mange gange som angivet i divisoren.

Overvej for eksempel at dividere med : $fjorten$ $3$

Hvor mange gange er indeholdt i ? $3$ $fjorten$

Ved at gentage operationen med at trække fra , finder vi ud af, at den er indeholdt af fire gange, og der er stadig et tal "tilbage" . $3$ $fjorten$ $3$ $fjorten$ $2$

I dette tilfælde kaldes tallet deleligt , tallet er divisor , tallet er den (ufuldstændige) kvotient , og tallet er resten (fra division) . $fjorten$ $3$ $fire$ $2$

Den fulde kvotient , forhold eller forhold mellem tal kaldes et sådant tal , at . I tilfældet hvor og , kan deres samlede kvotient skrives som en brøk eller en decimalbrøk . $-en$ $b$ $c$ $a=b\cdot c$ $a=14$ $b=3$ ${\frac {14}{3}}$ $4,(6)$

De komplette og ufuldstændige deltal og falder sammen, hvis og kun hvis det er ligeligt deleligt ( er deleligt ) med . Den tilsvarende egenskab for et givet talpar kaldes delelighed . $-en$ $b$ $-en$ $b$

Former og terminologi

Division er skrevet ved hjælp af et af " delingstegnene " - " " mellem argumenter, denne form for notation kaldes infix-notation . I denne sammenhæng er divisionstegnet en binær operator . Delingstegnet har ikke et særligt navn, såsom tilføjelsestegnet, som kaldes "plus". $\div ,~/,~:$

Det ældste tegn i brug synes at være den fremadrettede skråstreg (/). Det blev første gang brugt af den engelske matematiker William Oughtred i hans Clavis Mathematicae i 1631.
Den tyske matematiker Leibniz foretrak kolontegnet (:) Han brugte dette symbol i sit værk Acta eruditorum fra 1684. Før Leibniz blev dette tegn brugt af englænderen Johnson i 1633 i sin bog, men som et brøktegn, og ikke division i snæver forstand.
Johann Rahn introducerede obelus (÷) tegnet som et divisionsmærke, det optrådte i hans Teutsche Algebra fra 1659. Rahns tegn omtales ofte som det "engelske divisionsmærke".

I russisksprogede lærebøger i matematik bruges kolon (:) hovedsageligt. Den fremadrettede skråstreg (/) bruges i computernotation. Resultatet skrives med lighedstegnet " ", for eksempel: $=$

a:b=c

;

6:3=2

("seks divideret med tre er lig med to");

65:5=13

("femogtres divideret med fem er lig med tretten").

Egenskaber

Delingsoperationen på numeriske sæt har følgende hovedegenskaber: $\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$

Opdelingen er ikke permuterbar (ikke kommutativ) - fra en ændring i argumenternes steder ændres kvotienten:

a:b\neq b:a;

Division er ikke associativ - når divisionen af tre eller flere tal udføres sekventielt, er rækkefølgen af operationer vigtig, resultatet vil ændre sig:

(a:b):c\neq a:(b:c);

Division er ret distributiv, dette er konsistensegenskaben af to binære operationer defineret på samme sæt, også kendt som den distributive lov [1] :

Distributivitet :

(a+b):x=(a:x)+(b:x),~x\neq 0;

Med hensyn til division har sættet et enkelt neutralt element til højre (tal ), division med et (eller et neutralt element) giver et tal svarende til originalen: $EN$ $en$

Neutralt element til højre:

x:1=x;

Med hensyn til division er der kun ét gensidigt element i sættet, opnået ved at dividere en med et tal, hvilket giver et tal, der er det omvendte af originalen: $EN$

Omvendt element :

1:x={\frac {1}{x}}=x^{-1},~x\neq 0;

Med hensyn til division er der et enkelt nul-element til venstre i sættet - et tal divideret med et hvilket som helst tal giver nul: $EN$ $0$

Nul element til venstre:

0:x=0,\quad \exists 0\in A,~x\neq 0;

Ifølge reglerne for almindelig regneregning er division med nul (nul-element) ikke defineret; $0$

Division med nul :

x:0=\infty ,\quad \exists 0\in A,~x\neq 0;

Division med det modsatte element giver minus en:

x:(-x)=-1,\quad \exists !-x\in A,~x\neq 0.

Resultatet af division er ikke altid sikkert for sæt af naturlige tal og heltal , for at få et naturligt eller heltal som et resultat af division, skal udbyttet være et multiplum af divisor. Det er umuligt at få et brøkresultat inden for disse tal. I dette tilfælde taler vi om division med en rest . Det vil sige, at division på disse sæt er en delvis binær operation . $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$

Divisionsoperationen, defineret på mængder (i felter ) af rationelle , reelle og komplekse tal , giver et tal (privat), der hører til samme mængde, derfor er mængderne lukkede i forhold til divisionsoperationen (ved punkt 0 er der en diskontinuitet af den anden art - derfor er ringene af rationelle, reelle og komplekse tal åbne med hensyn til division). ${\mathbb {Q}}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {Q_{-0}} ,\mathbb {R_{-0}} ,\mathbb {C_{-0}}$

I matematiske udtryk har divisionsoperationen forrang over additions- og subtraktionsoperationerne, det vil sige, den udføres før dem.

Udførelse af en division

Division er en subtraktionshyperoperator og reducerer til sekventiel subtraktion. :

$a:b=\operatørnavn {hyper-2} (a,b)=\operatørnavn {hyper} (a,-2,b)=a^{(-2)}b=c.$

$a{^{(-2)}}b=a:b=a\underbrace {-bb-\dots -b} _{c}.$

hvor: er en sekvens af subtraktionsoperationer udført én gang. $-bb-\dots -b$ $c$

I en praktisk løsning på problemet med at dividere to tal er det nødvendigt at reducere det til en sekvens af enklere operationer: subtraktion , sammenligning , overførsel osv. Til dette er der udviklet forskellige divisionsmetoder, for eksempel for tal, brøker , vektorer osv. I russisksprogede matematiklærebøger bruges algoritmen i øjeblikket kolonneopdelinger . I dette tilfælde bør deling betragtes som en procedure (i modsætning til en operation).

Et diagram, der illustrerer stederne for skrivning af dividende, divisor, kvotient, rest og mellemliggende beregninger, når der divideres med en kolonne:

Det kan ses af ovenstående diagram, at den ønskede kvotient (eller ufuldstændig kvotient, når der divideres med en rest) vil blive skrevet under divisoren under den vandrette linje. Og mellemberegninger vil blive udført under udbyttet, og du skal sørge for tilgængeligheden af plads på siden på forhånd. I dette tilfælde bør man være styret af reglen: Jo større forskellen er i antallet af tegn i indtastningerne af udbytte og divisor, jo mere plads kræves der.

En omtrentlig algoritme til proceduren for at dividere naturlige tal med en kolonne

Som du kan se, er proceduren ret kompliceret, den består af et relativt stort antal trin, og når man deler store tal, kan det tage lang tid. Denne procedure gælder for opdelingen af naturlige tal og heltal (med forbehold for tegn). For andre tal bruges mere komplekse algoritmer.

Aritmetiske operationer på tal i ethvert positionelt talsystem udføres efter de samme regler som i decimalsystemet , da de alle er baseret på reglerne for udførelse af operationer på de tilsvarende polynomier [2] . I dette tilfælde skal du bruge subtraktionstabellen, der svarer til den givne base i talsystemet. $P$

Et eksempel på at dividere naturlige tal i binære , decimale og hexadecimale talsystemer :

110010│ 101 │ 0 — 0 50800│ 25 │ 0 — 0 CD530│ A8 │ 0 — 0 101 │1010 │ -101 — 1 50 │ 0 — 0 CD530│ A8 │ 0 — 0 101 │1010 │ -101 — 1 50 │ 2032 — 0 5 — 3 1F8 │ -1F8 — 3 101 80 │ -100 — 4 5D3 │ -2A0 — 4 101 75 │ ... — ... 540 │ -348 — 5 00 50 930 │ 9 -30 │ 9 -3F 498 — 7 0.0.0.│ -540 - 8 │ -5E8 - 9 │ -690 - A │ -738 - B │ -7E0 - C │ -888 - D │ -930 - E

Opdeling af tal

Naturlige tal

Lad os bruge definitionen af naturlige tal som ækvivalensklasser af endelige mængder . Lad os betegne ækvivalensklasserne af endelige mængder genereret af bijektioner ved hjælp af parenteser: . Så er den matematiske operation "division" defineret som følger: $\mathbb {N}$ $C,A,B,R$ $[C],[A],[B],[R]$

$\quad [C]=[A]:[B]=[\højrepil (A/B)]\quad \&\quad [R]$ - opdeling i lige dele (finde antallet af elementer i hver delmængde af partitionen), private numre og antallet af elementer i hver delmængde af partitionen kaldes; $-en$ $b$
$\quad [C]=[A]:[B]=[A/(\højrepil B)]\quad \&\quad [R]$ - division efter indhold (finde antallet af delmængder af partitionen), private numre og antallet (antal) af delmængder af partitionen kaldes; $-en$ $b$

hvor: er en opdeling af en endelig mængde i lige mange parvise disjunkte undermængder , således at: $A/B$

$B_{\alpha }=B_{\beta },$ $\quad \bigcup \limits _{\alpha \in C}B_{\alpha }+R=A,$ $\quad \bigcap _{\alpha ,\beta \in C}(B_{\alpha },B_{\beta},R)=\{\emptyset \},$ for sådanne koefficienter $\alpha ,\beta \in C$ $\alpha \not =\beta ;$

$R$ er resten (sættet af resterende elementer), , $\{\emptyset \}\leqslant R<B$

$\højre pil$ — null operation "elementvalg".

I tilfælde af at et naturligt tal ikke er deleligt med et andet uden en rest, taler vi om division med en rest . Følgende begrænsning er pålagt resten (så den er korrekt, dvs. entydigt bestemt): , , $0\leqslant r<|b|$ $a=b\cdot c+r$

hvor: - udbytte, - divisor, - kvotient, - rest. $-en$ $b$ $c$ $r$

Denne operation på klasser er indført korrekt, det vil sige, den afhænger ikke af valget af klasseelementer og falder sammen med den induktive definition.

Den aritmetiske operation "division" er partiel for mængden af naturlige tal (til semiring af naturlige tal). $\mathbb {N}$

Forholdet mellem delingen af naturlige tal og opdelingen af endelige mængder i klasser gør det muligt at retfærdiggøre valget af divisionshandlingen ved løsning af problemer, for eksempel af følgende type:

“12 blyanter blev delt ligeligt i 3 æsker. Hvor mange blyanter er der i hver æske? Problemet betragter et sæt med 12 elementer. Dette sæt er opdelt i 3 lige store delmængder. Det er nødvendigt at kende antallet af elementer i hver sådan delmængde. Dette kan findes ved at dividere - 12 karat. : 3 stk. Efter at have beregnet værdien af dette udtryk, får vi svaret på spørgsmålet om problemet - der er 4 blyanter i hver æske.
"12 blyanter skal arrangeres i kasser, 3 blyanter i hver. Hvor mange kasser skal du bruge? Problemet betragter et sæt af 12 elementer, som er opdelt i delmængder, som hver har 3 elementer, det er påkrævet at finde ud af antallet af sådanne delmængder. Det kan findes ved at dividere - 12 karat. : 3 ct. Efter at have beregnet værdien af dette udtryk får vi svaret på spørgsmålet om problemet - 4 kasser er nødvendige.

For at dividere naturlige tal i det positionelle notationssystem for tal, bruges divisionsalgoritmen af en kolonne.

Heltalsdivision _

Opdelingen af vilkårlige heltal adskiller sig ikke væsentligt fra delingen af naturlige tal - det er nok at opdele deres moduler og tage hensyn til tegnreglen .

Dog er division af heltal med en rest ikke entydigt defineret. I et tilfælde (såvel som uden en rest), betragtes modulerne først, og som et resultat får resten samme fortegn som divisor eller dividende (f.eks. med en rest (-1)); i et andet tilfælde er begrebet resten direkte generaliseret, og begrænsningerne er lånt fra de naturlige tal: $-7/(-3)=2$

-7\equiv 2{\pmod 3}

For at eliminere tvetydigheden vedtages en aftale: resten af opdelingen er altid ikke-negativ.

Division af rationelle tal

Lukningen af sættet af heltal ved operation af division fører til dets udvidelse til sættet af rationelle tal. Dette fører til, at resultatet af at dividere et heltal med et andet altid er et rationelt tal . Desuden understøtter de resulterende tal (rationelle) allerede fuldt ud divisionsoperationen (er lukket med hensyn til den).

Reglen for at dividere almindelige brøker: ${\frac {a}{b)):{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot c}}={\frac {ad}{bc}}$

Division af reelle tal

Sættet af reelle tal er et kontinuerligt ordnet felt , betegnet med . Sættet af reelle tal kan ikke tælles, dets magt kaldes kontinuumets magt . Aritmetiske operationer på reelle tal repræsenteret ved uendelige decimalbrøker er defineret som en kontinuerlig fortsættelse [3] af de tilsvarende operationer på rationelle tal. $\mathbb {R}$

Givet to reelle tal, der kan repræsenteres som uendelige decimaler :

\alpha =\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\},

\beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\},

defineret af de grundlæggende sekvenser af rationelle tal (der opfylder Cauchy-betingelsen ), betegnet som: og , så kaldes deres private nummer det tal, der er defineret af de partielle sekvenser og : $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\gamma =[c_{n}]$ $\{a_{n}\}$ $\{b_{n}\}$

\gamma =\alpha :\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}]:[b_{n}]=[a_{n}/b_{n}]

reelt tal , opfylder følgende betingelse: $\gamma =\alpha :\beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ;~~~~(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a':b'\leqslant \alpha /\beta \leqslant a'':b'')\Rightarrow (a':b'\leqslant \gamma \leqslant a'' :b'').

Således er kvotienten af to reelle tal et sådant reelt tal , der er indeholdt mellem alle detaljer i formen på den ene side og alle detaljer i formen på den anden side [4] . Dedekind-sektionen gør det muligt entydigt at bestemme resultatet af division. $\alfa$ $\beta$ $\gamma$ $a':b'$ $a'':b''$

I praksis, for at dividere to tal og , er det nødvendigt at erstatte dem med den nødvendige nøjagtighed med omtrentlige rationelle tal og . For den omtrentlige værdi af private tal, tag den private af de angivne rationelle tal . Samtidig er det lige meget fra hvilken side (ved mangel eller ved overskud) de optagne rationelle tal tilnærmer sig og . Inddelingen foretages i henhold til opdelingen ved hjælp af en kolonnealgoritme. $\alfa$ $\beta$ $-en$ $b$ $\alpha :\beta$ $a:b$ $\alfa$ $\beta$

Den absolutte fejl af et delvist omtrentligt tal: , den absolutte fejl af et tal tages lig med halvdelen af den sidste enhed af cifferet i dette tal. $\Delta \left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {|b|\cdot \Delta a+|a|\cdot \Delta b}{b^{2}} }$

Den relative fejl af kvotienten er lig med summen af de relative fejl i argumenterne: . Det opnåede resultat rundes op til det første korrekte signifikante ciffer, det signifikante ciffer i det omtrentlige tal er korrekt, hvis tallets absolutte fejl ikke overstiger halvdelen af enheden af cifferet svarende til dette ciffer. $\delta \left({\frac {a}{b}}\right)=\delta a+\delta b$

Et eksempel på division , op til 3. decimal: $\gamma =\pi :e$

Vi afrunder disse tal til 4. decimal (for at forbedre nøjagtigheden af beregninger);
Vi får: ; $\pi \approx 3.1416,\ e\approx 2.7183$
Vi dividerer med en kolonne :; $\gamma =\pi :e\ca. 3.1416:2.7183\ca. 1.1557$
Afrunding op til 3. decimal: . $\gamma \ca. 1.156$

Tidsplan

På sættet af par af reelle tal har rækkevidden af divisionsfunktionen grafisk form af en hyperbolsk paraboloid - en overflade af anden orden [ 5] . $\mathbb {R} ^{2}$ $c=a:b~$

Da vil rækkevidden af divisionsfunktionen for disse sæt tilhøre denne overflade. $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$

Division af komplekse tal

Sættet af komplekse tal med aritmetiske operationer er et felt og er normalt angivet med symbolet . $\mathbb {C}$

Algebraisk form

Kvotienten af to komplekse tal i algebraisk notation er et komplekst tal lig med:

z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {ab+de}{ b^{2}+e^{2}}}+{\frac {db-ae}{b^{2}+e^{2}}}i,

hvor: — komplekse tal, — imaginær enhed ; . $z,z_{1},z_{2}$ $a,b,c,d,e,f\in \mathbb {R}$ $jeg$ $z_{2}\neq 0,~~~b+ei\neq 0$

I praksis findes kvotienten af komplekse tal ved at multiplicere dividenden og divisoren med divisorens komplekse konjugat :

$z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {(a+di) (b-ei)}{(b+ei)(b-ei)}}={\frac {ab+de}{b^{2}+e^{2}}}+{\frac {db-ae }{b^{2}+e^{2}}}i,$ $~~z_{2}\neq 0,~~~b+ei\neq 0;$

divisor bliver et reelt tal, og to komplekse tal ganges i tælleren, derefter divideres den resulterende brøk led for led. Resultatet er defineret for alle $b+ei\neq 0=0+0i$

Trigonometrisk form

For at dividere to komplekse tal i trigonometrisk notation, skal du dividere modulet for udbyttet med modulet af divisoren og trække divisorargumentet fra udbytteargumentet:

$z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {r_{1}( \cos \varphi _{1}+i\sin \varphi _{1})}{r_{2}(\cos \varphi _{2}+i\sin \varphi _{2})))={\ frac {r_{1}}{r_{2}}}(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2} ),$

hvor: - modul og argument for et komplekst tal; . ${\displaystyle r_{n}=|z_{n}|=|x+yi|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}};~~~\varphi _{n}=\ operatørnavn {Arg} (z_{n})=\operatørnavn {arctg} {\biggl (}{\frac {x}{y}}{\biggr )))$ $z_{2}\neq 0,~~~r_{2}\neq 0$

Det vil sige, at modulet for kvotienten af to komplekse tal er lig med modulernes kvotient, og argumentet er forskellen mellem argumenterne for dividenden og divisoren.

Den eksponentielle (eksponentielle) form

At dividere et komplekst tal i eksponentiel form med et komplekst tal reduceres til at dreje vektoren svarende til tallet med en vinkel og ændre dens længde med en faktor. For private komplekse tal i eksponentiel form er ligheden sand: $z_{1}=a+di=r_{1}e^{i\varphi _{1))$ $z_{2}=b+ei=r_{2}e^{i\varphi _{2))$ $z_{1}$ $\operatorname {Arg} (z_{2})$ $|z_{2}|$

$z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {r_{1}e ^{i\varphi _{1}}}{r_{2}e^{i\varphi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i (\varphi _{1}-\varphi _{2})};$

hvor: - nummer e ; . $e=2{,}718281828\dots$ $z_{2}\neq 0,~~~r_{2}\neq 0$

Eksponentiel notation

I eksponentiel notation skrives tal som , hvor er mantissen , er karakteristikken for tallet , er talsystemets basis, . For at dividere to tal, der er skrevet i eksponentiel form, er det nødvendigt at adskille mantissen og karakteristika: ${\displaystyle a=\pm x\cdot P^{\pm n))$ $x$ $P^{n}$ $P$ $n\i \mathbb{Z }$ $(a\cdot P^{n}):(b\cdot P^{k})=(a:b)\cdot (P^{n}:P^{k})={\frac { a}{b}}\cdot P^{nk}.$

For eksempel:

(6{,}34\cdot 10^{4}):~(2{,}16\cdot 10^{-2})=(6{,}34:~2{,}16)\ cdot (10^{4}:10^{-2})\approx 2{,}935\cdot 10^{(4-(-2))}\approx 2{,}94\cdot 10^{4+ 2}\ca. 2{,}94\cdot 10^{6}.

Opdeling af fysiske mængder

Måleenheden for en fysisk størrelse har et specifikt navn ( dimension ): for længde (L) - meter (m), for tid (T) - sekund (s), for masse (M) - gram (g) og så på. Derfor er resultatet af måling af en bestemt mængde ikke bare et tal, men et tal med navnet [6] . Navnet er et selvstændigt objekt, der ligeligt deltager i delingsoperationen. Når du udfører en divisionsoperation på fysiske størrelser, opdeles både de numeriske komponenter selv og deres navne.

Ud over dimensionelle fysiske størrelser er der dimensionsløse (kvantitative) størrelser, som formelt er elementer i den numeriske akse , det vil sige tal, der ikke er bundet til bestemte fysiske fænomener (målt ved "stykker", "tider" osv.). Når man dividerer tal, der repræsenterer fysiske mængder, med en dimensionsløs størrelse, ændres det delelige tal i størrelse og bevarer måleenheden. For eksempel, hvis du tager 15 søm og sætter dem i 3 kasser, så får vi som et resultat af opdeling 5 søm i hver kasse:

15~{\text{gw):3=5~{\text{gw)).

Opdelingen af heterogene fysiske størrelser bør betragtes som at finde en ny fysisk størrelse, der er fundamentalt forskellig fra de mængder, vi deler. Hvis det er fysisk muligt at oprette en sådan kvotient, for eksempel ved at finde arbejde, hastighed eller andre mængder, danner denne mængde et sæt forskelligt fra de oprindelige. I dette tilfælde tildeles sammensætningen af disse størrelser en ny betegnelse (nyt udtryk ), for eksempel: tæthed , acceleration , kraft osv. [7] .

For eksempel, hvis du dividerer længden med den tid, der svarer til én fysisk proces, får du et navngivet tal (fysisk mængde), der svarer til den samme fysiske proces, som kaldes "hastighed" og måles i "meter per sekund": $L=8~{\text{m}}~$ $T=2~{\text{s)),~$ $V=4~{\text{m/s)).$

V=L:T=8~{\text{m}}:2~{\text{s}}=4~~{\text{(m : s)))=4~{\text{ Frk}}.

Når fysiske processer beskrives med matematiske midler, spiller begrebet homogenitet en vigtig rolle, hvilket f.eks. betyder, at "1 kg mel" og "1 kg kobber" tilhører forskellige mængder {mel} og {kobber} , og kan ikke adskilles direkte. Begrebet homogenitet antyder også, at delelige mængder hører til en fysisk proces. Det er uacceptabelt at dividere for eksempel en hests hastighed med en hunds tid.

Division i algebra

I modsætning til de simpleste aritmetiske tilfælde, på vilkårlige mængder og strukturer, kan division ikke kun være udefineret, men også have en mangfoldighed af resultater.

Normalt i algebra introduceres division gennem begrebet identitet og omvendte elementer. Hvis identitetselementet introduceres unikt (normalt aksiomatisk eller per definition), så kan det omvendte element ofte være enten venstre ( ) eller højre ( ). Disse to omvendte elementer kan eller kan ikke eksistere separat, ens eller ikke lig med hinanden. $x^{{-1}}*x=e$ $x*x^{{-1}}=e$

For eksempel bestemmes forholdet mellem matricer gennem den inverse matrix, mens det selv for kvadratiske matricer kan være:

B^{{-1}}\cdot A\neq A\cdot B^{{-1}}

Forholdet mellem tensorer er generelt ikke defineret.

Division af polynomier

Generelt gentager det ideerne om at dividere naturlige tal, fordi et naturligt tal ikke er andet end værdierne af et polynomium, hvor koefficienterne er cifre, og bunden af talsystemet er i stedet for en variabel:

5334_{8}=5\cdot 8^{3}+3\cdot 8^{2}+3\cdot 8^{1}+4\cdot 8^{0}=\venstre.(5x^{3} +3x^{2}+3x+4)\right|_{{x=8}}

Derfor defineres følgende på samme måde: kvotient, divisor, dividende og rest (med den eneste forskel, at begrænsningen er pålagt graden af resten). Derfor er division med en kolonne også anvendelig til division af polynomier .

Forskellen ligger i, at når man dividerer polynomier, lægges hovedvægten på udbyttegraderne og divisoren og ikke på koefficienterne. Derfor antages det normalt, at kvotienten og divisoren (og dermed resten) er defineret op til en konstant faktor.

Division med nul

Ved definitionen af talmængder er division med tallet 0 ikke defineret. Kvotienten for at dividere et hvilket som helst andet tal end nul med nul eksisterer ikke, da intet tal i dette tilfælde kan opfylde definitionen af en kvotient [8] . For at bestemme denne situation antages det, at resultatet af denne operation betragtes som "uendeligt stort" eller "lig med uendeligt " (positivt eller negativt, afhængigt af operandernes tegn). Fra et geometrisk synspunkt udføres en affin forlængelse af tallinjen . Det vil sige, at den sædvanlige sekvens af reelle tal er "komprimeret", så det er muligt at operere med grænserne for denne sekvens. To abstrakte uendeligt store mængder introduceres som (betingede) grænser . Fra den generelle topologis synspunkt udføres en to-punkts komprimering af tallinjen ved at tilføje to idealiserede punkter (uendeligheder med det modsatte fortegn). Skrive: $\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ $+\infty ,-\infty$

a:0=\pm \infty

, hvor

a\neq 0.

Hvis vi laver en projektiv udvidelse af mængden af reelle tal ved at indføre et idealiseret punkt , der forbinder begge ender af den reelle linje, så vil der fra den generelle topologis synspunkt blive udført en etpunktskomprimering af den reelle linje ved at tilføjer usigneret uendelighed. Lad os supplere det resulterende sæt af tal med et nyt element , som et resultat får vi , på dette grundlag bygges en algebraisk struktur kaldet " Wheel " (Wheel) [9] . Udtrykket blev taget på grund af ligheden med det topologiske billede af den projektive forlængelse af den reelle linje og punktet 0/0. De foretagne ændringer gør dette algebraiske system til en monoid både ved additionsoperationen (med nul som et neutralt element) og ved multiplikationsoperationen (med enhed som et neutralt element). Dette er en type algebra, hvor division altid er defineret. Især division med nul giver mening. $\infty ~$ $\perp =0/0$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\perp }^{\infty }=\mathbb {R} \cup \{\infty ,\perp \))$ ${\mathfrak {W}}=\langle \mathbb {R} _{\perp }^{\infty },0,1,+,\cdot ,/\rangle ~$

Der er andre algebraiske systemer med division med nul. For eksempel "almindelige enge" (almindelige enge) [10] . De er lidt enklere, da de ikke udvider rummet ved at introducere nye elementer. Målet opnås som i hjul, ved at transformere operationerne med addition og multiplikation, samt afvisning af binær division.

Se også

Noter

↑ Så disse egenskaber kaldes i lærebøger for elementære karakterer
↑ Talsystemer, 2006 , s. 3.
↑ Da den lineære ordensrelation allerede er blevet introduceret på mængden af reelle tal, kan vi definere topologien af den reelle linje: som åbne mængder tager vi alle mulige foreninger af intervaller af formen $\{x:\alpha <x<\beta \}$
↑ Ilyin, 1985 , s. 46.
↑ Ligningen kan let reduceres ved at ændre variable til ligningen for en hyperbolsk paraboloid . $z={\frac {x}{y))$ ${\frac {z^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2x$
↑ Volinskaya N. I. Integreret lektion i fysik og matematik, Måling af fysiske mængder og deres enheder, skole 7, Brest . brestschool7.iatp.by. Hentet 18. april 2016. Arkiveret fra originalen 7. august 2016. (ubestemt)
↑ Makarov Vladimir Petrovich. Om "dimensionen" af fysiske mængder . lithology.ru, Lithology.RF. Hentet 18. april 2016. Arkiveret fra originalen 6. maj 2016. (ubestemt)
↑ M. Ya. Vygodsky Håndbog i elementær matematik.
↑ Jesper Carlstrøm. Wheels-On Division fra Zero. - Stockholm: Matematisk Institut Stockholms Universitet, 2001. - 48 s.
↑ Jan A. Bergstra og Alban Ponse. Division med nul i almindelige enge . - Holland: Sektionsteori for Computer Science Informatics Institute, Det Naturvidenskabelige Fakultet Universitetet i Amsterdam, 2014. - 16 s. Arkiveret 26. marts 2018 på Wayback Machine

Litteratur

Ilyin V.A. osv. Matematisk analyse. Indledende kursus. (neopr.) . - Moscow State University, 1985. - T. 1. - 662 s.
Talsystemer . - Vologda: GOU SPO "Vologda Engineering College", 2006. - S. 3. - 16 s.

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk norsk Brockhaus og Efron Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	GND : 4150319-3 J9U : 987007557947605171 LCCN : sh85038610 NDL : 00575006 NKC : ph896353