Hypotese (matematik)

En hypotese i matematik  er et udsagn , der ud fra tilgængelig information ser ud til at være sandt med stor sandsynlighed , men som det ikke er muligt at få et matematisk bevis for [1] [2] . En matematisk hypotese er et åbent matematisk problem , og ethvert uløst matematisk problem, der er et løselighedsproblem, kan angives i form af en hypotese. Imidlertid kan ikke alle matematiske problemer formuleres som en hypotese. For eksempel er det umuligt at forudsige en specifik løsning af et bestemt ligningssystem eller et optimeringsproblem for 2208 ukendte, men en sådan løsning kan ikke kun være et praktisk, men også et egentligt matematisk resultat [3] .

Riemann-hypotesen , Fermats sidste sætning , Warings hypotese og flere andre matematiske hypoteser har spillet en væsentlig rolle i matematikken, da forsøg på at bevise dem har ført til skabelsen af ​​nye områder og forskningsmetoder.

Matematisk og naturvidenskabelig hypotese

I modsætning til en naturvidenskabelig hypotese, kan en matematisk hypotese logisk bevises i et eller andet system af aksiomer , hvorefter det bliver en sætning, sandt under disse begrænsninger, "for alle tider". Et typisk eksempel er Newtons videnskabelige arv , som erklærede, at han "ikke opfinder hypoteser", og som i fysikken stræbte efter ikke at gå ud over rammerne for en matematisk model . Newtons matematiske sætninger, ligesom den gamle Pythagoras sætning , forbliver i kraft den dag i dag, men hans klassiske mekanik og gravitationsteorien efter fremkomsten af ​​speciel og generel relativitet blev tilbagevist fysiske hypoteser. Hvis en matematisk hypotese, der kan afgøres, enten kan bevises eller afkræftes, så udelukker egenskaberne verificerbarhed og falsificerbarhed ikke hinanden for en naturvidenskabelig hypotese på grund af relativiteten af ​​naturvidenskabelig viden [4] . Newtonsk mekanik er uanvendelig for hastigheder tæt på lysets hastighed, men beskriver bevægelsen af ​​de fleste kroppe i solsystemet med meget høj nøjagtighed. Derfor taler man i fysikken normalt ikke om at tilbagevise hypoteser, men om at begrænse rækkevidden af ​​teoriens anvendelighed.

Opløsning af matematiske hypoteser

Bevis

Matematik er baseret på formelle beviser. Uanset hvor overbevisende hypotesen kan virke, uanset hvor mange eksempler der gives til støtte for den, kan hypotesen tilbagevises af ét modeksempel. Moderne matematiske tidsskrifter offentliggør nogle gange forskningsresultater om det interval, inden for hvilket validiteten af ​​hypotesen testes. For eksempel er Collatz-formodningen blevet testet for alle heltal op til 1,2 × 10 12 , men denne kendsgerning alene giver ikke noget til at bevise formodningen.

For at bevise en hypotese skal der fremlægges et matematisk bevis , som gennem logisk fejlfri ræsonnement baseret på et bestemt system af aksiomer gør udsagnet af hypotesen til det eneste mulige eller det modsatte udsagn er logisk umuligt.

Når en hypotese er bevist, bliver den i matematikken til en sætning . Gendrivelsen af ​​en eksplicit eller implicit hypotese kan også blive en teorem. I matematikkens historie eksisterede nogle hypoteser i en implicit form i lang tid , og talrige forsøg på at finde en cirkels kvadratur eller en løsning på en algebraisk ligning af femte grad i radikaler udgik fra efterfølgende tilbageviste hypoteser om, at dette er muligt .

Gendrivelse

Gendrivelsen af ​​en hypotese udføres også ved hjælp af beviser, men under hensyntagen til de typiske formuleringer af hypoteser, er gendrivelse ofte den simpleste form for bevis – et modeksempel. Et sådant bevis er det enkleste fra et logisk synspunkt, dog kan det være meget svært at konstruere et eksempel i grafteori eller finde et eksempel i talteori ( Eulers formodning ). Efter gendrivelse kan hypotesen blive et faktum i matematikkens historie, eller den kan transformeres til en ny matematisk hypotese. For eksempel blev Euler-hypotesen, efter at være blevet tilbagevist, transformeret til Lander-Parkin-Selfridge-hypotesen . I dette tilfælde ligner processen udviklingen af ​​naturvidenskabelige hypoteser.

Uafklarelige hypoteser

Ikke for nogen hypotese er det muligt at bevise dens sandhed eller falskhed i et givet system af aksiomer. Ifølge Gödels ufuldstændighedsteorem er der i enhver tilstrækkelig kompleks aksiomatisk teori, såsom aritmetik , udsagn, der hverken kan modbevises eller bevises inden for teorien selv. Derfor indeholder enhver matematisk teori, der indeholder aritmetik, hypoteser, der ikke er tilbagevist og ubeviselige inden for dens rammer.

For eksempel har det vist sig, at Cantors kontinuumhypotese i mængdeteori ikke afhænger af det generelt accepterede Zermelo-Fraenkel-system af aksiomer . Derfor kan man acceptere denne påstand eller dens negation som et aksiom uden at komme til en modsigelse med resten af ​​aksiomer og uden konsekvenser for de tidligere beviste sætninger. I geometri , siden oldtiden, har matematikere været i tvivl om Euklids aksiom for parallelisme . I dag er det kendt, at hvis vi accepterer det modsatte aksiom, så er det muligt at konstruere en konsistent Lobachevsky-geometri , inklusive absolut geometri , det vil sige med bevarelse af alle andre aksiomer.

Betingede beviser

Vigtige konsekvenser følger af gyldigheden af ​​nogle ubeviste hypoteser. Hvis der er en udbredt tro på, at en hypotese er sand, så beviser matematikere nogle gange sætninger, der kun er sande, hvis hypotesen er sand, i håb om, at hypotesen vil blive bevist. Lignende beviser er almindelige, for eksempel i forbindelse med Riemann-hypotesen.

Et par bemærkelsesværdige eksempler

Her er de udsagn, der har haft stor indflydelse på matematikken, idet de er i status af hypoteser. Nogle af dem forbliver hypoteser den dag i dag, andre er blevet bevist eller tilbagevist.

Fermats sidste sætning

I talteorien siger Fermats sidste sætning , at ingen tre naturlige tal er ens , hvis hele tallet er større end 2.

Pierre de Fermat skrev denne formodning i 1637 i margenen af ​​Diophantus' Aritmetik , sammen med erklæringen om, at han havde et bevis, men det var for stort til at passe i denne margen. [5] Det første vellykkede bevis blev opnået af John Wiles i 1994 og offentliggjort i 1995, efter 358 års indsats fra mange matematikere. Forsøg på at løse dette problem i det 19. århundrede førte til udviklingen af ​​algebraisk talteori og beviset for modularitetssætningen i det 20. århundrede.

Poincarés formodning

Poincaré-formodningen siger, at enhver enkelt forbundet kompakt 3 -manifold uden grænse er homøomorf til en 3 - sfære . Henri Poincare formulerede denne hypotese i 1904. Efter næsten et århundredes matematikbestræbelser beviste Grigory Perelman denne formodning i tre artikler, der blev offentliggjort i 2002 og 2003 på arXiv- webstedet . Beviset fulgte Richard Hamiltons forslag om at bruge Ricci-strømmen til løsningen . [6] Flere hold matematikere testede Perelmans bevis og bekræftede, at det var korrekt. Interessant nok, for sfærer af højere dimensioner, er beviser blevet opnået tidligere.

Riemann-hypotesen

Riemann-hypotesen , foreslået i 1859, siger, at alle ikke-trivielle rødder af Riemann zeta-funktionen har en reel del lig med 1/2. En række resultater om fordelingen af ​​primtal følger af gyldigheden af ​​Riemann-hypotesen . Nogle matematikere betragter denne formodning som det vigtigste uløste problem i "ren matematik" . Riemann-hypotesen er på listerne over Hilbert-problemer og Millennium-problemer .

Ligestilling af klasserne P og NP

Spørgsmålet om lighed mellem klasserne P og NP er inkluderet i listen over årtusindets opgaver og er et af datalogiens hovedproblemer . Uformelt, men ret præcist, bunder spørgsmålet ned til, om et problem, hvis løsning kan verificeres i polynomiel tid, også kan løses i polynomiel tid ved hjælp af polynomiel hukommelse. Den fremherskende opfattelse i dag er, at det ikke er tilfældet. Men hvis beviset for sandheden af ​​denne hypotese kan være konstruktiv (det er nødvendigt kun at præsentere en algoritme, som mange mennesker forsøger at gøre), så er det uklart, hvordan man beviser det modsatte. Problemet blev formentlig første gang nævnt i 1956 i et brev fra Kurt Gödel til John Neumann . [7] Problemet blev præcist angivet i 1971 af Stephen Cook [8] og anses af mange for at være det vigtigste åbne problem på området [9] .

Historie

Gamle græske matematikere brugte ofte et tankeeksperiment som en metode til matematisk bevis, som omfattede fremsættelse af hypoteser og udledning af konsekvenser fra dem ved hjælp af deduktion af konsekvenser for at verificere rigtigheden af ​​de indledende gæt. I dag kaldes et sådant ræsonnement metoden til bevis ved modsigelse . Platon betragtede hypoteser som præmisser for den analytisk-syntetiske bevismetode udviklet af ham, der var i stand til at give en absolut sand karakter af konklusionen. Hypotesen som forskningsmetode blev imidlertid afvist af Aristoteles , der kun mente generelle, nødvendige og absolutte sandheder som præmisser for et syllogistisk bevis. Dette førte til den efterfølgende negative holdning hos videnskabsmænd til hypoteser som en form for upålidelig eller sandsynlig viden [4] . Det var først i det 19. århundrede, at det var muligt at overvinde hypotesernes modsætning og absolut nøjagtige viden og som følge heraf en afvisende holdning til hypoteser. Især Engels , der betragtede en hypotese som en form for "udvikling af naturvidenskab" [10] , fremsatte en holdning til hypotesers forhold til love og teorier som forskellige former for sand viden.

Noter

  1. ↑ Oxford Dictionary of English  (neopr.) . – 2010.
  2. ↑ JL Schwartz. Skift mellem det særlige og det almene: refleksioner over formodningers og hypotesers rolle i genereringen af ​​viden inden for naturvidenskab og  matematik . - 1995. - S. 93.
  3. ↑ Den omtrentlige bilineære algoritme af længde 46 for multiplikation af 4×4 matricer  (downlink)
  4. ↑ 1 2 Hypotese Arkiveret 5. marts 2016 på Wayback Machine // New Philosophical Encyclopedia
  5. ↑ Ore, Oystein (1988), Number Theory and Its History , Dover, s. 203-204, ISBN 978-0-486-65620-5 
  6. ↑ Hamilton, Richard S. Fire-manifolds med positiv isotrop krumning  (ubestemt)  // Communications in Analysis and Geometry. - 1997. - V. 5 , nr. 1 . - S. 1-92 .
  7. ↑ Juris Hartmanis 1989, Godel, von Neumann og P = NP-problemet Arkiveret 26. februar 2015 på Wayback Machine , Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, vol. 38, s. 101-107
  8. ↑ Cook, Stephen Kompleksiteten af ​​teorembevisende procedurer // Proceedings of the Third Annual ACM Symposium on Theory of Computing  (engelsk) . - 1971. - S. 151-158.
  9. ↑ Lance Fortnow, Status for P versus NP - problemet Arkiveret fra originalen den 24. februar 2011. , Meddelelser fra ACM 52 (2009), nr. 9, s. 78-86. doi : 10.1145/1562164.1562186
  10. ↑ K. Marx og F. Engels Soch., bind 20, s. 555