Bateman-Horns hypotese

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 28. december 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Bateman-Horn-formodningen er et talteoretisk udsagn om hyppigheden af primtal blandt værdierne af et system af polynomier . Formuleret af Paul Bateman og Roger Horn i 1962. Det er en generalisering af Hardy-Littlewood-formodningen om tætheden af tvillingeprimtal og formodningen om primtal af formen n 2 + 1; og er også en styrkelse af H-hypotesen .

Definition

Bateman-Horns hypotese giver[ klargør ] den antagede tæthed af positive heltal, således at alle givne polynomier har prime værdier. For et sæt af m distinkte irreducerbare polynomier ƒ 1 , …, ƒ m med heltalskoefficienter er en indlysende nødvendig betingelse for, at polynomierne samtidig genererer prime værdier uendeligt ofte, at de opfylder Bunyakovsky-egenskaben , at der ikke er noget primtal p der dividerer deres produkt f ( n ) med hvert positivt heltal n . For hvis der var et sådant primtal p , så ville det at have alle polynomielle værdier samtidigt prime for et givet n betyde, at mindst en af dem skal være lig med p , hvilket kun kan ske for et endeligt antal værdier af n , ellers vil der være et polynomium med uendeligt antal rødder, mens formodningen er, hvordan man specificerer de betingelser, hvorunder værdierne samtidig er prime for et uendeligt tal n .

Et heltal n er et genererende primtal for et givet system af polynomier, hvis hvert polynomium ƒ i ( n ) producerer et primtal, når det gives n som et argument. Hvis P ( x ) er antallet af heltal, der genererer primtal blandt positive heltal mindre end x , så siger Bateman-Horn-formodningen, at

P(x)\sim {\frac {C}{D}}\int _{2}^{x}{\frac {dt}{(\log t)^{m}}},\,

hvor D er produktet af potenserne af polynomierne og C er produktet af primtallene p .

C=\prod _{p}{\frac {1-N(p)/p}{(1-1/p)^{m))}\

med antallet af løsninger til $N(p)$

f(n)\equiv 0{\pmod {p)).\

Bunyakovskys egenskab indebærer for alle primtal p , så enhver faktor i det uendelige produkt C er positiv. Så ville man intuitivt forvente, at konstanten C i sig selv er positiv, og med noget arbejde kan dette bevises. (Der er behov for arbejde, fordi nogle uendelige produkter af positive tal er nul.) $N(p)<p$

Negative tal

Som nævnt ovenfor er formodningen falsk: det eneste polynomium ƒ 1 ( x ) = − x giver kun negative tal, når der gives et positivt argument, så andelen af primtal blandt dets værdier er altid nul. Der er to lige gyldige måder at forfine hypotesen for at undgå denne vanskelighed:

Man kan kræve, at alle polynomier har positive ledende koefficienter, så kun et konstant antal af deres værdier kan være negative.
Alternativt kan man tillade negative ledende koefficienter, men overveje et negativt tal primtal, hvis dets absolutte værdi er primtal.

Det er rimeligt at tillade, at negative tal betragtes som primtal som et skridt i retning af at formulere mere generelle antagelser gældende for andre talsystemer end heltal, men samtidig er det nemt blot at negere polynomier og om nødvendigt reducere til det tilfælde, hvor førende koefficienter er positive.

Eksempler

Hvis systemet af polynomier består af et enkelt polynomium ƒ 1 ( x ) = x , så er værdierne af n , for hvilke ƒ 1 ( n ) er primtal, i sig selv primtal, og formodningen bliver en omformulering af primtallet sætning .

Hvis systemet af polynomier består af to polynomier ƒ 1 ( x ) = x og ƒ 2 ( x ) = x + 2, så er værdierne af n , for hvilke både ƒ 1 ( n ) og ƒ 2 ( n ) er prime tal, så er dette simpelthen det mindste af de to primtal i hvert tvillingepar . I dette tilfælde reduceres Bateman-Horn-formodningen til Hardy-Littlewood-formodningen om tætheden af tvillingeprimtal, ifølge hvilken antallet af par af tvillingeprimtal mindre end x er

\pi _{2}(x)\sim 2\prod _{p\geq 3}{\frac {p(p-2)}{(p-1)^{2))}{\frac {x}{(\log x)^{2}}}\ca. 1,32{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.

En analog for polynomier over et begrænset felt

Når de heltal er erstattet af polynomialringen F [ u ] for et endeligt felt F , kan man spørge, hvor ofte det endelige sæt af polynomier f i ( x ) i F [ u ][ x ] samtidigt får irreducerbare værdier i F [ u ] når vi erstatter x elementer af F [ u ]. De velkendte analogier mellem heltal og F [ u ] tilbyder en analog af Bateman-Horn formodningen om F [ u ], men analogen er forkert. For eksempel viser dataene, at polynomiet

x^{3}+u\,

i F 3 [ u ][ x ] tager (asymptotisk) det forventede antal irreducerbare værdier, når x løber gennem polynomier i F 3 [ u ] af ulige grad , men det ser ud til at tage (asymptotisk) dobbelt så mange irreducerbare værdier som forventet, når x løber over polynomier af grad 2 modulo 4, mens det (visbart) slet ikke tager nogen irreducerbare værdier, når x løber over ikke-konstante polynomier med grad deleligt med 4. En analog til Bateman-Horn formodningen om F [ u ], som svarer til numeriske data , bruger en ekstra asymptotisk faktor, der afhænger af værdien af d modulo 4, hvor d er graden af polynomier i F [ u ] som x er samplet over .

Links

Bateman Paul Trevier, Horne Roger Alan (1962), En heuristisk asymptotisk formel til fordelingen af primtal , Mathematics of Computing V. 16 (79): 363–367 , DOI 10.2307/2004056
Guy, Richard Kennett (2004), Uløste problemer i talteori (3. udgave), Springer Publishing , ISBN 978-0-387-20860-2
Friedlander John, Granville Andrew (1991), Constraints on the Uniform Distribution of Primes. IV. , Proceedings of the Royal Society A T. 435 (1893): 197–204 , doi 10.1098/rspa.1991.0138 .
Søren Laing Aletia-Zomlefer, Lenny Fukshsky, Stefan Ramon Garcia (25. juli 2018), EN HYPOTESE TIL AT REGERE DEM ALLE: BATEMAN–HORN , s. 1-45

Hypoteser om primtal
Hypoteser	Hardy - Littlewood Siden - Jugi Andritsy Artina Bateman-Horns hypotese Brocard Bunyakovsky kinesisk hypotese Kramer Dixon Elliot-Halberstam Firuzbekht Gilbraith Grimm Landau problemer Goldbach Legendre Tvillingtal Legendre konstant Lemoine Mersenne Opperman Polignac Poyi Redmond - Sunya Hypotese H Waringa