Banach-Tarski-paradokset

Banach-Tarski-paradokset (også kaldet kuglefordoblingsparadokset og Hausdorff-Banach-Tarski-paradokset ) er en sætning i mængdelæren , der siger, at en tredimensionel kugle er lig med dens to kopier.

To delmængder af det euklidiske rum kaldes ligeligt sammensat , hvis man kan opdeles i et endeligt antal (ikke nødvendigvis forbundet ) parvis ikke-skærende dele, flyt dem og udgør den anden fra dem (i en mellemposition kan delene skære hinanden, men i det indledende og sidste kan de ikke).

Mere præcist, to sæt og er ligeligt sammensat, hvis de kan repræsenteres som en endelig forening af parvise adskilte delmængder , således at delmængden for hver er kongruent .

Det er bevist, at fem dele er nok til at fordoble bolden, men fire er ikke nok.

En stærkere version af paradokset er også sandt :

Enhver to afgrænsede delmængder af et tredimensionelt euklidisk rum med et ikke-tomt indre er ligeligt sammensat.

Fordi udledningen af ​​denne sætning kan virke usandsynlig, bruges den nogle gange som et argument imod at acceptere valgaksiomet , hvilket er afgørende for at konstruere en sådan partition. Vedtagelsen af ​​et passende alternativt aksiom gør det muligt at bevise umuligheden af ​​den specificerede partition, hvilket ikke giver plads til dette paradoks.

Fordoblingen af ​​bolden, selvom den virker meget mistænkelig ud fra et dagligdags intuitionssynspunkt (det er faktisk umuligt at lave to af en appelsin med kun en kniv), er det ikke desto mindre et paradoks i logisk forstand. ord, da det ikke fører til en logisk modsigelse ligesom det såkaldte barberparadoks eller Russells paradoks fører til en logisk modsigelse .

Historie

Paradokset blev opdaget i 1926 af Stefan Banach og Alfred Tarski . Meget lig det tidligere Hausdorff-paradoks , og dets bevis er baseret på den samme idé. Hausdorff viste, at dette ikke kunne lade sig gøre på en todimensionel sfære, og derfor i det tredimensionelle rum, og Banach-Tarski-paradokset giver en klar illustration af dette.

Noter

Ved at opdele bolden i et begrænset antal dele, forventer vi intuitivt, at ved at lægge disse dele sammen, kan vi kun få faste figurer, hvis volumen er lig med volumen af ​​den originale kugle. Dette gælder dog kun i tilfælde af, at bolden er opdelt i dele, der har volumen.

Essensen af ​​paradokset ligger i det faktum, at der i tredimensionelt rum er ikke-målbare mængder, der ikke har volumen, hvis vi med volumen mener noget, der har egenskaben additivitet , og vi antager, at volumen af ​​to kongruente sæt sammenfald.

Det er klart, at "stykkerne" i Banach-Tarski-partitionen ikke kan måles (og det er umuligt at implementere en sådan partition på nogen måde i praksis).

For en flad cirkel er en lignende egenskab ikke sand. Desuden viste Banach , at i planet kan begrebet areal udvides til alle afgrænsede mængder som et endeligt additivt mål , invariant under bevægelser; især ethvert sæt, der er lige langt til en cirkel, har det samme areal.

Ikke desto mindre er nogle paradoksale opdelinger også mulige på planet: en cirkel kan opdeles i et endeligt antal dele og laves af dem til et kvadrat med lige areal [1] [2] ( kvadrat for Tarski-cirklen ).

Noter

  1. ↑ Miklos Laczkovich: "Equidecomposability and discrepans: a solution to Tarski's circle squareing problem", Crelle's Journal of Reine and Angewandte Mathematik 404 (1990) pp. 77-117.
  2. ↑ Miklos Laczkovich: "Paradoksale nedbrydninger: en undersøgelse af de seneste resultater." Første europæiske kongres for matematik, bind. II (Paris, 1992), s. 159-184, Progr. Math., 120, Birkh.user, Basel, 1994.

Litteratur