Dixons hypotese

Dixons formodning er en talteoretisk antagelse lavet af Linord Dixon i 1904, der siger, at for ethvert endeligt sæt lineære former med , er der uendeligt mange naturlige tal n , for hvilke alle værdier af formerne vil være prime på samme tid, medmindre der er en sammenligning med hensyn til et eller andet primært modul, der umiddelbart udelukker denne mulighed. ${\displaystyle a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2},...a_{k}n+b_{k))$ $a_{j}\geqslant 1$

Ordlyd

Lad k være et naturligt tal, overvej k aritmetiske forløb med heltal , og . Dixons formodning antyder, at der er uendeligt mange naturlige tal n , således at for hver sådan n er alle k tal primtal. Kun det trivielle tilfælde er udelukket fra overvejelse, når der eksisterer et primtal p , således at for enhver n er mindst ét tal et multiplum af p . Denne begrænsning kan omformuleres som følger: det er ikke sandt, at sammenligningen udføres for nogen n . I sidstnævnte tilfælde kan både flere progressioner for forskellige n og én progression for alle n divideres med p . For eksempel for 2 progressioner altid , og for 2 andre progressioner for lige n , og for ulige - , så i par af progressioner og antallet af simple par er ikke uendeligt. ${\displaystyle a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2},...a_{k}n+b_{k))$ ${\displaystyle a_{j},b_{j))$ $a_{j}\geqslant 1$ ${\displaystyle a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2},...a_{k}n+b_{k))$ ${\displaystyle a_{j}n+b_{j))$ $(a_{1}n+b_{1})(a_{2}n+b_{2})...(a_{k}n+b_{k})\equiv 0{\pmod p}$ $n,2n$ $2\midt 2n$ $n,n+3$ $2\midt n$ $2\midt n+3$ $n,2n$ $n,n+3$

Vi bemærker også, at formuleringen af hypotesen bliver mere naturlig, hvis dens omfang udvides fra naturlige tal til alle heltal, især ikke kun positive tal betragtes som primtal , men også negative tal (som faktisk er primelementer i ringen i sædvanlig fornuft). I dette tilfælde er det ikke nødvendigt at kræve positiviteten af alle værdier af alle progressioner , og derfor kan tilstanden svækkes til , og sidstnævnte kan fjernes helt, da det ellers ikke er en aritmetisk progression. $2,3,5,...$ $-2,-3,-5,...$ $\mathbb {Z}$ ${\displaystyle a_{j}n+b_{j))$ $a_{j}\geqslant 1$ $a_{j}\neq 0$ ${\displaystyle a_{j}n+b_{j))$

Særlige tilfælde

Sagen er allerede blevet bevist - dette er Dirichlets sætning . $k=1$
De to specialtilfælde er velkendte formodninger: der er uendeligt mange tvillingeprimtal ( n og n + 2 primtal), og der er uendeligt mange Sophie Germain-tal ( n og 2 n + 1 primtal).
Polignacs formodning - der er uendeligt mange simple par af formen , t er et fast naturligt tal (det vil sige et uendeligt antal simple par , osv .). $n,n+2t$ $(n,n+2)$ $(n,n+4)$ $(n,n+6)$
Konsekutiv primtal formodning: Hvis der ikke er nogen primtal p , således at for alle n , så er antallet af på hinanden følgende primtal uendeligt (disse er igen par , tripler , firdobler osv.) $p\mid (n+b_{1})(n+b_{2})...(n+b_{k})$ $(n,n+2)$ $(n,n+2,n+6)$ $(n,n+2,n+6,n+8)$
Som andre konsekvenser kan man nævne det faktum, at uendeligheden af antallet af sammensatte Mersenne-tal og uendeligheden af Carmichael-tal indeholdende præcis 3 primfaktorer følger af Dixons formodning mv.

Heuristiske overvejelser til fordel for hypotesen

Lad være antallet af sammenligningsløsninger . I henhold til hypotesens antagelse, og derefter i henhold til heuristisk ræsonnement til fordel for Bateman-Horn-hypotesen, opnår vi, at tætheden af tal n , der ikke overstiger x , for hvilke alle tal er primtal, estimeres ved værdien $w(p)$ $(a_{1}n+b_{1})(a_{2}n+b_{2})...(a_{k}n+b_{k})\equiv 0{\pmod p}$ $w(p)<p$ $a_{j}n+b+j$

\prod \limits _{p}{\frac {1-w(p)/p}{(1-p^{-1})^{k}}}\int \limits _{2}^ {x}{\frac {dt}{\ln ^{k}t)),

her overtages produktet alle primtal p , og er tallets naturlige logaritme . Værdien er asymptotisk ækvivalent, men det 1. udtryk bør være mere præcist. Når , er det let at kontrollere, at koefficienten vil være lig med , hvilket svarer til Dirichlet-sætningen (her er Euler-funktionen ). $\ln$ $\prod \limits _{p}{\frac {1-w(p)/p}{(1-p^{-1})^{k))}{\frac {x}{\ln ^{k}x}},$ $k=1$ ${\frac {1}{\varphi (a_{1)))))$ $\varphi$

Generaliseringer

Dixons formodning blev senere generaliseret af Schinzel til Schinzels formodning .

Se også

Links

Dickson, L.E. (1904), En ny udvidelse af Dirichlets sætning om primtal , Messenger of mathematics bind 33: 155–161 , < https://books.google.com/books?id=i8MKAAAAIAAJ&pg=PA155 > Arkiveret fra maj 16, 2016 på Wayback Machine
Ribenboim, Paulo (1996), The new book of primtal records , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94457-9 , < https://books.google.com/books?id= 72eg8bFw40kC > Arkiveret 23. juni 2016 på Wayback Machine
http://primes.utm.edu/glossary/xpage/DicksonsConjecture.html Arkiveret 23. oktober 2012 på Wayback Machine

Hypoteser om primtal
Hypoteser	Hardy - Littlewood Siden - Jugi Andritsy Artina Bateman-Horns hypotese Brocard Bunyakovsky kinesisk hypotese Kramer Dixon Elliot-Halberstam Firuzbekht Gilbraith Grimm Landau problemer Goldbach Legendre Tvillingtal Legendre konstant Lemoine Mersenne Opperman Polignac Poyi Redmond - Sunya Hypotese H Waringa