Determinismes aksiom

Determinismens aksiom er et aksiom for mængdeteori , normalt betegnet AD . Dette aksiom blev foreslået i 1962 af de polske matematikere Jan Mycielski og Hugo Steinhaus [1] som en erstatning for det valgte aksiom (indført i 1904, betegnet AC ). Årsagen til søgningen efter et alternativ til valgaksiomet var de usædvanlige konsekvenser af dette aksiom, som forårsagede og fortsætter med at forårsage kritik fra nogle matematikere. For eksempel, i tilfælde af at anvende valgaksiomet, opstår paradoksale konstruktioner, såsom " paradokset med at fordoble bolden ". Mange matematikere har bemærket, at de mængder, hvis eksistens er bevist ved hjælp af valgaksiomet, mangler individualitet i den forstand, at vi ikke kan udtømmende beskrive deres sammensætning på grund af manglen på en klar udvælgelsesalgoritme [2] .

I de klassiske grene af matematikken ( talteori , calculus osv.) ændrer det ikke noget at erstatte AC med AD , men i mængdeteori og topologi adskiller konsekvenserne af determinismens aksiom sig væsentligt fra konsekvenserne af valgaksiomet i mange måder. For eksempel følger det af AD , at alle sæt af reelle tal er målbare, kontinuumsproblemet løses entydigt (der er ingen mellemkardinaliteter), og kuglefordoblingsparadokset opstår ikke.

Determinismens aksiom har ved sin eksistens vakt stor interesse blandt specialister i matematikkens grundlag, mange publikationer er helliget det [3] , især inden for deskriptiv mængdeteori . Ifølge tilhængerne af dette aksiom ligner situationen i mængdeteori nu situationen efter opdagelsen af ikke-euklidisk geometri - det kan erkendes, at der ikke er én mængdeteori, men mindst to, og spørgsmålet om hvilken af dem er korrekt er meningsløst. Fortalere bemærker også, at mængdeteori baseret på determinismens aksiom er mere i overensstemmelse med matematisk intuition end baseret på valgaksiomet [2] [4] .

Deterministiske spil

Determinismens aksiom er nemmest at definere ikke ud fra mængdeteori , men spilteori [5] . Overvej nogle (faste) mængder A bestående af uendelige sekvenser af naturlige tal (sådanne sekvenser danner et topologisk Baer-rum ).

Lad os definere et spil for to personer med følgende regler. Spiller I, der starter spillet, skriver et naturligt tal. Spiller II, der kender dette træk, skriver et tal. Så fortsætter de med at danne en eller anden sekvens efter tur - spiller I vælger sine lige elementer, spiller II - ulige. Spillet varer på ubestemt tid, men dets resultat erklæres i henhold til følgende regel: hvis den dannede sekvens er indeholdt i det givne sæt A, så vandt spiller I, ellers spiller II. $G_{A}$ $a_{0}.$ $a_{1}.$

Det er let at se, at hvis sættet A er endeligt eller tælleligt, så har spiller II en simpel vinderstrategi - i det i -te træk (hvor er ulige, ) vælg et tal, der ikke falder sammen med det i -element i den i-te sekvens af sættet A ("diagonal metode"). Så vil den resulterende sekvens bestemt ikke falde sammen med noget element i sættet A. Yderligere antages det, at i det generelle tilfælde har hver spiller sin egen strategi, det vil sige, at der er en klar algoritme, der angiver det næste tal for hvert fragment af den genererede sekvens (inklusive den indledende, tomme). $n$ $n$ $n=2m+1$ $n$ $m$

Strategien for spiller I kaldes at vinde , hvis den for et hvilket som helst indledende fragment (hvis fragmentet ikke er tomt, så ulige), hvor hvert led med et lige indeks blev bestemt af denne strategi, er i stand til at finde sådan , at den endelige uendelige sekvens ( dannet af ethvert svar fra spiller II) tilhører sæt A. Vinderstrategien for spiller II er defineret på samme måde — den skal foreslå tal, der til sidst vil forhindre modstanderen i at danne et resultat inkluderet i sæt A. ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots a_{n))$ $n$ $a_{{n+1}}$

Sættet A (og det tilsvarende spil ) kaldes deterministisk, hvis en af spillerne har en vinderstrategi. $G_{A}$

Det fremgår tydeligt af spillereglerne, at situationen, hvor begge spillere har en vinderstrategi, er umulig. Det er også klart, at tilstedeværelsen af egenskaben ved determinisme afhænger af mængden A. Ovenfor er et eksempel, hvor spillet bestemt er deterministisk (hvis mængden A er finit eller tællelig). Determinismens egenskab har således faktisk ikke et spil, men en mængdeteoretisk karakter [6] .

Udsagn om determinismens aksiom

Ethvert sæt A er deterministisk.

Under studiet af dette aksiom dukkede modificerede versioner af det op:

Aksiomet for reel determinisme er en styrket version for kontinuumsæt.
Axiom AD+ er en anden styrket version.
Aksiomet for projektiv determinisme er en speciel variant for projektive mængder.

Sammenligning mellem determinismens aksiom og valgaksiomet

Yderligere er den generelt accepterede aksiomatik i Zermelo-Fraenkel-mængdeteorien (forkortet ZF ) underforstået overalt . Fra determinismens aksiom følger (for feltet af reelle tal) aksiomet for tælleligt valg , som de grundlæggende sætninger for matematisk analyse er baseret på . Derfor er det nye aksiom foreneligt med klassisk matematik. Det er dog uforeneligt med det komplette valgaksiom - det er blevet bevist [6] at ved at bruge valgaksiomet er det muligt at konstruere en ikke-deterministisk mængde A, som direkte modsiger determinismens aksiom.

Mange konsekvenser af konkurrerende aksiomer i mængdeteori og topologi er modsatte af hinanden. Ved at bruge valgaksiomet bevises det, at der er sæt af reelle tal , der ikke er målbare i betydningen Lebesgue ; det følger af determinismens aksiom, at sådanne mængder ikke eksisterer - alle mængder af reelle tal er målbare. Problemet med kontinuum løses forskelligt (eksistensen af mellempotenser mellem tællelig og kontinuert ) - Zermelo-Fraenkels aksiomatik tillader enhver af de to muligheder for at løse dette problem (det vil sige, det kan hverken bevises eller afkræftes), mens fra determinismens aksiom en unik løsning er afledt: ethvert uendeligt utalligt sæt af reelle tal er kontinuerlige. Der er også talrige andre forskelle: determinismens aksiom tillader fuldstændig at bestille ikke nogen, men kun endelige og tællelige mængder, ikke-standardanalyse mister grund [7] . Den ovenfor nævnte beskrivende mængdeteori er især dårligt i overensstemmelse med valgaksiomet - mange af hypoteserne fremsat i denne teori viste sig, ligesom kontinuumhypotesen, at være uafklarelige, mens determinismens aksiom tillader disse hypoteser at blive strengt bevist; dette forklarer den store interesse for dette aksiom hos matematikere, der studerer deskriptiv mængdeteori [8] .

Noter

↑ Mycielski, Jan; Steinhaus, Hugo. (1962). Et matematisk aksiom, der modsiger valgets aksiom. Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences. Serie des Sciences Mathematiques, Astronomiques et Physiques 10:1-3. ISSN 0001-4117. MR 0140430.
↑ 1 2 Kanovey V. G., 1984 , s. 3, 4.
↑ Kanovey V.G., 1985 , s. 5, 15.
↑ Kanovey V.G., 1984 , s. 29.
↑ Kanovey V.G., 1984 , s. 30-33.
↑ 1 2 Kanovey V. G., 1984 , s. 33-35.
↑ Kanovey V.G., 1984 , s. 51.
↑ Kanovey V.G., 1985 , s. fire.

Litteratur

Aleksandrov PS Introduktion til mængdeteori og generel topologi. — M .: Nauka, 1977. — 368 s. — Kapitel 3, § 4.
Kanovey VG Valgaksiomet og determinismens aksiom. — M .: Nauka, 1984. — 64 s. — (Videnskabelige og tekniske fremskridts problemer).
Kanovei VG Determinismens aksiom og den moderne udvikling af deskriptiv mængdeteori // Itogi Nauki i Tekhniki. Serie: Algebra. Topologi. Geometri. - M .: VINITI, 1985. - T. 23 . - S. 3-60 .
Opslagsbog om matematisk logik. Del II. Mængdeori = Handbook of Mathematical Logic / J. Barweiss. - M .: Nauka , 1983. - 392 s.
Kleinberg EM Infinitær kombinatorik og aksiomet om bestemthed. — Berlin: Springer, 1977.
Martin DA Aksiomet for beslutsomhed og reduktionsprincipper i det analytiske hierarki // Bull. amer. Matematik. soc. - 1968. - Bd. 74, nr. 4. - P. 687-689.
Moschovakis YM Deskriptiv mængdelære. - Amsterdam: Nordholland, 1980.