Mersennes hypoteser

Mersennes hypoteser vedrører beskrivelsen af primtal af Mersenne - tal (tal lig med to potenser uden enhed).

Mersennes oprindelige formodning

Den oprindelige formodning, kaldet Mersenne-hypotesen , er Marin Mersennes påstand i hans Cogitata Physica-Mathematica (1644; se Dickson 1919), at tal er primtal for n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31 , 67 , 127 og 257 og sammensat for alle andre positive heltal n ≤ 257. På grund af størrelsen af disse tal testede og kunne Mersenne ikke alle disse tal i det 17. århundrede. I sidste ende, efter tre århundreder og tilgængeligheden af nye teknikker såsom Luc-Lehmer-testen , blev det fundet, at Mersenne-hypotesen indeholdt fem fejl, nemlig to sammensatte en ( n = 67, 257) og tre manglende primtal ( n = 61, 89, 107) numre. Korrekt liste: n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 og 127. $2^{n}-1$

Selvom den oprindelige Mersenne-formodning ikke er korrekt, har den ført til den nye Mersenne-hypotese .

Mersennes nye formodning

Den nye Mersenne-formodning eller formodningen af Bateman, Selfridge og Wagstaff [1] siger, at for ethvert ulige naturligt tal p , hvis to af følgende betingelser er opfyldt, så er den tredje også opfyldt:

p = 2k ± 1 eller p = 4k ± 3 for et naturligt tal k . ( A122834 )
2 p − 1 er primtal ( Mersenne tal ). ( A000043 )
( 2p + 1) / 3 er et primtal ( Wagstaff prime ). ( A000978 )

Hvis p er ulige sammensat , så er sammensatte tal det også. For at teste rigtigheden af hypotesen er det således tilstrækkeligt kun at teste primtal. $2^{p}-1$ $(2^{p}+1)/3$

Det er i øjeblikket kendt, at blandt de tal, for hvilke alle tre betingelser er opfyldt, er 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 127 ( A107360 ), og det antages, at der blandt tallene større end 127 er ingen tal, for hvilke alle tre betingelser er opfyldt.

Enkel, hvor mindst én betingelse er opfyldt:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 67, 79, 89, 101, 107, 127, 167, 191, 199, 257, 373, 3, 3, 5 607, 701, 1021, 1279, 1709, 2203, 2281, 2617, 3217, 3539, 4093, 4099, 4253 .

Bemærk, at de to tal, som Mersenne lavede en fejl med (67 og 257), falder ind under betingelserne (67 = 2 6 + 3, 257 = 2 8 + 1), men 89 og 107 gør det ikke. Mersenne kunne således i sin oprindelige form mene, at 2 p − 1 er primtal, hvis og kun hvis p = 2 k ± 1 eller p = 4 k ± 3 for nogle naturlige k .

Status for Mersenne-formodningen for de første 100 primtal

2	3	5	7	elleve	13	17	19	23	29
31	37	41	43	47	53	59	61	67	71
73	79	83	89	97	101	103	107	109	113
127	131	137	139	149	151	157	163	167	173
179	181	191	193	197	199	211	223	227	229
233	239	241	251	257	263	269	271	277	281
283	293	307	311	313	317	331	337	347	349
353	359	367	373	379	383	389	397	401	409
419	421	431	433	439	443	449	457	461	463
467	479	487	491	499	503	509	521	523	541

s	p har formen 2 n ± 1 eller 4 n ± 3
s	2 p − 1 er simpelt
s	(2 p + 1)/3 er primtal
s	p opfylder mindst én betingelse

Den nye Mersenne-hypotese kan ses som et forsøg på at løse en flere hundrede år gammel Mersenne-hypotese, der ikke er korrekt. Men ifølge Robert D. Silverman [2] mener John Selfridge, at den nye Mersenne-formodning er "åbenbart sand", fordi den blev formuleret til at tilfredsstille kendte data, og modeksempler under formodningens betingelser er ekstremt usandsynlige. Det kan mere ses som en nysgerrig observation end et spørgsmål, der kræver verifikation.

Renaud Lifshitz viste, at den nye formodning er sand for alle heltal mindre end 20.996.010 [3] ved successivt at teste alle ulige primtal, for hvilke en betingelse vides at være opfyldt. Hans hjemmeside [4] dokumenterer resultaterne af kontrollen op til dette antal. En anden, nyere version af siden om den nye formodning er "A New Conjecture on Mersenne Primes" [5] .

Lenstra-Pomerans-Wagstaff-hypotesen

Lenstra , Pomerans og Wagstaff formodede, at der er uendeligt mange Mersenne-primtal . Mere præcist er antallet af Mersenne-primtal mindre end x asymptotisk tilnærmet med

e^{\gamma }\cdot \log _{2}\log(x),

[6] ,

hvor er Euler-Mascheroni konstanten . Med andre ord er antallet af Mersenne-primtal med eksponent p , der er mindre end y , asymptotisk $\gamma$

e^{\gamma }\cdot \log _{2}(y).

[6]

Det betyder, at der i gennemsnit bør være omkring ≈ 5,92 primtal p med et givet antal decimaler, således at det er primtal. $e^{\gamma }\cdot \log _{2}(10)$ $M_{p}$

Se også

Gillis' formodning om fordelingen af antallet af primdivisorer af Mersenne-tal
Luc-Lehmer test
Luke's Simplicity Test

Noter

↑ Bateman, Selfridge, Wagstaff, 1989 , s. 125-128.
↑ Tråd: Den nye Mersenne-formodning . mersenneforum.org . Arkiveret fra originalen den 15. juni 2017.
↑ The New Mersenne Prime Conjecture on Prime Pages . Hentet 20. marts 2018. Arkiveret fra originalen 6. marts 2018.
↑ Renaud Lifchitz. Status for den "nye Mersenne-formodning " . www.primenumbers.net . Arkiveret fra originalen den 3. april 2019.
↑ Chris K. Caldwell. Den nye Mersenne Prime-formodning . Prime Pages . Arkiveret fra originalen den 6. marts 2018.
↑ 1 2 Heuristics: Deriving the Wagstaff Mersenne Conjecture Arkiveret 5. marts 2018 på Wayback Machine . The Prime Pages . Hentet 2014-05-11.

Litteratur

Bateman PT, Selfridge JL, Wagstaff Jr. SS Den nye Mersenne-formodning // American Mathematical Monthly . - Mathematical Association of America, 1989. - V. 96 , no. 2 . - S. 125-128 . - doi : 10.2307/2323195 . — .
Dickson LE Talteoriens historie . - 1919. - S. 31. Genoptrykt af Chelsea Publishing, New York, 1971, ISBN 0-8284-0086-5 .

Links

Prime Pages. Mersennes formodning. Arkiveret 15. marts 2018 på Wayback Machine

Hypoteser om primtal
Hypoteser	Hardy - Littlewood Siden - Jugi Andritsy Artina Bateman-Horns hypotese Brocard Bunyakovsky kinesisk hypotese Kramer Dixon Elliot-Halberstam Firuzbekht Gilbraith Grimm Landau problemer Goldbach Legendre Tvillingtal Legendre konstant Lemoine Mersenne Opperman Polignac Poyi Redmond - Sunya Hypotese H Waringa