Goldbach problem

Goldbachs problem ( Goldbachs formodning , Eulers problem , Goldbachs binære problem ) er en erklæring om, at ethvert lige tal , startende fra 4, kan repræsenteres som summen af ​​to primtal . Er et åbent matematisk problem  - fra 2022 er udsagnet ikke bevist. Sammen med Riemann-hypotesen er den inkluderet i listen over Hilberts problemer ved nummer 8 .

En svagere version af hypotesen - Goldbachs ternære problem , ifølge hvilket ethvert ulige tal , startende fra 7, kan repræsenteres som summen af ​​tre primtal , - blev bevist i 2013 af den peruvianske matematiker Harald Gelfgott . Fra gyldigheden af ​​det binære Goldbach-problem følger det ternære på en indlysende måde: hvis hvert lige tal, startende fra 4, er summen af ​​to primtal, så kan du ved at lægge 3 til hvert lige tal få alle de ulige tal. tal fra 7.

Historie

I 1742 sendte matematikeren Christian Goldbach et brev til Leonhard Euler , hvori han fremsatte følgende formodning: hvert ulige tal større end 5 kan repræsenteres som summen af ​​tre primtal.

Euler blev interesseret i problemet og fremsatte en stærkere hypotese: hvert lige tal større end to kan repræsenteres som summen af ​​to primtal.

Den første sætning kaldes det ternære Goldbach-problem , den anden kaldes det binære Goldbach-problem (eller Euler-problemet ).

En hypotese, der ligner Goldbachs ternære problem, men i en svagere form, blev fremsat af Waring i 1770 : hvert ulige tal er et primtal eller summen af ​​tre primtal.

Ternær Goldbach-problem

I 1923 viste matematikerne Hardy og Littlewood , at hvis en eller anden generalisering af Riemann-hypotesen er sand, er Goldbach-problemet sandt for alle tilstrækkeligt store ulige tal.

I 1937 fremlagde Vinogradov et bevis uafhængigt af gyldigheden af ​​Riemann-hypotesen, det vil sige, han beviste, at ethvert tilstrækkeligt stort ulige tal kan repræsenteres som summen af ​​tre primtal. Vinogradov selv gav ikke et eksplicit skøn for dette "tilstrækkeligt store antal", men hans elev Konstantin Borozdin beviste, at den nedre grænse ikke overstiger 3 3 15 ≈ 3,25×10 6 846 168 ≈ 10 6 846 168 . Det vil sige, at dette nummer indeholder næsten 7 millioner cifre, hvilket gør det umuligt at kontrollere alle mindre tal direkte.

Efterfølgende blev Vinogradovs resultat forbedret mange gange, indtil Wang og Chen i 1989 sænkede [2] den 1043000,5≈1043000≈ 3,33339×11,503eenedre grænse til

I 1997 viste Desuiers , Effinger , te Riehl og Zinoviev [ 3] , at den generaliserede Riemann-hypotese implicerer gyldigheden af ​​Goldbachs ternære problem. De beviste dens gyldighed for tal større end 10 20 , mens gyldigheden af ​​udsagnet for mindre tal let kan fastslås på en computer.

I 2013 blev den ternære Goldbach-formodning endelig bevist af Harald Gelfgott [4] [5] [6] [7] .

Binært Goldbach problem

Det binære Goldbach-problem er stadig langt fra løst.

Vinogradov i 1937 og Theodor Estermann i 1938 viste, at næsten alle lige tal kan repræsenteres som summen af ​​to primtal. Dette resultat blev en smule forbedret i 1975 af Hugh Montgomery og Bob Vaughan .  De viste, at der er positive konstanter c og C , således at antallet af lige tal ikke større end N , der ikke kan repræsenteres som summen af ​​to primtal ikke overstiger .  

I 1930 beviste Shnirelman , at ethvert heltal kan repræsenteres som en sum af højst 800.000 primtal [8] . Dette resultat er blevet forbedret mange gange, så i 1995 beviste Olivier Ramaret , at ethvert lige tal er summen af ​​højst 6 primtal.

Af gyldigheden af ​​den ternære Goldbach-formodning (bevist i 2013) følger det, at ethvert lige tal er summen af ​​højst 4 primtal.

I 1966 beviste Chen Jingrun , at ethvert tilstrækkelig stort lige tal kan repræsenteres enten som summen af ​​to primtal eller som summen af ​​et primtal og et semiprimtal (produktet af to primtal). For eksempel, 100 = 23 + 7 11.

Fra april 2012 er Goldbachs binære formodning blevet testet [9] for alle lige tal, der ikke overstiger 4×10 18 .

Hvis Goldbachs binære hypotese er forkert, så er der en algoritme , som før eller siden vil opdage dens overtrædelse.

Den binære Goldbach-formodning kan omformuleres som et udsagn om uopløseligheden af ​​en diofantisk ligning af 4. grad af en speciel form [10] [11] .

I kultur

I 1992 blev "idéromanen" af Apostolos Doxiadis " Onkel Petros og Goldbach-problemet " udgivet og fik ekstrem popularitet . Til salgsfremmende formål lovede Faber og Faber en million dollars til enhver læser, der kunne løse problemet inden for to år efter udgivelsen. Romanen blev oversat til snesevis af sprog, i 2002 udkom dens russiske oversættelse [12] .

Goldbach-problemet er et vigtigt plotpunkt i filmen Trap Farm fra 2007 og Lewis - piloten fra 2006 .

Noter

  1. ↑ Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle (Band 1), St.-Pétersbourg 1843, S. 125-129 Arkiveret 1. juli 2019 på Wayback Machine
  2. ↑ JR Chen og TZ Wang, On the odd Goldbach problem, Acta Mathematica Sinica 32 (1989), 702-718. Tillæg 34 (1991) 143-144.
  3. ↑ Jean-Marc Deshouillers Arkiveret 25. oktober 2012 på Wayback Machine , Gove Effinger Arkiveret 1. oktober 2012 på Wayback Machine , Herman te Riele Arkiveret 29. marts 2012 på Wayback Machine , Dmitrii Zinoviev Arkiveret 29. august 2012 på Wayback Machine4 komplet Vinogradovs 3-primteorem under Riemann-hypotesen , Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, Vol. 3, s. 99 - 104. 1997.
  4. ↑ Terence Tao - Google+ - Travl dag i analytisk talteori; Harald Helfgott har...  (engelsk) . Hentet 10. juni 2013. Arkiveret fra originalen 22. marts 2017.
  5. ↑ Store buer for Goldbachs sætning Arkiveret 29. juli 2013 på Wayback Machine , HA Helfgott // arxiv 1305.2897
  6. ↑ Goldbach Variations Arkiveret 16. december 2013 på Wayback Machine // SciAm blogs, Evelyn Lamb, 15. maj 2013
  7. ↑ Two Proofs Spark a Prime Week for Number Theory Arkiveret 23. juni 2013 på Wayback Machine // Science 24. maj 2013: Vol. 340 nr. 6135 s. 913 doi:10.1126/science.340.6135.913
  8. ↑ R. Courant, G. Robbins Hvad er matematik? Arkiveret 11. januar 2014 på Wayback Machine  - 3. udgave, rev. og yderligere — M.: MTSNMO, 2001.
  9. ↑ Weisstein, Eric W. Goldbach Formodning  på Wolfram MathWorld- webstedet .
  10. ↑ Yuri Matiyasevich. Hilberts tiende problem: Hvad blev gjort, og hvad der skal gøres Arkiveret 13. juni 2010 på Wayback Machine .
  11. ↑ Matiyasevich Yu. V. Hilberts tiende problem . — Nauka, 1993. […] vi kan omformulere Goldbach-formodningen som et udsagn om, at den diofantiske ligning er løselig med hensyn til alle værdier af parameteren
  12. ↑ Onkel Petros og Goldbach-problemet ( arkiveret 14. september 2017 på Wayback Machine ) på Ozon-webstedet.

Litteratur

Links

  Gå til Wikidata-elementet  Ordbøger og encyklopædier
I bibliografiske kataloger
 Hypoteser om primtal
Hypoteser