Masser af

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 16. juli 2022; checks kræver 4 redigeringer .

Et sæt er et af nøglebegreberne i matematik ; som er et sæt, en samling af alle (generelt set alle) objekter - elementer i dette sæt [1] . To mængder er lige, hvis og kun hvis de indeholder nøjagtig de samme elementer [2] .

Studiet af mængders generelle egenskaber behandles af mængdeteori , såvel som beslægtede grene af matematik og matematisk logik . Eksempler: et sæt af indbyggere i en given by, et sæt af kontinuerlige funktioner , et sæt løsninger til en given ligning. Et sæt kan være tomt eller ikke-tomt , ordnet eller uordnet , endeligt eller uendeligt . Et uendeligt sæt kan tælles eller utælles . I både naive og aksiomatiske mængdeteorier anses ethvert objekt generelt for at være et sæt. Konceptet med et sæt tillader næsten alle grene af matematikken at bruge en fælles ideologi og terminologi.

Begrebets historie

Grundlaget for teorien om endelige og uendelige mængder blev lagt af Bernard Bolzano , som formulerede nogle af dens principper [3] [4] [5] .

Fra 1872 til 1897 (hovedsageligt i 1872-1884) udgav Georg Cantor en række værker, hvori mængdelærens hovedgrene systematisk blev præsenteret, herunder teorien om punktmængder og teorien om transfinite tal (kardinal og ordinal) [6 ] . I disse værker introducerede han ikke blot mængdelærens grundlæggende begreber, men berigede også matematikken med argumenter af en ny type, som han anvendte til at bevise sætninger i mængdelæren, især for første gang til uendelige mængder. Derfor er det almindeligt accepteret, at Georg Cantor skabte teorien om mængder. Især definerede han et sæt som "et enkelt navn for samlingen af alle objekter, der har en given egenskab" og kaldte disse objekter elementerne i et sæt . Sættet af alle objekter, der har en egenskab (det vil sige et udsagn, hvis sandhed afhænger af værdien af variablen x ), han udpegede, og selve egenskaben blev kaldt den karakteristiske egenskab for mængden $Økse)$ $\{x\mid A(x)\},$ $Økse)$ $x.$

På trods af den gode kvalitet af denne definition førte Cantors opfattelse til paradokser - især Russells paradoks .

Da mængdeteori faktisk bruges som grundlag og sprog for alle moderne matematiske teorier, blev mængdeteorien i 1908 aksiomatiseret uafhængigt af Bertrand Russell og Ernst Zermelo . I fremtiden blev begge systemer revideret og ændret, men har grundlæggende bevaret deres karakter. Disse er kendt som Russells typeteori og Zermelos mængdeteori . Efterfølgende blev Cantors mængdeteori kendt som naiv mængdeteori , og teorien (især Russell og Zermelo), der blev genopbygget efter Cantor, blev til aksiomatisk mængdeteori .

I praksis, der har udviklet sig siden midten af det 20. århundrede, er et sæt defineret som en model, der opfylder ZFC-aksiomerne ( Zermelo-Fraenkel-aksiomerne med valgaksiomet ). Men med denne tilgang opstår der i nogle matematiske teorier samlinger af objekter, som ikke er mængder. Sådanne samlinger kaldes klasser (af forskellig rækkefølge).

Element af sæt

De objekter, der udgør et sæt, kaldes sætelementer eller sætpunkter . Sæt er oftest betegnet med store bogstaver i det latinske alfabet , deres elementer er små bogstaver. Hvis er et element i sættet , så skriver de (" tilhører "). Hvis det ikke er et element i sættet , så skriver de (" hører ikke til "). $-en$ $EN$ $a\i A$ $-en$ $EN$ $-en$ $EN$ $en\notin A$ $-en$ $EN$

Hvis hvert element i sættet er indeholdt i , så skriver de (" ligger i , er dets undermængde "). Ifølge mængdeteori, hvis , så for ethvert element enten , eller er defineret . $EN$ $B$ $A\delmængde B$ $EN$ $B$ $X\delmængde Y$ $a\in Y$ $a\i X$ $a\not \in X$

Den rækkefølge, som elementerne i en mængde er skrevet i, påvirker således ikke selve mængden, dvs. Derudover følger det af ovenstående, at antallet af forekomster af identiske elementer ikke er defineret for et sæt, det vil sige, at posten generelt set ikke giver mening, hvis det er et sæt. Det vil dog være korrekt at skrive sættet . $\{6,11\}=\{11,6\}$ $A=\{11,11,6,11,6\}$ $EN$ $B=\{11,\{11\},\{6,11\},6\}$

Angivelse af et sæt

Der er to hovedmåder at definere sæt : ved at angive elementer og ved at beskrive dem.

Optælling

Den første metode kræver specificering (liste) af alle de elementer, der er inkluderet i sættet. For eksempel er mængden af ikke-negative lige tal mindre end 10 givet ved: Det er praktisk kun at anvende denne metode på et begrænset antal endelige mængder. $Y$ $Y=\{0,2,4,6,8\}.$

Beskrivelse

Den anden metode bruges, når mængden ikke kan eller er svær at specificere ved opregning (f.eks. hvis mængden indeholder et uendeligt antal elementer). I dette tilfælde kan det beskrives ved egenskaberne af de elementer, der hører til det.

Et sæt angives, hvis der er angivet en betingelse , som er opfyldt af alle elementer af, og som ikke er opfyldt af . udpege $Y\subset X$ $Økse)$ $x\in X:x\in Y$ $x\in X:x\notin Y$ $Y={\big \{}x\in X:A(x){\big \}}.$

For eksempel kan grafen for en funktion defineres som følger: $f\kolon X\til Y$

\Gamma ={\big \{}(x,y)\in X\ gange Y:f(x)=y{\big \)),

hvor er det kartesiske produkt af sæt. $\ gange$

Relationer mellem sæt

For sæt og kan relationer gives : $EN$ $B$

$EN$ er inkluderet i, hvis hvert element i sættet også hører til sættet : $B$ $EN$ $B$ $A\subseteq B\Leftrightarrow \forall a\in A\Rightarrow a\in B$
$EN$ inkluderer , hvis inkluderet i : $B$ $B$ $EN$ $A \supseteq B \venstrehøjrepil B \subseteq A$
$EN$ er lig , hvis og er inkluderet i hinanden: $B$ $EN$ $B$ $A=B\Leftrightarrow A\subseteq B,\,B\subseteq A$
- Til ethvert sæt $A=A$
- Hvis , så $A=B$ $B=A$
- Hvis , så . $A=B$ $B=C$ $A=C$

Nogle gange skelnes en streng inklusion ( ) fra en ikke-streng ( ), der adskiller sig fra . Men i de fleste tilfælde er strengheden af inklusioner ikke beskrevet, hvorfor der er registreringer af vilkårlige inklusioner med strenge inklusionstegn. $A\delmængde B$ $A\subseteq B$ $A\subset B\ikke \Rightarrow A=B$

Operationer på sæt

Til en visuel repræsentation af operationer bruges ofte Venn-diagrammer , som præsenterer resultaterne af operationer på geometriske former som sæt af punkter.

Grundlæggende handlinger

skæringspunkt : (sæt af fælles punkter) $A\cap B=\{x:x\in A,\,x\in B\};$
union : (sæt af alle punkter) $A\cup B=\{x,y:x\in A,\,y\in B\};$

Foreningen af usammenhængende og ( ) står også for:

EN

B

A\cap B=\varnothing

A+B=A\kop B;

forskel : (sæt af punkter af den første uden den anden) $A\setminus B=\{x:x\in A,\,x\notin B\};$
symmetrisk forskel : $A\bigtriangleup B\equiv A~{\dot {-}}~B=(A\kop B)\setminus (A\cap B);$

tilføjelse for (sæt uden ): $A\delmængde B$ $B$ $EN$ ${\overline {A}}\equiv A^{\complement }=B\setminus A;$

boolesk (sæt af alle delmængder): $EN$ $2^{A}=\{X:X\undersæt A\}.$

For operationer på sæt gælder de Morgans love også :

$A\backslash (B\cap C)=(A\backslash B)\cup (A\backslash C)$

$A\backslash (B\cup C)=(A\backslash B)\cap (A\backslash C)$

Bevis

Vi introducerer sættets indikator , da Det er let at vise, at Vi beviser et af udsagn, forudsat at det andet bevis er ens: . (brugt ) $EN$ $I_{a}:X\supset A\to \{0,1\}:I_{a}(x)={\begin{cases}1,\,\forall x\in A,\\0 ,\,\forall x\notin A;\end{cases}}$
$I_{a\cap b}=I_{a}I_{b};\,\,\,I_{a\cup b}=I_{a}+I_{b}-I_{a}I_{ b};\,\,\,I_{a\setminus b}=I_{a}-I_{a}I_{b}.$

$A\backslash (B\cup C)\,\,\Leftrightarrow I_{a}-I_{a}\cdot I_{b\cup c}\,\,\Leftrightarrow I_{a}-I_{a }\cdot (I_{b}+I_{c}-I_{b}\cdot I_{c})=I_{a}-I_{a}\cdot I_{b}-I_{a}\cdot I_{ c}+I_{a}\cdot I_{b}\cdot I_{c}=$
$=I_{a}^{2}-I_{a}^{2}\cdot I_{b}-I_{a}^{2}\cdot I_{c}+I_{a}\cdot I_ {c}\cdot I_{b}=(I_{a}-I_{a}\cdot I_{b})\cdot (I_{a}-I_{a}\cdot I_{c})\Leftrightarrow (A \backslash B)\cap (A\backslash C)$ $I_{a}^{2}=I_{a}$

Prioritet af operationer

Sekvensen for udførelse af operationer på sæt kan som sædvanlig angives i parentes. I mangel af parentes udføres unære operationer (komplement) først, derefter skæringspunkter , derefter foreninger , forskelle og symmetriske forskelle . Operationer med samme prioritet udføres fra venstre mod højre. Samtidig skal man huske på, at i modsætning til aritmetisk addition og subtraktion , som det især er rigtigt for , er dette ikke sandt for lignende operationer på mængder. For eksempel, hvis da men samtidig, . $(a+b)-c=a+(bc)$ $A=\{1,3\},B=\{1,2\},C=\{2,3\},$ $(A\kop B)\setminus C=\{1\},$ $A\cup (B\setminus C)=\{1,3\}$

Kartesisk produkt

Et kartesisk produkt af sæt er et sæt betegnet med , hvis elementer alle er mulige par af elementer i de originale sæt; $EN$ $B$ $(A\ gange B)$ $A\times B=\{\{a,b\}:a\i A,\,b\in B\}.$

Det er praktisk at forestille sig, at elementerne i et kartesisk produkt udfylder en tabel af elementer, hvis kolonner beskriver alle elementerne i et sæt og rækkerne i et andet.

Power

En mængdes magt er en karakteristik af en mængde, der generaliserer begrebet antallet af elementer i en endelig mængde på en sådan måde, at de mængder, som det er muligt at etablere en bijektion imellem, er lige stærke. Benævnt eller . Kardinaliteten af en tom mængde er nul, for endelige mængder falder kardinaliteten sammen med antallet af elementer, for uendelige mængder indføres specielle kardinaltal , som korrelerer med hinanden efter inklusionsprincippet (hvis , så ) og udvider egenskaberne for den boolske kardinalitet af en endelig mængde: til tilfældet med uendelige mængder. Selve udpegningen er i høj grad motiveret af denne ejendom. $|A|$ $\skarp A$ $A\subseteq B$ $|A| \leqslant |B|$ $|2^A| = 2^{|A|}$ $2^A$

Den mindste uendelige potens er angivet , dette er magten af et tælleligt sæt (bijektiv ). Kardinaliteten af et kontinuumsæt (bijektiv eller ) er betegnet med eller . På mange måder er definitionen af kontinuumets magt baseret på kontinuumshypotesen – antagelsen om, at der ikke er nogen mellempotenser mellem den tællelige potens og kontinuumets magt. $\aleph_0$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {R}$ $2^{\mathbb {N} }$ $\mathfrak c$ $2^{\aleph_0}$

Nogle slags sæt og lignende objekter

Særlige sæt

Et tomt sæt er et sæt, der ikke indeholder nogen elementer.
Et et -elementsæt er et sæt, der har ét element.
Et universelt sæt (univers) er et sæt, der indeholder alle tænkelige objekter. I forbindelse medRussells paradoksfortolkes dette begreb for tiden mere snævert som "et sæt, der omfatter alle sæt og objekter, der deltager i det undersøgte problem."

Lignende objekter

En tupel (specifikt et ordnet par ) er en ordnet samling af et begrænset antal navngivne objekter. Det er skrevet inden for parenteser eller vinkelparenteser, og elementer kan gentages.
Et multisæt (i teorien om Petri-net kaldes et "sæt") er et sæt med flere elementer.
Et rum er et sæt med en vis ekstra struktur.
En vektor er et element i et lineært rum, der indeholder et begrænset antal elementer i et eller andet felt som koordinater. Ordren har betydning, elementer kan gentages.
En sekvens er en funktion af en naturlig variabel. Repræsenteret som et uendeligt sæt af elementer (ikke nødvendigvis forskellige), hvis rækkefølge har betydning.
En fuzzy mængde er et matematisk objekt, der ligner et sæt, hvis medlemskab ikke er givet af en relation, men af en funktion . Med andre ord, hvad angår elementerne i et fuzzy sæt, kan man sige "i hvor høj grad" de er inkluderet i det, og ikke kun om de er inkluderet i det eller ej.

Efter hierarki

Et mængdesystem (sæt af mængder) er et sæt, hvis elementer også er mængder, normalt af lignende oprindelse (for eksempel kan de alle være undermængder af et andet sæt) [7] .
- Algebra af mængder , ring af sæt er eksempler på typer af strukturer, der er systemer af mængder.
- Boolean er mængden af alle delmængder af et givet sæt.
En familie af sæt er en indekseret analog af et system af sæt.
Undersæt
supersæt

Noter

↑ Sæt // Mathematical Encyclopedia (i 5 bind) . - M .: Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 3. - S. 762.
↑ Stoll, Robert. Mængder, logik og aksiomatiske teorier . - W. H. Freeman and Company, 1974. - S. 5 .
↑ Steve Russ. Bernard Bolzanos matematiske værker . - OUP Oxford, 9. december 2004. - ISBN 978-0-19-151370-1 . Arkiveret 27. april 2022 på Wayback Machine
↑ William Ewald. Fra Kant til Hilbert bind 1: A Source Book in the Foundations of Mathematics / William Ewald, William Bragg Ewald. - OUP Oxford, 1996. - S. 249. - ISBN 978-0-19-850535-8 . Arkiveret 22. april 2022 på Wayback Machine
↑ Paul Rusnock. Bernard Bolzano: Hans liv og arbejde / Paul Rusnock, Jan Sebestik. - OUP Oxford, 25. april 2019. - S. 430. - ISBN 978-0-19-255683-7 . Arkiveret 17. april 2022 på Wayback Machine
↑ "Eine Menge, ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens - welche Elemente der Menge genannt werden - zu einem Ganzen." Arkiveret kopi . Hentet 22. april 2011. Arkiveret fra originalen 10. juni 2011. (ubestemt)
↑ Studopedia - mængdeteori . Hentet 2. maj 2020. Arkiveret fra originalen 25. november 2020. (ubestemt)

Litteratur

K. Kuratovsky , A. Mostovsky . Mængdeori / Oversat fra engelsk af M. I. Kort, redigeret af A. D. Taimanov. - M . : Mir, 1970. - 416 s.
Stoll R. R. Sætter. Logikker. aksiomatiske teorier. / Oversættelse fra engelsk af Yu. A. Gastev og I. Kh. Shmain, redigeret af Yu. A. Shikhanovich . - M . : Uddannelse, 1968. - 232 s.

Logikker

Filosofi • Semantik • Syntaks • Historie

Logiske grupper

klassisk logik	Aristotelisk logik propositionel logik Første ordens logik Anden ordens logik højere ordens logik
matematisk logik	mængdeteori Modelteori Beregnelighedsteori Bevisteori og konstruktiv matematik Lineær logik formelt system naturlig konklusion Sekvensberegning Algebra af logik Relevant logik Deontisk logik intuitionistisk logik Lambek regning
Ikke-klassisk logik	intuitionisme sløret logik Substrukturel logik logik Beskrivelseslogik Flerværdilogik Logisk syntese Bindende logik Tidsmæssig logik Modal logik ( Hybrid logik ) epistemisk logik
Filosofisk logik	Kritisk tænkning uformel logik deduktiv ræsonnement

Komponenter

Bortførelse (logik)
Sandsynlighed
udmelding
Fradrag / Induktion / Traduktion
Virkelighed
Induktiv begrundelse
slutning
boolsk konstant
Rigtigt
logisk følge
Logisk form
Nødvendige og tilstrækkelige betingelser
Beskrivelse
Definition
Substitution
Pakke
Kontrovers ( Antinomy )
Syntetisk dømmekraft / Analytisk dømmekraft
Link

Liste over booleske symboler

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Fantastisk norsk Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	GND : 4038613-2 NKC : ph122926