Helmholtz dekomponeringssætning

Helmholtz- nedbrydningssætningen er et udsagn om dekomponering af et vilkårligt differentierbart vektorfelt i to komponenter:

Hvis divergensen og krølningen af et vektorfelt er defineret ved hvert punkt i et endeligt åbent område V i rummet, så kan funktionen overalt i V repræsenteres som summen af et irrotationsfelt og et solenoidfelt : ${\mathbf {F}}({\mathbf {r}})$ ${\mathbf {F}}_{1}({\mathbf {r}})$ ${\mathbf {F}}_{2}({\mathbf {r}})$

{\mathbf {F}}({\mathbf {r}})={\mathbf {F}}_{1}({\mathbf {r}})+{\mathbf {F}}_{2}( {\mathbf {r)))

hvor

\operatørnavn {rot}\;{\mathbf {F}}_{1}({\mathbf {r}})=0,

\operatørnavn {div}\,{\mathbf {F}}_{2}({\mathbf {r}})=0

for alle punkter i regionen V. $\mathbf {r}$

I en mere populær formulering for hele rummet siger Helmholtz' sætning:

Ethvert vektorfelt , enkeltværdi, kontinuerligt og afgrænset i hele rummet, kan dekomponeres i en sum af potentielle og solenoidale vektorfelter og repræsenteres som: $\mathbf {F}$

\mathbf {F} =-\nabla \Phi +\nabla \times \mathbf {A}

hvor $\nabla \cdot \mathbf {A} =0$

En skalarfunktion kaldes et skalarpotentiale, en vektorfunktion kaldes et vektorpotentiale. [1] . $\Phi$ $\mathbf {A}$

Udtalelse af sætningen

Lad F være et vektorfelt i R ³ og lad det være to gange kontinuerligt differentierbart og aftage ved uendeligt hurtigere end 1/ r i tilfælde af et ubegrænset domæne. [2] Så kan feltet F repræsenteres som summen af et irrotationsfelt (hvis rotor er nul) og et solenoidfelt (hvis divergens er nul).

En af de mulige repræsentationer for vektorfeltet F i denne form er summen af gradienten og krøllen af to eksplicit beregnelige funktioner, som skrevet nedenfor:

{\mathbf {F}}=-\nabla \,({\mathcal {G}}(\nabla \cdot {\mathbf {F}})))+\nabla \times ({\mathcal {G}}( \ nabla \times {\mathbf {F))))

hvor er den newtonske operator (hvis den virker på et vektorfelt som ∇ × F , virker den på hver komponent af den). ${\mathcal {G}}$

Hvis F har nul divergens , ∇ F = 0, så siges F at være solenoidal , eller divergensfri, og Helmholtz-udvidelsen af feltet F reduceres til

{\mathbf {F}}=\nabla \times {\mathcal {G}}(\nabla \times {\mathbf {F}})=\nabla \times {\mathbf {A}}.

I tilfælde af en sådan repræsentation af feltet kaldes A for vektorpotentialet for feltet F . For et solenoidfelt (det vil sige et felt med nul divergens) er det altid muligt at konstruere en vektorfunktion (vektorpotentiale), hvor dette felt er rotoren. Vektorpotentialet for et givet magnetfelt bestemmes med en betydelig grad af frihed. Især uden tab af generalitet kan Coulomb gauge (eller normalisering) betingelsen ∇· A = 0 pålægges den (et specialtilfælde af et divergensfrit vektorpotentiale; se også problemet med at genoprette en vektorfunktion fra en krølle og divergens nedenfor). Du kan frit tilføje gradienten af enhver skalarfunktion til vektorpotentialet - dette ændrer ikke dens krølle, det vil sige det solenoide felt defineret af den (og hvis den angivne skalarfunktion opfylder Laplace-ligningen, så er betingelsen for Coulomb-kalibreringen ændres heller ikke, når vektorpotentialet opfylder det).

Hvis F har en nulrotor, ∇× F = 0, så kaldes F et irrotations- eller lokalt potentielt felt , og udvidelsen af F tager formen

{\mathbf {F}}=-\nabla \,{\mathcal {G}}(\nabla \cdot {\mathbf {F}})=-\nabla \phi .

I tilfælde af en sådan repræsentation af feltet kaldes φ skalarpotentialet for feltet F . For et irrotationsfelt (det vil sige et felt med en nulrotor) er det altid muligt at konstruere en skalarfunktion (skalarpotentiale), hvis gradient er dette felt. Det skalære potentiale for et givet irrotationsfelt bestemmes op til en additiv konstant.

I det generelle tilfælde kan F repræsenteres af summen

{\mathbf {F}}=-\nabla \phi +\nabla \times {\mathbf {A}}

hvor den negative gradient af skalarpotentialet er feltets irrotationskomponent, og vektorpotentialets rotor er den solenoidale komponent. Repræsentationen af F som summen af et irrotationsfelt og et solenoidfelt er ikke entydigt, da man til φ altid kan tilføje en vilkårlig funktion ψ, der opfylder Laplace-ligningen, og til A , en vektorfunktion H , der stemmer overens med ψ , som er resultatet af at løse problemet med at genvinde en vektorfunktion fra rotor og divergens (se nedenfor) i henhold til ligningerne ∇· H = 0, ∇× H = ∇ψ. En sådan substitution ændrer ikke kun skalar- og vektorpotentialerne, der er involveret i Helmholtz-udvidelsen, men ændrer også signifikant det irrotationsfelt -∇(φ+ψ) og det solenoidale felt ∇× (A+H) , til summen af hvilke feltet F nedbrydes .

Felter defineret af curl og divergens

Nært beslægtet med Helmholtz ' sætning er problemet med at rekonstruere et vektorfelt ud fra en divergens og en krølle, som nogle gange kaldes Helmholtz-problemet .

Lad der gives et skalarfelt og et vektorfelt , som er tilstrækkeligt glatte og enten er givet i et afgrænset område eller aftager hurtigere end 1/ r ² ved uendelig. Det er påkrævet at finde et vektorfelt sådan ${\mathbf {d}}(x,y,z)$ ${\mathbf {C}}(x,y,z)$ ${\mathbf {F}}(x,y,z)$

\nabla \cdot {\mathbf {F}}={\mathbf {d}}

\nabla \times {\mathbf {F}}={\mathbf {C}}.

Når man analyserer eksistensen og unikheden af en løsning på et problem, bør man skelne mellem:

internt problem (rotoren, divergensen og selve vektorfunktionen betragtes inden for et afgrænset område med en tilstrækkelig glat grænse),
et eksternt problem (rotoren, divergensen og selve vektorfunktionen tages i betragtning for rummet R ³ med et "hul" udskåret, som har en ret glat grænse),
problem for hele rummet R ³.

Det interne problem (forudsat at det er løseligt) har en unik løsning, hvis den normale projektion for vektorfunktionen er givet langs grænsen af regionen . $({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}})|_{{S}}={\mathbf {g}}({\mathbf {S}})$ $\mathbf {F}$

Det ydre problem (under betingelse af dets løsbarhed) har en unik løsning, hvis den normale projektion for vektorfunktionen er givet langs grænsen af regionen , og der stilles krav til vektorfunktionen, at den aftager i det uendelige med mindst . $({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}})|_{{S}}={\mathbf {g}}({\mathbf {S}})$ $\mathbf {F}$ $\mathbf {F}$ ${\mathbf {1/r}}^{{2+\varepsilon }}$

Problemet for hele rummet R ³ (under betingelsen om dets opløselighed) har en unik løsning, hvis der stilles krav til vektorfunktionen, at den aftager ved uendeligt mindst som . $\mathbf {F}$ ${\mathbf {1/r}}^{{2+\varepsilon }}$

I alle disse tilfælde er løsningen på Helmholtz-problemet unik , hvis den eksisterer for de givne inputdata.

Nødvendige betingelser for eksistensen af en løsning

Problemet har en løsning, ikke for alle , og : ${\mathbf {d}}(x,y,z)$ ${\mathbf {C}}(x,y,z)$ ${\mathbf {g(S)))$

Det følger af identiteten , at betingelsen skal være opfyldt , det vil sige, at vektorens divergens skal være lig nul. $\nabla \cdot \nabla \times {\mathbf {F}}\equiv 0$ $\nabla \cdot {\mathbf {C}}=0$ ${\mathbf {C}}(x,y,z)$
For det interne problem følger det af identiteten , at det vil sige, at integralet af grænsebetingelsen over afgrænsningsfladen skal være lig med integralet af funktionen over områdets rumfang. $\iiiint _{{V}}(\nabla \cdot {\mathbf {F}})\,dV=\iint _{{S}}({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}} ) )\,dS$ $\iiiint _{{V}}{\mathbf {d(x,y,z)}}\,dV=\iint _{{S}}{\mathbf {g(S)))\,dS$ ${\mathbf {g(S)))$ $\mathbf {S}$ ${\mathbf {d}}(x,y,z)$
For et eksternt problem og for et problem givet for hele rummet R ³ skal funktionerne og tendens til at nulstilles ved uendeligt ret hurtigt sammen med selve funktionen. $\mathbf{d}$ ${\mathbf {C}}$

Tilstrækkelige betingelser for eksistensen og unikheden af en løsning

A. Intern opgave : if

$\nabla \cdot {\mathbf {C(x,y,z)}}=0$ og
$\iiiint _{{V}}{\mathbf {d(x,y,z)}}\,dV=\iint _{{S}}{\mathbf {g(S)))\,dS$ ,

så findes løsningen på problemet med at genvinde feltet fra krøllen , divergensen og grænsetilstanden og er unik.

{\mathbf {F}}(x,y,z)

{\mathbf {C}}(x,y,z)

{\mathbf {d}}(x,y,z)

{\mathbf {g(S)))

B. Ekstern opgave : if

$\nabla \cdot {\mathbf {C(x,y,z)}}=0$ og
integralerne og konvergerer, når de integreres over et uendeligt volumen og falder ved uendeligt i mindst som , $\iiiint _{{V}}{\frac {{\mathbf {d}}(x',y',z')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r'}}|} }\,dV'$ $\iiiint _{{V}}{\frac {{\mathbf {C}}(x',y',z')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r'}}|} }\,dV'$ ${\mathbf {r}}\til \infty$ ${\mathbf {1/r}}^{{1+\varepsilon }}$

så eksisterer løsningen på problemet med at genvinde feltet fra rotoren , divergens , grænsebetingelse og den betingelse, der falder til det uendelige mindst som , og er unik.

{\mathbf {F}}(x,y,z)

{\mathbf {C}}(x,y,z)

{\mathbf {d}}(x,y,z)

{\mathbf {g(S)))

{\mathbf {F}}(x,y,z)

{\mathbf {1/r}}^{{2+\varepsilon }}

B. Opgave for hele rummet R ³ : if

$\nabla \cdot {\mathbf {C(x,y,z)}}=0$ og
integralerne og konvergerer, når de integreres over et uendeligt volumen og falder ved uendeligt i mindst som , $\iiiint _{{V}}{\frac {{\mathbf {d}}(x',y',z')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r'}}|} }\,dV'$ $\iiiint _{{V}}{\frac {{\mathbf {C}}(x',y',z')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r'}}|} }\,dV'$ ${\mathbf {r}}\til \infty$ ${\mathbf {1/r}}^{{1+\varepsilon }}$

så er løsningen på problemet med at genvinde feltet fra krøllen , divergensen og tilstanden, der falder til det uendelige mindst som , eksisterer og er unik.

{\mathbf {F}}(x,y,z)

{\mathbf {C}}(x,y,z)

{\mathbf {d}}(x,y,z)

{\mathbf {F}}(x,y,z)

{\mathbf {1/r}}^{{2+\varepsilon }}

Løsningsevnen og unikheden af løsningen af Helmholtz-problemet er tæt forbundet med løseligheden og unikheden af løsningen af Neumann-problemet for Laplace-ligningen i samme domæne (se nedenfor algoritmen til at konstruere en løsning på Helmholtz-problemet).

Dekomponering af et vektorfelt i summen af et irrotationsfelt og et solenoidfelt

Ved at bruge problemet med at genoprette en vektorfunktion fra en krølle og divergens kan udvidelsen af et vektorfelt til summen af et irrotationsfelt og et solenoidfelt udføres som følger: ${\mathbf {F}}(x,y,z)$

For en given vektorfunktion beregnes følgende: funktion funktion , grænsebetingelse , hvis vektorfunktionen er givet for en underregion af rummet med grænse . $\mathbf {F}$ ${\mathbf {C}}=\nabla \times {\mathbf {F}}$ ${\mathbf {d}}=\nabla \cdot {\mathbf {F}}$ ${\mathbf {g}}({\mathbf {S}})=({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}})|_{{S}}$ $\mathbf {F}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $S$
Når det kommer til den interne opgave, så følger kompatibilitetsbetingelsen ud fra identiteten . Derfor er alle betingelser for kompatibilitet af inputdata for problemet og med grænsebetingelsen opfyldt, problemet er løseligt og har en unik løsning. Den resulterende vektorfunktion er et irrotationsfelt. $\iiiint _{{V}}(\nabla \cdot {\mathbf {F}})\,dV\equiv \iint _{{S}}({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F} })\,dS$ $\iiiint _{{V}}{\mathbf {d}}(x,y,z)\,dV=\iint _{{S}}{\mathbf {g(S)))\,dS$ $\nabla \cdot {\mathbf {F_{1}}}={\mathbf {d}}$ $\nabla \times {\mathbf {F_{1))}=0$ ${\mathbf {g}}({\mathbf {S}})$ ${\mathbf {F_{1))}$
Da kompatibilitetsbetingelserne for inputdataene for problemet og med en nulgrænsebetingelse er opfyldt, er problemet løseligt og har en unik løsning. Den resulterende vektorfunktion er et solenoidfelt. $\nabla \cdot {\mathbf {C}}=\nabla \cdot \nabla \times {\mathbf {F}}\equiv 0$ $\nabla \cdot \mathbf {F} _{2}=0$ $\nabla \times \mathbf {F} _{2}=\mathbf {C}$ ${\mathbf {F_{2))}$
Overvej problemet med grænsebetingelsen . Betingelserne for inputdatakompatibilitet er opfyldt, problemet er løseligt og har en unik løsning. I dette tilfælde er løsningen på dette problem på den ene side selve funktionen , og på den anden side er løsningen på det samme problem funktionen . Derfor er den ønskede repræsentation af feltet som summen af et irrotationsfelt og et solenoidfelt blevet konstrueret. $\nabla \cdot \mathbf {F} _{3}=\mathbf {d}$ $\nabla \times \mathbf {F} _{3}=\mathbf {C}$ ${\mathbf {g}}({\mathbf {S}})$ $\mathbf {F}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2))$ ${\displaystyle \mathbf {F} \equiv \mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2))$ $\mathbf {F}$

Den konstruerede repræsentation af et vektorfelt som en sum af to felter er ikke unik. Der er vektorfelter, der både er irroterende (rotoren er nul) og solenoidale (divergensen er nul). Disse felter er gradienter af skalarfunktioner, der opfylder Laplace-ligningen (og kun dem). Hvis vi tilføjer et sådant felt til det første led og trækker det fra det andet led, får vi en ny opdeling af vektorfeltet i summen af et irrotations- og solenoidfelt.

Gendannelse af vektorfunktionen fra rotoren og divergens

Løsningen på problemet med at genoprette en funktion fra en krølle-, divergens- og randbetingelse kan konstrueres som følger:

1) For en given funktion beregnes funktionen , hvor skalarpotentialet beregnes med formlen

{\mathbf {d}}(x,y,z)

{\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)=\nabla {\mathbf {U}}

{\mathbf {U}}(x,y,z)

{\mathbf {U}}(x,y,z)=-{\frac {1}{4\pi }}\iiiint _{V}{\frac {{\mathbf {d}}(x',y ',z')}{{\sqrt {(xx')^{2}+(yy')^{2}+(zz')^{2))))}dx'dy'dz'

. Resultatet er en funktion, for hvilken og ;

{\mathbf {F_{1))}(x,y,z)

\nabla \cdot {\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)={\mathbf {d}}(x,y,z)

\nabla \times {\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)=0

2) For en given funktion beregnes funktionen , hvor vektorpotentialet beregnes med formlen

{\mathbf {C}}(x,y,z)

{\mathbf {F_{2}}}(x,y,z)=\nabla \times {\mathbf {A}}

{\mathbf {A}}(x,y,z)

{\mathbf {A}}(x,y,z)=+{\frac {1}{4\pi }}\iiiint _{V}{\frac {{\mathbf {C}}(x',y ',z')}{{\sqrt {(xx')^{2}+(yy')^{2}+(zz')^{2))))}dx'dy'dz'

. Resultatet er en funktion, for hvilken og ;

{\mathbf {F_{2))}(x,y,z)

\nabla \cdot {\mathbf {F_{2}}}(x,y,z)=0

\nabla \times {\mathbf {F_{2}}}(x,y,z)={\mathbf {C}}(x,y,z)

3) Vi leder efter en funktion, for hvilken , , og den normale projektion på grænsen af regionen er valgt på en sådan måde, at den opfylder grænsebetingelsen .

{\mathbf {F_{3))}(x,y,z)

\nabla \cdot {\mathbf {F_{3))}(x,y,z)=0

\nabla \times {\mathbf {F_{3}}}(x,y,z)=0

({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F_{3}}})|_{{S}}

{\mathbf {F}}={\mathbf {F_{1}}}+{\mathbf {F_{2}}}+{\mathbf {F_{3}}}

({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}})|_{{S}}={\mathbf {g}}({\mathbf {S}})

For at finde en sådan funktion foretages en substitution , hvor skalarpotentialet skal opfylde Laplace-ligningen . For funktionen opnås Neumann-randbetingelsen , og det er let at kontrollere, at kriteriet for Neumann-problemets løselighed vil være opfyldt. Derfor eksisterer funktionen altid, er unikt defineret for den eksterne opgave, og op til en additiv konstant for den interne opgave. Som følge heraf eksisterer den funktion, vi har brug for , altid og er unik.

{\mathbf {F_{3))}(x,y,z)

{\mathbf {F_{3}}}(x,y,z)=\nabla {\mathbf {H}}

{\mathbf {H}}(x,y,z)

\Delta {\mathbf {H}}=0

{\mathbf {H}}(x,y,z)

\left.{\frac {\partial {\mathbf {H}}}{\partial {\mathbf {n}}}}\right|_{{S}}={\mathbf {g(S)))- ({\mathbf {n}}\cdot ({\mathbf {F_{1}+F_{2}}}))

{\mathbf {H}}(x,y,z)

{\mathbf {F_{3))}(x,y,z)

Funktionen er en løsning på opgaven, og den eneste. Hvis grænsebetingelsen ikke er specificeret, er løsningen på problemet alle mulige funktioner af formen , hvor , er gradienten af enhver funktion, der opfylder Laplace-ligningen. Hvis problemet er placeret i hele rummet R ³, vil den (entydige) løsning være en funktion , der har den ønskede adfærd i det uendelige. ${\mathbf {F}}(x,y,z)={\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)+{\mathbf {F_{2}}}(x,y,z) +{\mathbf {F_{3}}}(x,y,z)$ ${\mathbf {F}}(x,y,z)={\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)+{\mathbf {F_{2}}}(x,y,z) +{\mathbf {F_{3}}}(x,y,z)$ ${\mathbf {F_{3))}(x,y,z)$ ${\mathbf {F}}(x,y,z)={\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)+{\mathbf {F_{2}}}(x,y,z)$

Alternativ formulering af Helmholtz' sætning

Som et resultat heraf kan Helmholtz-sætningen omformuleres i følgende udtryk. Lad C være et solenoidalt vektorfelt ( div C=0 ) og d et skalarfelt i R ³, som er tilstrækkeligt glatte og enten er givet i et afgrænset område eller aftager hurtigere end 1/ r ² ved uendelig. Så er der et vektorfelt F sådan, at

\nabla \cdot {\mathbf {F}}=d

\nabla \times {\mathbf {F}}={\mathbf {C}}.

Hvis vektorfeltet F derudover betragtes i hele rummet R ³ og forsvinder som r → ∞, så er F unikt. [2] I det generelle tilfælde bestemmes løsningen op til et additiv additiv - gradienten af en vilkårlig funktion, der opfylder Laplace-ligningen.

Med andre ord, under visse betingelser kan et vektorfelt konstrueres ud fra dets krølle og divergens, og når problemet er defineret i hele rummet R ³, er løsningen unik (under den a priori antagelse, at feltet forsvinder i det uendelige rimeligt hurtigt). Denne teorem er af stor betydning inden for elektrostatik ; for eksempel beskriver Maxwells ligninger i det statiske tilfælde felter af netop denne type [2] . Som allerede nævnt ovenfor er en af de mulige løsninger:

{\mathbf {F}}=-\nabla \,({\mathcal {G}}(d))+\nabla \times ({\mathcal {G}}({\mathbf {C}})).

Se også

Noter

↑ Lee, 1965 , s. halvtreds.
↑ 1 2 3 David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics , Prentice-Hall, 1989, s. 56.

Litteratur

Kochin N. E. — Vektorregning og begyndelsen af tensoranalyse
Korn G. A., Korn T. M. Håndbog i matematik for videnskabsmænd og ingeniører . - M . : " Nauka ", 1974. - S. 177.
Li Tsung-dao . Matematiske metoder i fysik. - M . : Mir, 1965. - 296 s.