Vektor felt

Et vektorfelt er en kortlægning , der forbinder hvert punkt i det pågældende rum med en vektor med begyndelsen på dette punkt. For eksempel er vindhastighedsvektoren på et givet tidspunkt forskellig på forskellige punkter og kan beskrives ved et vektorfelt.

Definition og variationer

Euklidisk rum

Et vektorfelt på et euklidisk (eller pseudo-euklidisk ) rum [1] er defineret som en vektorfunktion af et punkt i rummet, der kortlægger dette rum ind i (på) sig selv [2] : ${\mathcal {E}}$

{\mathcal {F}}:{\mathcal {E}}\longrightarrow {\mathcal {E}}.

Det vil sige, at hvert punkt i rummet er forbundet med en bestemt vektor (værdien af vektorfeltet på et givet punkt i rummet). I det generelle tilfælde adskiller denne vektor sig for forskellige punkter i rummet, det vil sige i det generelle tilfælde antager vektorfeltet forskellige værdier på forskellige punkter i rummet. Ved hvert punkt i rummet har feltvektoren en vis værdi og en bestemt (bortset fra de tilfælde, hvor feltet forsvinder) retning i dette rum [3] .

I litteraturen (især i den ældre såvel som i den fysiske) bruges i forhold til et vektorfelt på et bestemt rum også præpositionen v ( det vil sige, de siger både feltet på rummet og feltet i rummet).

Sort

Synes godt om sektioner

I et mere generelt tilfælde, når det oprindelige rum er en manifold , er vektorfeltet defineret som en sektion af tangentbundtet til den givne manifold, det vil sige en afbildning, der tildeler hvert punkt en vektor fra tangentrummet til . $s$ $X_{p}$ $s$

Som operatør

Et vektorfelt på en manifold er en lineær operator , der opfylder produktreglen: $x$ $M$ $X:C^{\infty }(M)\rightarrow C^{\infty}(M)$

X(f\cdot g)=f\cdot (Xg)+(Xf)\cdot g

for vilkårlig . $f,g\in C^{\infty }(M)$

I fysik

I fysik har begrebet vektorfelt , udover den generelle betydning beskrevet ovenfor, en særlig betydning, hovedsageligt i forhold til fundamentale felter ( se nedenfor ). Betydningen af denne brug koger ned til det faktum, at fundamentale fysiske felter er klassificeret efter arten af deres potentiale, og en af disse typer er vektorfelter (som elektromagnetiske felter eller gluonfelter ).

Notation

Et vektorfelt betegnes normalt ganske enkelt i overensstemmelse med de konventioner, der er vedtaget for vektorer

i fysik gøres dette normalt med direkte fed skrift eller en pil over bogstavet, f.eks.
- $\mathbf {E}$ eller ; ${\vec {v}}$
- for 4-vektorer er indeksnotation traditionel, for eksempel ; $A_{i}$
i den matematiske litteratur som helhed er der ingen almindeligt accepterede specialnotationer for vektorer i almindelighed og vektorfelter i særdeleshed.

Det er ikke ualmindeligt at udtrykke afhængigheden af et punkt i rummet [4] , for eksempel:

\mathbf {B} (p),

hvor er en symbolsk betegnelse for et punkt i rummet,

s

eller

\mathbf {B} (\mathbf {r} ),

hvor er radiusvektoren, der karakteriserer et punkt i rummet.

\mathbf {r}

Det er ret almindeligt at angive et vektorfelt som en funktion af koordinater i det rum, hvor feltet er defineret, for eksempel:

{\vec {F}}(x,y,z)

eller (for et tidsafhængigt felt):

{\vec {F}}(x,y,z,t).

Historien om udtrykket

Udtrykket felt (sammen med begrebet feltlinjer ) ( eng. field, lines of force ) blev introduceret i fysikken af Michael Faraday omkring 1830 i studiet af elektromagnetiske fænomener .

Grundlaget for den analytiske teori om kraftfelter blev udviklet af Maxwell , Gibbs og Heaviside i anden halvdel af det 19. århundrede.

Særlige tilfælde af vektorfelter

Vektorfelter på en lige linje

Enhver funktion med reel værdi af en reel variabel kan fortolkes som et endimensionelt vektorfelt.

Vektorfelter på flyet

Hvis er radiusvektoren , som i det givne koordinatsystem har formen , så beskrives vektorfeltet ved en vektorfunktion af formen $\mathbf {r}$ $\mathbf {r} =(x,y)$

\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\big (}F_{x}(x,y),F_{y}(x,y){\big )}.

Vektorfelter i 3D-rum

Hvis er radiusvektoren , som i det givne koordinatsystem har formen , så beskrives vektorfeltet ved en vektorfunktion af formen $\mathbf {r}$ $\mathbf {r} =(x,y,z)$

\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\big (}F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z),F_{z}( x,y,z){\big )}.

I tredimensionelt rum giver de følgende karakteristika af vektorfeltet mening

Kurvilineært integral

\int \limits _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {dl} =\int \limits _{C}F_{\tau }\,dl,

hvor prikken betyder det indre produkt, er vektorelementet af den krumme bane, langs hvilken integrationen finder sted, er projektionen på den (positive) tangent til den krumme bane, er det skalære element af banen (længdeelementet), C er betonkurven, integrationsvejen (normalt antaget at være tilstrækkelig glat) . Den måske enkleste fysiske prototype af et sådant integral er arbejdet med kraften, der virker på et punkt, når punktet bevæger sig langs en given bane. $\mathbf {dl}$ ${\displaystyle F_{\tau ))$ $\mathbf {F}$ $dl$ $\mathbf {F}$

Oplag

er integralet med lukket sløjfe:

\Gamma =\oint \limits _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {dl} =\oint \limits _{C}F_{\tau }\,dl,

hvor integranden falder sammen med den lige ovenfor beskrevne, og forskellen ligger i integrationsvejen C , som i dette tilfælde er lukket per definition, hvilket er angivet med en cirkel på integraltegnet.

Vektorfeltflow

${\mathbf {F}}({\mathbf {r}})$ gennem overfladen er S defineret som et integral over S :

\Phi _{F}=\iint \limits _{S}\mathbf {F} \cdot \mathbf {dS} =\iint \limits _{S}F_{n}\,dS,

hvor er projektionen af feltvektoren på normalen til overfladen, er "fladens vektorelement", defineret som enhedsnormalvektoren ganget med arealelementet . Det enkleste eksempel på denne konstruktion er volumenet af væske, der passerer gennem overfladen S , når det strømmer med en hastighed F. $F_{n}$ $\mathbf {dS}$ $dS$

Afledt

Analogen af den afledte for et vektorfelt er tensoren af partielle afledte ( Jacobian ), som i kartesiske koordinater har formen

J={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial F_{x}}{\partial x}}(x,y,z)&{\dfrac {\partial F_{x}}{\partial y}}(x,y,z)&{\dfrac {\partial F_{x}}{\partial z}}(x,y,z)\\{\dfrac {\partial F_{y}}{\ delvis x))(x,y,z)&{\dfrac {\partial F_{y)){\partial y))(x,y,z)&{\dfrac {\partial F_{y)){\ partial z))(x,y,z)\\{\dfrac {\partial F_{z)){\partial x))(x,y,z)&{\dfrac {\partial F_{z)){ \partial y}}(x,y,z)&{\dfrac {\partial F_{z}}{\partial z}}(x,y,z)\end{bmatrix}}.

Divergens

er sporet af en sådan tensor af derivater. Det afhænger ikke af koordinatsystemet (det er en invariant af koordinattransformationer, en skalar ), og i rektangulære kartesiske koordinater beregnes det med formlen

\operatorname {div} \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+ {\frac {\partial F_{z)){\partial z)).

Det samme udtryk kan skrives ved hjælp af den nabla symbolske operator :

\operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} .

Ostrogradsky-Gauss-sætningen gør det muligt at beregne flowet af et vektorfelt ved hjælp af rumfangsintegralet af feltdivergensen.

Rotor

er vektorkarakteristikken for hvirvelkomponenten i vektorfeltet. Dette er en vektor med koordinater

\operatorname {rot} \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{z)){\partial y))-{\frac {\partial F_{y)){\partial z }}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\ højre)\mathbf {j} +\venstre({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\ mathbf {k} ,

hvor i , j og k er enhedsvektorerne for henholdsvis x- , y- og z - akserne .

For at lette hukommelsen kan du betinget repræsentere rotoren som et vektorprodukt :

\operatorname {rot} \mathbf {F} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} .

Gradient

- den vigtigste og mest enkle operation, der giver dig mulighed for at få et vektorfelt fra et skalarfelt . Vektorfeltet opnået ved at anvende en sådan operation på et skalarfelt f kaldes gradienten af f :

\operatorname {grad} f=\left({\frac {\partial f}{\partial x)),{\frac {\partial f}{\partial y)),{\frac {\partial f }{\partial z))\right)\equiv {\frac {\partial f}{\partial x))\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y))\mathbf {j } +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} ,

eller skriv med nabla :

\operatørnavn {grad} f\equiv \nabla f.

Et vektorfelt, hvis divergens er nul overalt, kaldes solenoidal ; det kan repræsenteres som en krølle af et andet vektorfelt.

Et vektorfelt, hvis krølle er nul på et hvilket som helst tidspunkt, kaldes potentiale ( irrotationel ); det kan repræsenteres som gradienten af et eller andet skalarfelt (potentiale).

Helmholtz-sætningen gælder : hvis et vektorfelt overalt i domænet D har en divergens og krølle, så kan dette felt repræsenteres som summen af et potentiale og et solenoidfelt.

Et vektorfelt, hvor både divergensen og krøllen er nul overalt, kaldes harmonisk ; dens potentiale er en harmonisk funktion .

Vektorlinjer

Integralkurve (også - vektorlinje , for kraftfelter - kraftlinje , for feltet for væske- eller gashastighed - strømlinje ; de første udtryk er generelle, resten er deres synonymer afhængigt af sammenhængen) for feltet kaldes en kurve , tangent til hvilken i alle punkter af kurven falder sammen med værdien af feltet: ${\mathbf {F}}({\mathbf {r}})$ ${\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(t)$

{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {F} {\big (}\mathbf {r} (t){\big )}.

For kraftfelter viser kraftlinjer tydeligt retningen af feltkræfternes virkning.

Hvis feltet i et tilstrækkeligt lille område af rummet ikke forsvinder nogen steder, så passerer én og kun én kraftlinje gennem hvert punkt i dette område. Punkter, hvor feltvektoren er nul, er ental, feltets retning er ikke defineret i dem, og opførselen af kraftlinjerne i nærheden af disse punkter kan være anderledes: det er muligt, at et uendeligt antal kraftlinjer passere gennem et enkelt punkt, men det er muligt, at ingen passerer.

Et vektorfelt kaldes komplet , hvis dets integralkurver er defineret på hele manifolden.

Vektorfelter i n -dimensionelt rum

Alle de konstruktioner og egenskaber, der er anført for vektorfelter i tredimensionelt rum, kan generaliseres direkte til enhver endelig rumdimension n .

Desuden er de fleste af disse generaliseringer ret trivielle, med undtagelse af definitionen af rotoren , hvis korrekte konstruktion i et vilkårligt n -dimensionelt tilfælde, i modsætning til det tredimensionale tilfælde, skal bruge det ydre , og ikke vektorproduktet (som kun er defineret for det tredimensionelle tilfælde). For n = 2 har den tilsvarende operation form af et pseudoskalært produkt .

Derudover er der i tilfælde af en vilkårlig n behov for en vis nøjagtighed med definitionen af flowet. Hoveddefinitionerne viser sig at være fuldstændig analoge for et flow gennem en hyperflade af dimension ( n − 1).

Fysiske eksempler

I fysik er typiske eksempler på et vektorfelt kraftfelter (et kraftfelt er et felt med en eller anden kraft (afhængigt af kroppens position i rummet, som denne kraft virker på) eller tæt forbundet med feltstyrkens styrke ).

Andre typiske eksempler er hastighedsfeltet (for eksempel strømningshastigheden af en væske eller gas), forskydningsfeltet (for eksempel i et deformeret elastisk medium) og mange andre [5] , for eksempel strømtæthedsvektoren , energifluxvektor, eller fluxtætheden af nogle materialepartikler (f.eks. i diffusion), vektoren for temperatur, koncentration eller trykgradient , og så videre.

Nogle flere detaljer:

elektromagnetisk felt . Dette fysiske felt giver adskillige eksempler på vektorfelter (generelt tidsafhængige) i den gamle tredimensionelle forstand: feltet for intensitetsvektoren E , feltet for den magnetiske induktionsvektor , vektorpotentialet (tredimensionelt); også vektorfelter i matematisk forstand er deres funktioner, såsom for eksempel Poynting-vektoren .
- Det elektromagnetiske felt er et eksempel på et vektorfelt i en mere moderne (fire-dimensionel) forstand, som beskrevet mere detaljeret nedenfor (se også Elektromagnetisk potentiale ).
- Et særligt tilfælde af et elektromagnetisk felt - et elektrostatisk felt - giver et af de enkleste og vigtigste eksempler på et vektorfelt (et tredimensionelt vektorfelt, der ikke afhænger af tid, i elektrostatik er den elektriske feltstyrke).
- Et andet interessant specialtilfælde er givet ved magnetostatik , som udforsker et vektorfelt med lidt andre egenskaber end elektrostatik - et hvirvelfelt med magnetisk feltstyrke eller magnetisk induktion, desuden forbundet med et andet vektorfelt - vektorpotentialefeltet.

Gravitationsfelt : i den klassiske Newtonske tyngdekraftsteori er gravitationsfeltstyrken et vektorfelt, formelt set fuldstændig magen til det elektriske feltstyrkefelt i elektrostatik, med undtagelse af forskellen i numeriske koefficienter (konstanter), inklusive deres fortegn. Bemærk, at i den generelle relativitetsteori og teorierne, der generaliserer den, er tyngdefeltet ikke vektor, men tensor , da tyngdekraften er bestemt af den metriske tensor .

Hastighedsfeltet for en væske i hydrodynamik eller en gas i aerodynamik . Den hydrodynamiske analogi er den mest illustrative for den fysiske forståelse af vektoranalysens grundlæggende konstruktioner. I den hydrodynamiske (hydrauliske) fortolkning er feltet hastighedsfeltet i væsken. Vektorfeltet svarer i dette tilfælde til et konstant flow (det vil sige, at feltet antages kun at afhænge af rumlige koordinater). Hvis flowet ændrer sig med tiden, skal det beskrives med et variabelt vektorfelt, der afhænger af tid.

Historisk set har hydrodynamik haft en enorm indflydelse på dannelsen af vektoranalysens grundlæggende strukturer og selve dens terminologi. Således er begreber som f.eks

vektor felt flow,
vortex ( rotor ) og vektorfeltcirkulation,
strømline

og også, i en eller anden grad, mange andre (praktisk talt hver af dem har, hvis ikke en hydrodynamisk oprindelse, så en hydrodynamisk fortolkning).

Funktioner ved brugen af udtrykket i fysik

Generelt i fysik har udtrykket vektorfelt samme betydning som i matematik, beskrevet ovenfor. I denne forstand kan enhver vektor-værdisat fysisk størrelse, der er en funktion af et punkt i rummet, ofte også afhængig af tid, kaldes et vektorfelt.

Der er dog også en specifik anvendelse af dette udtryk, som hovedsageligt forekommer i klassificeringen af grundlæggende fysiske felter. I dette tilfælde betyder ordene "vektorfelt", at vektorfeltet ( 4-vektor eller højere dimension, hvis vi har at gøre med abstrakte multidimensionelle teoretiske modeller) er den mest fundamentale størrelse - potentialet og ikke dets afledte (feltstyrke og lignende). Så for eksempel omtales et elektromagnetisk felt som et vektorfelt , hvis potentiale er et 4-vektorfelt , mens dets styrke fra et moderne synspunkt er en tensor . Tyngdefeltet kaldes i denne forstand tensor, da dets potentiale er et tensorfelt .

Et praktisk synonym for ordet "vektorfelt" i denne betydning er begrebet vektorpartikel i moderne fysik (også ved at dividere disse nære begreber taler man om en vektorpartikel som en excitation af et vektorfelt, eller for at sige det mere traditionelt , er en vektorpartikel et kvantum af et vektorfelt). Et andet praktisk synonym er spin 1 partikel eller spin 1 felt .

Af de fundamentale felter inkluderer vektor (i den angivne betydning) elektromagnetisk ( foton ), gluon (felt med stærke interaktioner ), såvel som feltet af massive vektorbosoner - bærere af den svage interaktion . Tyngdefeltet er, i modsætning til de anførte, et tensorfelt .

Med den betragtede klassifikation (klassificering i henhold til spin af det fundamentale bosoniske felt) er nogle egenskaber af det tilsvarende felt direkte relaterede, for eksempel tiltrækkes eller frastødes partikler af samme ladning (relateret til denne type interaktion) når de interagerer gennem dette felt er en sådan ladning den samme eller modsat for partikler og antipartikler. Partikler, der interagerer gennem et vektorfelt, frastøder hinanden med den samme ladning og tiltrækker med den modsatte, og partikel-antipartikel-parret har en modsat ladning i forhold til hinanden (som især i tilfælde af et elektromagnetisk felt) - i kontrast til gravitationsfeltets og gravitationsladningers egenskaber.

Noter

↑ I princippet kan et vektorfelt på lignende måde defineres ikke kun på et euklidisk eller pseudo-euklidisk, men også på et vilkårligt lineært eller affint rum, men normalt antages rummet stadig at være endeligt-dimensionelt, og det antages, at skalært produkt er defineret på det (nødvendigt for at bestemme de grundlæggende operationer af vektoranalysen , såsom divergens , krumlinjet integral osv.); i fysiske applikationer er dette oftest det sædvanlige fysiske tredimensionelle rum eller firedimensionelle rumtid .
↑ Denne formelle matematiske definition skelner ikke mellem grundrummet og rummet af feltvektorer - da den ene kan fås fra den anden ved at gange med et tal ( skalar ). Fra et fysiksynspunkt er der en vis forskel mellem disse rum, da feltvektoren som regel måles i andre måleenheder, så identiteten af hovedrummet og feltvektorernes rum er noget vilkårlig ( feltvektoren kan afbildes i hovedrummet, men længden af denne vektor vil være betinget). Men under alle omstændigheder, med den sædvanlige standardintroduktion af begrebet et vektorfelt, falder dimensionerne af disse rum sammen, desuden er feltvektoren bundet til hovedrummet i den forstand, at retningen af feltvektoren (hvis den er ikke nul) er fuldstændig bestemt i det rum, hvor feltet er givet, kan det udvides i en basis (eller ramme ) i dette hovedrum, selvom udvidelseskoefficienterne og ikke vil være dimensionsløse (i betydningen fysiske enheder) tal.
↑ Hvis vi betragter et felt, der afhænger af tid (det vil sige ændrer sig over tid), så er det underforstået, at det antager en bestemt specifik værdi (størrelse og retning) på hvert punkt i rummet på hvert specifikt tidspunkt (og kl. forskellige tidspunkter, disse værdier er generelt forskellige for et punkt).
↑ Selvfølgelig, i dette tilfælde, hvis det er nødvendigt, kan den funktionelle afhængighed af nogle andre parametre også angives, for eksempel, hvor er et punkt i rummet, er en yderligere parameter (for eksempel kildens ladning). ${\vec {E}}({\vec {r}},Q),$ ${\vec {r))$ $Q$
↑ Disse eksempler kan være mere fundamentale eller mindre, men i princippet kan næsten enhver fysisk vektorstørrelse, der afhænger af koordinater, betragtes som et vektorfelt.

Litteratur

Borisenko AI, Tarapov IE Vektoranalyse og principper for tensorregning. - M . : Højere skole, 1966, 251 s.
Kumpyak D. E. Vektor- og tensoranalyse. Arkiveret 27. februar 2014 på Wayback Machine universitet , 2007, 158 s.
McConnel A. J. Introduktion til tensoranalyse med anvendelser til geometri, mekanik og fysik. Arkivkopi dateret 27. februar 2014 på Wayback Machine - M . : Fizmatlit, 1963, 411 s.
Fikhtengolts G. M. Forløb af differential- og integralregning, bind III. — M .: Nauka , 1966.