Valgt aksiom

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 9. august 2021; checks kræver 6 redigeringer .

Valgets aksiom , eng. abbr. AC (fra aksiom of choice ) er følgende udsagn fra mængdeteori :

For enhver familie [1] af ikke-tomme sæt eksisterer der en funktion , der forbinder med hvert sæt af familien et af elementerne i dette sæt [2] . Funktionen kaldes udvælgelsesfunktionen for den givne familie. $x$ $f$ $f$

På formelt sprog :

\forall X\left[\varnothing \notin X\Rightarrow \exists f\colon X\rightarrow \bigcup X\quad \forall A\in X\,(f(A)\in A)\right]\ ,.

Hvis vi begrænser os til kun at betragte endelige familier af mængder, så kan udsagnet om valgaksiomet bevises på grundlag af andre mængdeteoriaksiomer [2] og behøver ikke at postuleres som et separat aksiom. Det kan også bevises for nogle uendelige familier, men i det generelle tilfælde for uendelige familier følger valgaksiomet ikke fra andre aksiomer og er en selvstændig påstand.

Historie og bedømmelser

Valgaksiomet blev formuleret og udgivet af Ernst Zermelo i 1904 (selvom det først blev bemærket af Beppo Levi 2 år tidligere). Det nye aksiom forårsagede en ophedet kontrovers og stadig ikke alle matematikere accepterer det ubetinget [3] . Der blev udtrykt meninger om, at beviserne opnået med dets involvering har en "anden kognitiv værdi" end beviser, der ikke afhænger af det [3] [4] . Fremkomsten af valgaksiomet gav også anledning til en diskussion om, hvad begrebet "eksistens" betyder i matematikken - især om hvorvidt en mængde kan anses for at eksistere, hvis ingen af dens elementer er kendt [5] .

Afvisningen af valgaksiomet af nogle matematikere er først og fremmest begrundet med, at det kun hævder eksistensen af et sæt , men ikke giver nogen måde at definere det på; en sådan udtalelse blev f.eks. udtrykt af Borel og Lebesgue [4] . Den modsatte opfattelse blev f.eks. afholdt af Hilbert , Hausdorff og Frenkel , som accepterede valgaksiomet uden forbehold og anerkendte for det samme grad af "oplagthed" som for andre mængdeteoretiske aksiomer : volumenaksiomet , aksiom for eksistensen af en tom mængde , aksiom for et par , aksiom sum , gradsaksiom , uendelighedsaksiom . $d$

Desuden er der blandt konsekvenserne af valgaksiomet mange ret paradoksale, som fremkalder en intuitiv protest fra matematikernes side. For eksempel bliver det muligt at bevise paradokset ved at fordoble bolden , hvilket næppe kan betragtes som "oplagt" af alle forskere (se også Tarskis cirkelkvadrering ). Václav Sierpinski har foretaget en detaljeret analyse af talrige beviser ved hjælp af valgaksiomet . Men uden tvivl kunne mange vigtige matematiske opdagelser ikke være blevet gjort uden det valgte aksiom [6] .

Bertrand Russell kommenterede aksiomet om valg: “I begyndelsen virker det indlysende; men jo mere man tænker over det, jo mere mærkelige synes konklusionerne fra dette aksiom; i sidste ende holder man generelt op med at forstå, hvad det betyder” [7] .

Det valgte aksioms uafhængighed fra resten af Zermelo-Fraenkel-aksiomerne blev bevist af Paul Cohen [8] [9] .

Tilsvarende formuleringer

Der er mange andre ækvivalente formuleringer af det valgte aksiom.

Det kartesiske produkt af en familie af ikke-tomme sæt er ikke-tom [10] .
Enhver surjektiv funktion har en ret invers funktion , det vil sige, at deres sammensætning er en identisk funktion på eller med andre ord for alle elementer af . $f\colon A\to B$ $f^{-1}\colon B\to A$ $f\circ f^{{-1}}=\operatørnavn {id}_{B}$ $B$ $f(f^{{-1}}(z))=z$ $z\in B$
Zorns lemma (se nedenfor)
Hvert sæt kan ordnes godt (se nedenfor, Zermelos sætning ).
Hausdorff maksimum princip
Tarskis sætning . For hvertuendeligt sæt er der enbijektion. $EN$ $A\to A\time A$

En valgfunktion er en funktion på et sæt sæt, sådan at der for hvert sæt i , er et element fra . Ved at bruge begrebet en valgfunktion siger aksiomet: $x$ $s$ $x$ $f(s)$ $s$

For enhver familie af ikke-tomme sæt er der en valgfunktion defineret på $x$ $f$ $x$ .

Eller mest kortfattet:

Hvert sæt af ikke-tomme sæt har en valgfunktion .

Den anden version af valgaksiomet siger:

For et givet vilkårligt sæt af parvis adskilte ikke-tomme sæt er der mindst ét sæt, der indeholder præcis ét element, der er fælles for hvert af de ikke-tomme sæt .

Nogle forfattere bruger en anden version, som effektivt siger:

For ethvert sæt har dets boolske minus den tomme delmængde en valgfunktion

EN

{\mathcal P}(A)\setminus \{\varnothing \}

Forfattere, der anvender denne formulering, taler ofte også om en "valgfunktion på ", men slår fast, at de mener et lidt anderledes begreb om en valgfunktion. Dens omfang er boolesk (minus den tomme delmængde), mens andre steder i denne artikel er omfanget af udvælgelsesfunktionen "sæt af sæt". Med denne yderligere forestilling om en valgfunktion kan valgaksiomet kortfattet angives som følger: $EN$

Hvert sæt har en valgfunktion .

Ansøgning

Indtil slutningen af det 19. århundrede blev valgaksiomet brugt ubetinget. For eksempel, efter at have defineret et sæt, der indeholder et ikke- tomt sæt , kunne en matematiker sige: " Lad være defineret for hver af ". Uden aksiomet om valg er det generelt umuligt at bevise, at det eksisterer, men dette ser ud til at være blevet efterladt uadresseret indtil Zermelo . $x$ $F(s)$ $s$ $x$ $F$

Ikke alle tilfælde kræver det valgte aksiom. For en endelig mængde følger valgaksiomet fra andre mængdeteoriens aksiomer. I dette tilfælde er det det samme som at sige, at hvis vi har flere (endeligt antal) kasser, som hver indeholder en identisk ting, så kan vi vælge præcis én ting fra hver kasse. Det er klart, at vi kan gøre dette: vi starter med den første boks, vælg en ting; lad os gå til den anden boks, vælg en ting; og så videre. Da der er et begrænset antal kasser, vil vi, efter vores udvælgelsesprocedure, komme til slutningen. Resultatet er en eksplicit valgfunktion: en funktion, der knytter den første boks til det første element, vi har valgt, den anden boks til det andet element, og så videre. (For et formelt bevis for alle endelige mængder , brug princippet om matematisk induktion .) $x$

I tilfælde af et uendeligt sæt er det også nogle gange muligt at omgå det valgte aksiom. For eksempel, hvis elementerne er sæt af naturlige tal . Hvert ikke-tomt sæt af naturlige tal har et mindste element, så ved at definere vores udvælgelsesfunktion kan vi blot sige, at hvert sæt er forbundet med det mindste element i mængden. Dette giver os mulighed for at vælge et element fra hvert sæt, så vi kan skrive et eksplicit udtryk, der fortæller os, hvilken værdi vores valgfunktion har. Hvis det er muligt at definere en valgfunktion på denne måde, er valgaksiomet ikke nødvendigt. $x$ $x$

Der opstår vanskeligheder, hvis det er umuligt at foretage et naturligt valg af elementer fra hvert sæt. Hvis vi ikke kan træffe et eksplicit valg, hvorfor er vi så sikre på, at et sådant valg principielt kan træffes? Lad for eksempel være mængden af ikke-tomme delmængder af reelle tal . For det første kunne vi prøve at agere, som om det var endeligt. Hvis vi forsøger at vælge et element fra hvert sæt, da det er uendeligt, vil vores udvælgelsesprocedure aldrig afsluttes, og som et resultat vil vi aldrig få udvælgelsesfunktioner for alle . Så det går ikke. Dernæst kan vi prøve at bestemme det mindste element fra hvert sæt. Men nogle delmængder af reelle tal indeholder ikke det mindste element. For eksempel er en sådan delmængde et åbent interval . Hvis tilhører , så hører også til det, og mindre end . Så at vælge det mindste element virker heller ikke. $x$ $x$ $x$ $x$ $(0,\;1)$ $x$ $(0,\;1)$ $x/2$ $x$

Grunden til, at vi kan vælge det mindste element fra en delmængde af naturlige tal, er det faktum, at naturlige tal har den velordnede egenskab. Hver delmængde af naturlige tal har et unikt mindste element på grund af den naturlige rækkefølge. Måske, hvis vi var klogere, kunne vi sige: "Måske, hvis den sædvanlige rækkefølge for reelle tal ikke tillader os at finde et særligt (mindste) tal i hver delmængde, kunne vi introducere en anden rækkefølge, der ville give egenskaben vel- bestilling. Så vil vores funktion være i stand til at vælge det mindste element fra hvert sæt på grund af vores usædvanlige bestilling. Problemet opstår så i denne konstruktion af en velordnethed, som kræver tilstedeværelsen af det valgte aksiom for dets løsning. Med andre ord kan hvert sæt være velordnet, hvis og kun hvis det valgte aksiom er sandt.

Beviser, der kræver valgaksiomet, er altid ikke-konstruktive: Selvom beviset skaber et objekt, er det umuligt at sige, hvad det præcist er. Derfor, selvom valgaksiomet giver os mulighed for fuldstændig at bestille mængden af reelle tal, giver dette os ikke nogen synlighed og konstruktivisme generelt. Dette er en af grundene til, at nogle matematikere ikke kan lide valgaksiomet (se også Crisis in the Foundations of Mathematics ). For eksempel kræver konstruktivismen, at det skal være muligt at konstruere alt, hvad der findes. De afviser valgaksiomet, fordi det angiver eksistensen af et objekt uden en klar beskrivelse af det. På den anden side, hvis valgaksiomet bruges til at bevise eksistensen, så betyder det ikke, at vi ikke kan fuldføre konstruktionen på en anden måde.

Det velordnede princip (Zermelos sætning)

En meget almindelig og praktisk formulering bruger begrebet et velordnet sæt . Vi skal bruge nogle få definitioner, og vi vil starte med en streng definition af lineær orden, der udtrykker en velkendt idé på mængdeteoriens sprog. Husk på, at et ordnet par af elementer er angivet , og at det kartesiske produkt af sæt består af alle mulige ordnede par , hvor . $(x,\;y)$ $X\ gange Y$ $(x,\;y)$ $x\i X,\;y\i Y$

En lineær rækkefølge på et sæt er en delmængde af et kartesisk produkt , der har følgende egenskaber: $EN$ $R\subseteq A\ gange A$

Fuld: . $\foral x,\;y\i A\;((x,\;y)\i R\lor (y,\;x)\i R)$
Antisymmetrisk: . $\foral x,\;y\i A\;((x,\;y)\i R\kile (y,\;x)\i R\til y=x)$
Transitiv: . $\i alt x,\;y,\;z\i A\;((x,\;y)\i R\kile (y,\;z)\i R\til (x,\;z)\in R)$

En komplet rækkefølge på et sæt er en lineær rækkefølge , således at hver ikke-tom delmængde har et mindste element. $EN$ $X\subseteq A$

Totalordreprincippet er, at ethvert sæt godt kan bestilles .

For eksempel kan sættet af naturlige tal være velordnet efter den sædvanlige "mindre end eller lig med"-relation. Med samme relation har mængden af heltal ikke det mindste element. I dette tilfælde kan vi samle de heltal i en sekvens og sige, at de lavere led er mindre end de højere. Naturligvis vil en sådan relation være en komplet rækkefølge på heltal. $(0,\;-1,\;1,\;-2,\;2,\;\ldots,\;-n,\;n,\;\ldots )$

Det er meget mindre indlysende, at de reelle tal, der danner et utalligt sæt, kan ordnes godt.

Zorns lemma

Hvis en kæde i et delvist ordnet sæt (det vil sige en lineært ordnet delmængde ) har en øvre grænse, så har hele sættet mindst ét maksimumelement.

Mere formelt:

Lad være et delvist ordnet sæt , det vil sige, at forholdet er refleksivt, antisymmetrisk og transitivt: $(P,\;\leqslant )$ $\leqslant$

$\forall x\in P\quad x\leqslant x;$
$\forall x,\;y\in P\;x\leqslant y\land y\leqslant x\to x=y;$
$\forall x,\;y,\;z\in P\;x\leqslant y\land y\leqslant z\to x\leqslant z.$

En delmængde kaldes lineært ordnet, hvis . Et element kaldes en øvre grænse, hvis . $S\undersæt P$ $\forall x,\;y\in S\;x\leqslant y\lor y\leqslant x$ $u\i P$ $\forall x\in S\;x\leqslant u$

Antag, at enhver lineært ordnet delmængde af mængden har en øvre grænse. Så er det det maksimale element af . $P$ $\eksisterer m\i P\;\neksisterer x\i P\;x>m$ $m$

Hausdorffs maksimumprincip

Alternativer

Hvis vi begrænser anvendelsen af valgaksiomet til kun at omfatte endelige og tællelige familier af mængder, får vi " aksiomet for tælleligt valg ". Det er ganske tilstrækkeligt at underbygge de fleste af analysesætningerne og skaber ikke de ovenfor nævnte paradokser. Det er dog ikke nok at underbygge mange af mængdelærens bestemmelser. En anden, noget stærkere mulighed er aksiomet om afhængigt valg , men det er ikke egnet til behovene for mængdeteori.

I 1962 foreslog de polske matematikere Jan Mychelski og Hugo Steinhaus det såkaldte " Axiom of Determinacy " i stedet for valgaksiomet [11] . I modsætning til valgaksiomet, som har en intuitiv formulering og kontraintuitive konsekvenser, har determinismens aksiom tværtimod en ikke-oplagt formulering, men dens konsekvenser er meget bedre i overensstemmelse med intuition . Fra determinismens aksiom følger aksiomet om tælleligt valg, men ikke det komplette valgaksiom [9] .

Konsekvenserne af bestemmelsesaksiomet i en række situationer modsiger konsekvenserne af valgaksiomet - for eksempel følger det af determinationsaksiomet, at alle mængder af reelle tal er Lebesgue-målbare , mens valgaksiomet indebærer eksistensen af et sæt reelle tal, der ikke er Lebesgue-målbare. Ved at bruge determinismens aksiom kan man strengt bevise, at der ikke er nogen mellempotenser mellem den tællelige magt og kontinuumets magt , mens dette udsagn er uafhængigt af valgaksiomet [12] .

Se også

Axiomatik af mængdelære

Noter

↑ En familie i matematik er et sæt af mængder.
↑ 1 2 Valgaksiom // Mathematical Encyclopedia (i 5 bind) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1977. - T. 1.
↑ 1 2 Kuratovsky K. , Mostovsky A. Sæteori / Oversat fra engelsk af M. I. Kort redigeret af A. D. Taimanov. - M . : Mir, 1970. - S. 61 . — 416 s.
↑ 12 John L. Bell . Valgets aksiom . Stanford Encyclopedia of Philosophy . Hentet 17. marts 2020. Arkiveret fra originalen 14. marts 2020. (ubestemt)
↑ Bunch, Bryan. Matematiske fejlslutninger og paradokser. Kapitel "A Choice Axiom" . - Dover Publications, 1997. - 240 s. — (Dover Bøger om Matematik). — ISBN 978-0486296647 .
↑ Elementer: Grænser for bevislighed . Hentet 12. september 2009. Arkiveret fra originalen 11. januar 2012. (ubestemt)
↑ Vilenkin N. Ya. Historier om kulisser. - 3. udg. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 95. - 150 s. — ISBN 5-94057-036-4 .
↑ P. J. Cohen. Mængdeori og kontinuumshypotesen. - Moskva: Mir, 1969.
↑ 1 2 Kazimirov N. I. Introduktion til aksiomatisk mængdelære. Tutorial. - Petrozavodsk, 2000. - 104 s. — § 2.4.
↑ Evgeny Vechtomov. Matematik: Grundlæggende matematiske strukturer 2. udg. Studievejledning for akademiske bachelorstudier . - Liter, 2018. - S. 26. - 297 s. Arkiveret 18. august 2018 på Wayback Machine
↑ Mycielski, Jan; Steinhaus, H. (1962). Et matematisk aksiom, der modsiger valgets aksiom. Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences. Serie des Sciences Mathematiques, Astronomiques et Physiques 10:1–3. ISSN 0001-4117. MR 0140430.
↑ Kanovey V.G., 1984 , s. 4, 37.

Litteratur

Aleksandrov PS Introduktion til mængdeteori og generel topologi . — M .: Nauka, 1977. — 368 s. (utilgængeligt link) - Kapitel 3, § 4.
Kanovey VG Valgaksiomet og determinismens aksiom. — M .: Nauka, 1984. — 64 s. — (Videnskabelige og tekniske fremskridts problemer).
Medvedev F. A. Tidlig historie om valgaksiomet . — M .: Nauka, 1982. — 304 s. Arkiveret 28. oktober 2015 på Wayback Machine
Medvedev F. A. Valgets aksiom og matematisk analyse // Historisk og matematisk forskning . - M . : Nauka , 1980. - Nr. 25 . — S. 167-188 .
Opslagsbog om matematisk logik. Del II. Mængdeori = Handbook of Mathematical Logic / J. Barweiss. - M .: Nauka , 1983. - 392 s.